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1、2.1函数及其表示最新考纲考情考向分析1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).以根本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数建模是高考热点，题型以选择、填空题为主，中等难度.1函数函数两个集合A，B设A，B是两个非空数集对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数函数记法函数yf(x)，xA2.函数的三要素
2、(1)定义域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(2)值域与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(3)对应关系f：AB.3函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法4分段函数假设函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数概念方法微思考1分段函数f(x)的对应关系用两个式子表示，那么f(x)是两个函数吗提示分段函数是一个函数2请你概括一下求函数定义域的类型提示(1)分式型；(2)根式型；(3)指数式型、对数式型；(4)三角函数型3请思考以下常见函数的值域：(1)ykx
3、b(k0)的值域是R.(2)yax2bxc(a0)的值域：当a0时，值域为；当a0且a1)的值域是(0，)(5)ylogax(a0且a1)的值域是R.题组一思考辨析1判断以下结论是否正确(请在括号中打“或“)(1)假设AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的函数()(2)假设两个函数的定义域与值域相同，那么这两个函数相等()(3)f(x)5(xR)，那么f(x2)25.()(4)函数f(x)的图象与直线x1最多有一个交点()题组二教材改编2以下属于函数的有_(填序号)y；y2x1；y；yx22(xN)答案3函数yf(x)的图象如下列图，那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有
4、唯一的x值与之对应的y值的范围是_答案3,02,31,51,2)(4,5题组三易错自纠4以下列图形中可以表示以Mx|0x1为定义域，Ny|0y1为值域的函数的图象是()答案C解析A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确5函数y的定义域是_答案2，)6f()x1，那么f(x)_.答案x21(x0)解析令t，那么t0，xt2，所以f(t)t21(t0)，即f(x)x21(x0)7(2022湖北黄石一中模拟)函数f(x)那么f(f(0)的值为_；方程f(x)1的解是_答案10或1解析f(0)1，f(f(0)f(1)1.当x0时，f(x)x11，解
5、得x0；当x0时，f(x)2x11，解得x1.第1课时函数的概念及表示法函数的概念1以下各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是()答案C2以下五组函数中，表示同一函数的是_(填序号)f(x)x1与g(x)；f(x)lgx2与g(x)2lgx；f(x)x2，xR与g(x)x2，xZ；f(u)与f(v)；yf(x)与yf(x1)答案3Ax|xn2，nN，给出以下关系式：f(x)x；f(x)x2；f(x)x3；f(x)x4；f(x)x21，其中能够表示函数f：AA的是_答案解析对于，当x1时，x21A，故错误，由函数定义可知均正确思维升华(1)函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在
6、第二个数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一，不能“一对多，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，那么值域一定相同求函数的解析式例1求以下函数的解析式：(1)f(1sinx)cos2x，求f(x)的解析式；(2)fx4，求f(x)的解析式；(3)f(x)是一次函数且3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式；(4)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，求f(x)的解析式解(1)(换元法)设1sinxt，t0,2，那么sinx1t，f(1sinx)cos2x1sin2x，f(t)1(1t)22tt2
7、，t0,2即f(x)2xx2，x0,2(2)(配凑法)f22，f(x)x22，x2，)(3)(待定系数法)f(x)是一次函数，可设f(x)axb(a0)，3a(x1)b2a(x1)b2x17.即ax(5ab)2x17，解得f(x)的解析式是f(x)2x7.(4)(消去法)当x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代替x得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：假设函数的类型，可用待定系数法(2)换元法：复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(3)配凑法：由条
