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1、12009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第 07 讲：解三角形1、 （2012一试2）设的内角的对边分别为，且满足，则ABC, ,A B C, ,a b c3coscos5aBbAc的值是.tan tanA B【答案】42、 （2013 一试 3）在中，已知，,则的值为.ABCsin10sinsinABCcos10coscosABCtan A【答案】11.【解析】由于，所以，故sincos10 sinsincoscos10cos10cosAABCBCBCA sin11cosAA.tan11A 3、 （2014 一试 7）设等边三角形的内切圆半径为 2，圆心为.若点满足，则与ABCIP1P
2、IABC的面积之比的最大值为_.APC【答案】3+ 5 2【解析】1PIPI由知点在以为圆心的单位圆k上.000,BAPKPP设在圆上取一点，使得取到最大值，此时应落在000,3IACK内，且是AP与圆的切点，由于故001sin()sinsinsin62,(1)1sin()sin()sin()sin()23336APBAPCAP ABS SAP AC 00=.6IAP 其中，0 011sin,cot15,224IPAP IAIr由知，于是所以2ITQPNMCBAABCMNPTII2I1ABCMNPQTI13sin()cossincot315335622=.213cot3153sin()coss
3、in622 03512.2APBAPCSPPS根据（）、（）可知，当时，的最大值为4、 （2009 二试 1）如图，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中MNABCAB BCAC点过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于CPCMNPIABCPIT求证：；MP MTNP NT在弧（不含点）上任取一点（，） ，记，的内心分别为，ABCQQATBAQCQCB1I，2I求证：，四点共圆Q1I2IT【解析】连，由于，共圆，NIMIPCMNPCMN于是，NPMIPMNI故四边形为平行四边形因此（同底，等高） MPNIPMTPNTSS又，四点共圆，故，由三角形面积公式PNTM180TNPPMT 1sin2
4、PMTSPM MTPMT1sin2PNTSPN NTPNT1sin2PN NTPMT于是PM MTPN NT因为，1111NCINCAACINQCQCICI N 所以，同理由得1NCNI2MCMIMP MTNP NTNTMT MPNP3由所证，故MPNCNPMC12NTMT NIMI又因，有12I NTQNTQMTI MT 12I NTI MT故，从而12NTIMTI 1212I QINQMNTMI TI 因此，四点共圆学/科网Q1I2IT5、 （2010 二试 1）如图，锐角三角形 ABC 的外心为 O，K 是边 BC 上一点（不是边 BC 的中点） ，D 是线段AK 延长线上一点，直线 B
5、D 与 AC 交于点 N，直线 CD 与 AB 交于点 M求证：若 OK MN，则A，B，D，C 四点共圆同理， 22222QKQOrKOr所以，2222POPKQOQK故由题设，OKMN，所以 PQMN，于是OKPQAQAP QNPM由梅内劳斯（Menelaus）定理，得，1NB DE AQ BD EA QNEQPON MKDCBA41MC DEAP CDEA PM由，可得，所以，故DMNDCB，于是，所以NBMC BDCDNDMD BDDCDMNDCB BCMN，故 OKBC，即 K 为 BC 的中点，矛盾！从而四点共圆. , ,A B D C注 1：“P 的幂（关于O）K 的幂（关于O）
6、 ”的证明：延长 PK 至点 F，使得2PK ，PK KFAK KE则 P，E，F，A 四点共圆，故，PFEPAEBCE 从而 E，C，F，K 四点共圆，于是，PK PFPE PC-，得P 的幂（关于O）K 的幂（关于O） 2PKPE PCAK KE注 2：若点 E 在线段 AD 的延长线上，完全类似6、 （2011 二试 1）如图，分别是圆内接四边形的对角线的中点若，证QP,ABCDBDAC,DPABPA明：CQBAQBFEQPON MKDCBA5从而有，BQACBDACBDACCDAB)21(21即CDBQ ACAB又，所以ABQACD，所以ACDABQDACQAB延长线段与圆交于另一点，
