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1、双曲线及其标准方程（教学设计）双曲线及其标准方程（教学设计） 一、教学目标：一、教学目标： 知识与技能： （1）理解双曲线的定义及焦点、焦距的意义，掌握双曲线的标准方程（2）根据不同的题设条件，正确区分两种不同的标准方程 过程与方法： （1）引导学生，通过与椭圆的对比去探索双曲线标准方程的推导，加深对数形结合 思想及事物类比的研究方法的认识 （2）从建立坐标系、简化方程过程中，培养学生观察、分析、推理的能力 情感态度与价值观： （1）培养学生勇于探索，善于研究的精神 （2）通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教 学氛围 二、重点难点二、重点难点 重点：双曲线的定义
2、及其标准方程的推导 难点：（1）理解，及双曲线左、右支等不同的轨迹情形；ca22 ca22 （2）令的思维过程，及焦点分别在 x 轴 y 轴上的标准方程形式222acb 三、教学设计三、教学设计 （一）情境设置（一）情境设置 1、荆门市火力发电厂通风塔图片和演示截面图 2、初中代数中反比例函数的图象 那么，双曲线是怎样形成的？ （二）（二） 、探索定义、探索定义 1、模拟实验：取一条拉链，拉开一部分，在拉开的一边取其端点，在另一边中间部分 取一点，分别固定在 F1、F2两点处，把笔尖放在点 M 处，随着拉链逐渐拉开或合拢，笔尖 就画出一条曲线 （演示模拟实验） 2、分析问题： （1）动点 M
3、与定点 F1、F2的距离之差保持怎样的关系？（2）这个常数与|F1F2|大小关系？ （3）|MF1|与|MF2|大小关系与 M 点的位置有何关系? 3、定义：平面内与两个定点 F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 2a（小于|F1F2|）的 点的轨迹叫做双曲线 定点 F1、F2焦点 距离|F1F2|=2c焦距思考题：由定义知|MF1|MF2|=2a(2a0),2c=|F1F2| 若 2a2c，点 M 的轨迹是什么？ 由模拟实验讨论，轨迹不存在 （三）探求方程（三）探求方程 1、双曲线方程的推导 解：建系设点 以 F1、F2所在直线为 x 轴，它们的中点为坐标原点，建立直角坐标 系.设点 M（x
4、,y）是双曲线上任一点，F1(-c,0)，F2(c,0)， 写出轨迹上动点 M 的适合条件由定义可知 M 点满足aMFMF221列出方程 aycxycx2)()(2222化简方程 移项2222)(2)(ycxaycx平方 222222)(2()(ycxaycx整理得 ，222)(ycxaacx即 )()(22222222acayaxac由双曲线定义可知 2a,即 a, c2c022 ac设=，方程整理得 22ac 2b0, 012222 baby ax这是焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程，其中，)0 ,(),0 ,(21cFcF 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为)0, 0( 12222
5、babx ay), 0(), 0(21cFcF2、判断下列双曲线方程焦点的位置 13422 yx14322 yx14322 xy13422 yx如何判断双曲线焦点在哪个坐标轴上？ 3、双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较 双曲线标准方程中距离差“-” ，有别于椭圆中距离和“+” ， 双曲线标准方程中 a、b、c 的关系是 c2=a2 +b2 ,a0，b0；有别于椭圆方程中， c2=a2 -b2 ,ab0 双曲线标准方程中，如果 x2项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2项的系 数是正的，那么焦点在 y 轴上有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐 标轴上 （四）应用练习（四）应用
6、练习 例 1 填空题(1)已知双曲线方程，则a= ,b= ,c= 116922 yx焦点在 轴上，其坐标为 ，焦距为 (2)如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么 a= )0( 114222 aayx12322 yx例 2已知一动圆过定点 M（-4，0）且与已知圆 C：(x-3)2+y2=4 相外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程 分析：根据双曲线的定义求解 解：设动圆 P 的半径为 r(r0)，圆 (x-3)2+y2=4 的圆心为 C (3,0),半径为 2 则|PM|=r |PC|=r+2 |PC|-|PM|=2|PM| P 点的轨迹是以 M、C 为焦点的双曲线的左支 则 c=3, a=1, b2