8、件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(4)消去法：f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)跟踪训练1(1)假设f，那么当x0，且x1时，f(x)等于()A.B.C.D.1答案B解析f(x)(x0且x1)(2)f(x)是二次函数且f(0)2，f(x1)f(x)x1，那么f(x)_.答案x2x2解析设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)2ax2bx2x1，即2axabx1，即f(x)x2x2.(3)f(x)满足2
9、f(x)f3x1，求f(x)解2f(x)f3x1，以代替中的x(x0)，得2ff(x)1，2，得3f(x)6x1，故f(x)2x(x0)分段函数命题点1求分段函数的函数值例2(1)函数f(x)假设f6，那么实数a的值为_，f(2)_.答案56解析由题意得，f313，所以ff(3)93a6，所以a5，f(2)4526.(2)f(x)那么f(2)_.答案3解析f(2)f(1)1f(0)2cos2123.命题点2分段函数与方程、不等式问题例3设函数f(x)那么使f(x)的x的集合为_答案解析由题意知，假设x0，那么2x，解得x1；假设x0，那么|log2x|，解得x或x.故所求x的集合为.本例中，那
10、么使f(x)的x的集合为_答案解析当x0时，由2x得10时，由|log2x|得0x.综上，所求x的集合是.思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路求函数值：当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来跟踪训练2(1)设函数f(x)那么f(f(1)_.答案3解析f(1)2，f(f(1)f(2)3.(2)(2022成都诊断)函数f(x)那么不等式xf(x1)10的解集是_答案(5,5)解析当x12，即x3时
11、，f(x1)(x1)2x3，代入得x(x3)10，得2x5，所以3x5；当x12，即x3时，f(x1)2，代入得2x5，所以5x0)，f(t)lgtf(2)lg2.5f2x5，且f(a)6，那么a等于()AB.C.D答案B解析令tx1，那么x2t2，所以f(t)2(2t2)54t1，所以f(a)4a16，即a.6函数f(x)那么f(f(3)等于()A.B.CD3答案A解析因为f(3)1log23log20，所以f(f(3)f.7(2022衡水调研)函数f(x)且f(x0)3，那么实数x0的值为()A1B1C1或1D1或答案C解析由条件可知，当x00时，f(x0)2x013，所以x01；当x00
12、时，f(x0)3x3，所以x01.所以实数x0的值为1或1.8.如图，AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQAB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设APx(0x2)，图中阴影局部表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，那么函数yf(x)的大致图象是()答案A解析观察可知阴影局部的面积y的变化情况为：(1)当0x1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快(2)当1x0)解析在f(x)3f1中，将x换成，那么换成x，得f3f(x)1，将该方程代入方程消去f，得f(x)(x0)10(2022江苏)函数f(x)满足f(x4)f(x)(
13、xR)，且在区间(2,2上，f(x)那么f(f(15)的值为_答案解析由函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)f(1)，所以f(f(15)fcos.11假设f(x)对于任意实数x恒有2f(x)f(x)3x1，那么f(1)_.答案2解析令x1，得2f(1)f(1)4，令x1，得2f(1)f(1)2，联立得，f(1)2.12函数f(x)那么不等式f(x)5的解集为_答案2,4解析由于f(x)当x0时，令3log2x5，即log2x2log24，解得0x4；当x0时，令x2x15，即(x3)(x2)0，解得2x3，2x0.不等式f(x)5的解集为2,4
14、13(2022湖北宜昌一中模拟)设函数f(x)假设f4，那么b等于()A1B.C.D.答案D解析f3bb，当b1，即b时，f，即422，得到b2，即b；当b时，f3bb4b，即4b4，得到bf(t)，那么实数t的取值范围是_答案(4,4)解析f(2)4，f(4)8，不等式f(f(2)f(t)可化为f(t)8.当t0时，2t8，得4t0；当t0时，t22t8，即(t1)29，得0t4.综上所述，t的取值范围是(4,4)15具有性质：ff(x)的函数，我们称f(x)为满足“倒负变换的函数，以下函数：f(x)x；f(x)x；f(x)其中满足“倒负变换的函数是_(填序号)答案解析对于，f(x)x，fxf(x)，满足；对于，fxf(x)，不满足；对于，f即f故ff(x)，满足综上，满足“倒负变换的函数是.16根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c_，A_.答案6016解析因为组装第A件产品用时15分钟，所以15，所以必有4A，且30，联立解得c60，A16.