7、则，故AQFDAFCAB DFBC又因为为的中点，所以QBDDQFCQB又，所以DQFAQBCQBAQB7、 （2012 二试 1）如图，在锐角中，是边上不同的两点，使得ABC,ABAC M NBC设和的外心分别为，求证：三点共线.BAMCAN ABCAMN12,O O12,O OA【解析】证明：如图.连接,过点作的垂线交的延长线于点,则12,AO AOA1AOAPBCPAPABMNC6是的切线.因此, 因为1O:BPAC ,BAMCAN 所以AMPBBAMPACCANPAN 因而是的外接圆的切线, 故所以三点共线.APAMN:2O2.APAO12,O OA8、 （2013 二试 1） （本题
8、满分 40 分）如图，是圆的一条弦，为弧内一点，E、F 为线段上ABPABAB两点，满足.连接并延长，与圆分别相交于点.求证：AEEFFBPEPF、CD、EF CDAC BD【证明】连接 AD，BC，CF，DE.由于 AE=EF=FB，从而.sin=2sinBCBCEBCPBE ACACEACPAE点到直线的距离 点到直线的距离 1同样.sin=2sinADADFAPDAF BDBDFBPDBF点到直线的距离 点到直线的距离2另一方面，由于，BCEBCPBDPBDF ，ACEACPADPADF 故将 ， 两式相乘可得，即124BC AD AC BDA BCDEFP PFEDCBA74BC AD
9、AC BD3由托勒密定理AD BCAC BDAB CD4故由 ， 得,343AB CDAC BD即.学科&网EF CDAC BD9、 （2014 二试 2） （本题满分 40 分）如图，在锐角三角形 ABC 中，BAC60，过点 B,C 分别作三角形ABC 的外接圆的切线 BD,CE,且满足 BD=CE=BC,直线 DE 与 AB，AC 的延长线分别交于点 F,G，设 CF 与BD 交于点 M,CE 与 BG 交于点 N，证明：AM=AN.|,LNCG同理，由此推出0180 -BALABLALM =ALB+BLM =ALB 80=180 -CALALCACLALCCLN.ALN|BCFG再结合
10、以及内角平分线定理得到1LMLMBF CGCLAB BCCL AB LNBFCG LNBC ACBLBL AC及LM =LN .故由AL=AL, ALM =ALN , LM =LN 得到ALM 与ALN全等，因而AM =AN , 证毕.10、(2015 二试 3)(本题满分 50 分)如图,内接于圆为上一点,点在线段上,使得ABC,O P:BCKAP平分,过三点的圆与边交于点,连结交圆于点,连结并延长与边BKABC, ,K P CACDBDEPE交于点,证明:ABF2ABCFCB 911、 （2016 一试 9） （本题满分 16 分）在中，已知.求的最ABCCBCABCBAACAB32Csi
11、n大值.【解析】由数量积的定义及余弦定理知，.2cos222acbAcbACAB同理得，.故已知条件化为2222bcaBCBA2222cbaCBCA)(3)(2222222222cbabcaacb即.22232cba等号成立当且仅当.因此的最大值是.5:6:3:cbaCsin3712、 （2016 二试 2） （本题满分 40 分）如图所示，在ABC 中，X,Y 是直线 BC 上两点（X,B,C,Y 顺次排列），使得 BXAC=CYAB. 设ACX，ABY 的外心分别为，直线与 AB,AC 分别交于点12,O O12OO10U、V.证明：AUV 是等腰三角形.【证明】作BAC 的内角平分线交
12、BC 于点 P,设ACX 和ABY 的外接圆分别为和，由内角平分1w2w线的性质知，,由条件可得,从而BPAB CPACBXAB CYAC.PXBXBPABBP PYCYCPACCP即 CPPX=BPPY.故 P 对圆和的幂相等，所以 P 在和的根轴上.1w2w1w2w于是 AP，这表明点 U、V 关于直线 AP 对称，从而AUV 是等腰三角形.12OO13、 （2017 二试 1） （本题满分 40 分）如图，在中，为的内心，以为圆心，ABCABACIABCA为半径作圆，以为圆心，为半径作圆，过点的圆与,分别交于点（不同AB1TIIB2TBI、3T1T2T,P Q于点） ，设与交于点.证明：.BIPBQRBRCR证明：连接,.IB IC IQ PB PC1120 1,IBQIPB.,IABCIBIC,1180,2360360IBIPQTIBIQIRIB ICIPABACIRICBCBPCABRCIRBIRCIBPICPBICBPC :由于点在圆上，故所以故I BPI R B, 从而有I R B= I BP, 且注意到且为的内心，故所以于是I C PI R C , 故I R C = I C P.又点P在圆T的弧上，故因此0011(90+180=90.22AABRCR）（）. 故