7、=c2 -a2=8P 点的轨迹方程为 (x2c=|F1F2|” 教师：椭圆定义中和为常数，记为 2a，双曲线中差的绝对值为常数，我们也记为 2a； 所不同的是双曲线中常数 2a 小于|F1F2|，椭圆中常数 2a 大于|F1F2|；同样这两个定点叫双 曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，记为 2c=|F1F2| 教师：双曲线满足动点到两定点的距离之差的绝对值为常数，用数学表达式表示为 （板书）|MF1|MF2|=2a(2a0 且 2a2c=|F1F2|） 教师：由定义知道，差的绝对值为常数 2a2c，能否大于或等于 2c 呢？我们来讨论 一下这三种情况的点的轨迹 问题 1、若 2a2c
8、，点 M 的轨迹是什么？ 学生 7：是椭圆 教师：椭圆定义中是到两定点的距离“之和”为常数，我们这里是“之差”满不满椭 圆定义？ 师生：不满足 教师：不是椭圆， 教师：当 2a2c 时，既不构成三角形，又不共线那么 师生：轨迹不存在 （设计感悟：三个问题的设计，使学生对双曲线定义中 2a 与 2c 的关系，更进一步理 解 ） 教师：复杂的曲线可以通过建立适当的坐标系得到简单对称的曲线方程，如椭圆的标准方程，那么双曲线方程如何？12222 by ax0 ba教师：我们用求曲线方程的一般步骤，类比于椭圆的标准方程推导过程，共同来推导 双曲线的方程第一步是 师生：建系设点 教师：你准备如何建系？ 学
9、生 8：以 F1、F2它们的中点为坐标原点，所在直线为 x 轴，建立直角坐标系.设点 M（x,y）是双曲线上任一点，F1(-c,0)，F2(c,0)， 教师：这样建系设点不仅满足双曲线的对称性，而且还使得所设未知数、参数尽可能 少且具有直观性很好教师：第二步写出几何条件，第三步根据几何条件，以及两点间aMFMF221的距离公式列出方程，第四步化简方程请同学aycxycx2)()(2222们类比于椭圆方程推导过程来完成 （学生积极思考，认真演算） 教师：（在学生讨论过程中）对于这个方程的化简，主要任务是去掉什么？ 学生：去根号 学生 9：先移项，再平方 教师：含两个根式时，将一个移项，再平方学生
10、 9：再一次平方得：)()(22222222acayaxac 教师：很好在椭圆方程简化中我们也遇到了类似的一个方程，我们是怎么处理？ 师生：设字母 b 教师：我们引入一个字母 b(b0),使 b2=a2 c2，因为椭圆中 a 大于 c我们能否也 引入一个量，哪位同学出出主意？学生 10：设=22ac 2b 教师：双曲线中 a 与 c 关系？ 学生 10：c 大于 a教师：这个方法很可行，因为是一个正数，所以令=此时即可化简，22ac 22ac 2b 结果是师生：12222 by ax教师：这个方程叫做双曲线的标准方程它所表示的双曲线焦点在 X 轴上，其中 ，)0 ,(),0 ,(21cFcF
11、（板书）标准方程，焦点在 x 轴上 )0, 0( 12222 babx ay教师：如果我们以 F1F2所在的直线为 y 轴，即焦点在 y 轴上，它的标准方程怎样？学生： 12222 bx ay教师：与椭圆中类似，由坐标变换思想，互换 x,y 的位置即可得焦点在 y 轴上的方 程（板书）焦点在 y 轴上， )0, 0( 12222 babx ay), 0(), 0(21cFcF教师：标准方程形式上与椭圆类似，右边为 1，左边为平方差的形式；而椭圆左边为 和的形式两个双曲线标准方程形式相似，但焦点的位置不同，如何判定焦点在哪条坐标 轴上？ 判断下列双曲线方程焦点的位置 13422 yx14322
12、yx14322 xy13422 yx学生 10：焦点在 X 轴上，焦点在 y 轴上 教师：是标准方程吗？ 学生：不是标准方程 教师：你能不能将它化为标准方程 学生 10：同时乘-1，得就是方程14322 xy教师：你能不能帮我们归纳一下，在双曲线标准方程中如何判断双曲线焦点在哪个坐 标轴上？ 学生 10：如果 x2项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2项的系数是正的，那 么焦点在 y 轴上 教师：他给了我们一个判定双曲线焦点位置的方法，而椭圆标准方程中，通过比较 a、b 即分母大小，判定焦点的位置 教师：把双曲线标准方程与椭圆标准方程作一下比较首先，从方程形式上看有什么 不同？ 学生
