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1、第六章 实数6.1 平方根1、平方根1平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根即：如果，那么x叫做a的平方根2开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。3平方与开平方互为逆运算：3的平方等于9，9的平方根是3 4一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；0的平方根是0.5符号：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；正数a的负的平方根可用-表示6 a是x的平方 x的平方是ax是a的平方根 a的平方根是x2、算术平方根1算术平方根的定义： 一般地，如果一个
2、正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根a的算术平方根记为，读作“根号a，a叫做被开方数规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式 (x0)中，规定。2的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。3当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。4夹值法及估计一个无理数的大小5 (x0) a是x的平方 x的平方是ax是a的算术平方根 a的算术平方根是x6正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 0 ；注意的双重非负性：-0 07平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数
3、的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。6.2 立方根 1立方根的定义：如果一个数x的立方等于，这个数叫做的立方根也叫做三次方根，即如果，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。2一个数的立方根，记作，读作：“三次根号，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，假设省略表示平方。3 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。4利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这
4、个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。5 a是x的立方 x的立方是ax是a的立方根 a的立方根是x6，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。6.3 实数 一、实数的概念及分类无理数：像前面的很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数。实数：有理数和无理数统称实数。1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数或无限循环小数实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 正实数实数 0 负实数 整数包括正整数、零、负整数。零和正整数又叫自然数。正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环这一时之，归纳起来
5、有四类：1开方开不尽的数，如等；2有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如+8等；3有特定结构的数，如0.1010010001等；二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数是一对数只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，那么有a+b=0，a=b，反之亦成立。数a的相反数是a，这里a表示任意一个实数。2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，假设|a|=a，那么a0；假设|a|=-a，那么a0。一个正实数的绝对值是它本身，一
6、个负实数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。3、倒数如果a与b互为倒数，那么有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。4. 实数与数轴上点的关系：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。三、科学记数法和近似数 1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数
7、的有效数字。2、科学记数法把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。四、实数大小的比拟 1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时，要注意三要素缺一不可。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。2、实数大小比拟的几种常用方法1数轴比拟：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。2求差比拟：设a、b是实数，3求商比拟法：设a、b是两正实数，4绝对值比拟法：设a、b是两负实数，那么。5平方法：设a、b是两负实数，那么。五、实数的运算 1、加法交换律 2、加法结合律 3、乘法交换律 4、乘法结合律 5、乘法对加法的分配律
8、6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？ 实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二能为运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 7、有理数除法运算法那么就什么？ 两有理数除法运算法那么可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。 8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？ 相同因数相乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作: an 9、有理数乘方运算的法那么是什么？ 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。 10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？ 去加括号时如果括号外的因数是正数，去加括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去加括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。