13、 11：双曲线标准方程中距离差“-” ，有别于椭圆中距离和“+” ， 教师：a、b、c 三者关系有什么不同？ 学生 11：双曲线中 c2=a2 +b2 ,a0，b0；有别于椭圆方程中，c2=a2 -b2 ,ab0 教师： 焦点位置判定方法不同 （设计感悟：学生自行推导方程教师进行指导，又推导焦点在 y 轴上的标准方程形式，进 行区别，教师适时提出问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？从而突破难点，正确区 别两个不同的标准方程形式 ） 教师：我们来做几个练习，熟悉双曲线的定义和标准方程 例 1 填空题(1)已知双曲线方程，则a= ,b= ,c= 116922 yx焦点在 轴上，其坐标为 ，焦距为
14、 (2)如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么 a= )0( 114222 aayx12322 yx教师：先看第 1 题，快速作答 学生 12：a=3, b=4，c=5,x 轴， （-5，0） （5，0） ，焦距为 10 教师：接着计算一下第（2）题学生 13：a=19 教师：双曲线焦点在哪个轴上？ 学生 13：在 x 轴上教师：等于多少？2c教师：在椭圆的焦点也应在 X 轴上，那么等于2c学生 13：=14-a22c 教师：14-a2等于 5，则 a2为 9，a 等于 3，因为 a 大于 0 （设计感悟：巩固双基，信息反缋） 例 3已知一动圆过定点 M（-3，0）且与已知圆 C：(x-3)2+y2
15、=4 相外切，求动圆圆 心 P 的轨迹方程 学生：（思考） 教师：点 P 是动点，M 点和 C 点是两个定点，且在 X 轴上对称的两点；圆 P 和圆 C 相 外切，两圆相外切，能得到什么条件？ 师生：圆心距等于半径之和 教师：|PC|-|PM|=2 即，P 点到 C 点的距离之差是 学生：是常数 教师：P 点的轨迹是什么？ 学生：双曲线 教师：我们跟踪一下它的轨迹来看一看（演示跟踪轨迹） 教师：当我们知道曲线的属性，就可以用待定系数法求方程，关键是求 a,b学生 14：c=3, a=1, b2 =c2 -a2=8，P 点的轨迹方程为 182 2yx教师：还需要什么条件？ 学生 14：X0 教师
16、：要注意讨论轨迹的范围 教师：我们利用双曲线的定义得到了它的方程 （设计感悟：更进一步的掌握双曲线的定义，用待定系数法求方程 ） 教师：双曲线与椭圆有区别又有联系， 我们通过一个表格来比较异同点我们横向来填 空 （教师与学生一起来完成表格）椭圆双曲线定义aMFMF221aMFMF221图形标准方程12222 by ax0 ba12222 bx ay0 ba12222 by ax0, 0ba12222 bx ay0, 0ba焦点坐标0 , cF cF, 00 , cF cF, 0焦点位置与标 准方程的关系比较分母大小 若 x2项的系数是正的，那么焦点 在 x 轴上；若 y2项的系数是正的， 焦点
17、在 y 轴上a、b、c 关系c2=a2 -b2c2=a2 +b2（设计感悟：采用启发探求式数学方法，引导学生与椭圆方程类比完成，掌握两者的 区别与联系，并认识到比较法是认识事物，掌握其实质的一种有效方法 ） 教师：本课我们通过模拟拉链实验，得出双曲线的定义，并与椭圆类比，得出双曲线 的标准方程，以及方程中 a、b、c 的关系，同学们要注意使用类比的方法，依照椭圆中的 探究思路来处理双曲线中的类似问题 （设计感悟：一方面让学生再次回顾过程，另一方面是对探索过程的再认识，对思维 的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训 ） 设计理念设计理念 1. 情景引入生活化热电厂冷凝通风塔的轮廓抽象、拉链动
18、画实验都来源于学生熟悉的现实生活，给学生 以亲切感，并让教材内容生动活泼，能创设良好的教学氛围同时，让学生感知“数学来 源于生活，又服务于生活” 2. 知识建构序进化以建构主义教育理论为指导由旧知向新知不断类比，在探究中不断发现新问题，解 决新问题体现了层层递进的知识同化过程例题习题由易到难，循序渐进 3. 学习过程自主化创设良好的问题情境在教师调控下，让学生去探究、讨论、演算，形成“我问” 、 “我 猜想” 、 “我动手” 、 “我判断”的自主意识和学习行为培养学生主动面对各种困难的信 心和勇气，以及分析问题、解决问题的能力和方法 4. 电脑课件实用化本课制作课件分四块有很好的实用价值，真正起到了突破重难点，引导学生探究、 发现，激发学习兴趣，增大容量，充实信息，促进理解的作用课件的使用，很大程度上 改变了以往单一教学方式和学习方式，提高了课堂教学效益