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1、数学直通车数学直通车-函数及函数及其性质其性质知识体系知识体系第一节第一节 函数及其表示函数及其表示基础梳理基础梳理1. 函数的概念设A、B是非空的 ,如果按照某个确定的 ,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有 和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数.记作 .其中,x叫做 ,x的取值范围A叫做函数的 ;与x的值相对应的y值叫做 ,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的 .对应关系f唯一确定的数f(x)y=f(x),xA自变量定义域函数值值域数集2. 构成函数的三要素: 、 和 .定义域 对应关系值域3. 两个函数的相等两个函数能成为同一个函数的充要条件是 与 都相同.定义
2、域对应法则4. 常用的函数表示法(1) ; (2) ; (3) . 解析法列表法图象法5. 分段函数若一个函数的定义域分成了若干个 ,而每个 的 不同,这种函数称为分段函数. 子区间子区间解析式6. 映射的概念一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的 元素x,在集合B中都有 的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射，记作“ ” 任意一个唯一确定f:AB7. 复合函数若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么 称为复合函数,u称为 ,它的取值范围是g(x)的 .y=fg(x)中间变量典例分析典例分析题型一题型一
3、 函数的概念函数的概念【例1】设函数 ,求f（-4）；若 =8 求2,22, 2)(2xxxxxf)(0 xfx0分析 这是分段函数的变换问题,需要结合定义域作数值代换.解 -40, 0,a1)B. f(x)= ,g(x)= C. f(x)=2x-1(xR),g(x)=2x+1(xZ)D. f(x)= ,g(t)= axalogaxalog x233x242xx242tt解析： 选项A、B、C中函数的定义域不同.答案： D分析 第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法;第(4)题用方程组法.题型三题型三 求函数解析式求函数解析式 【例3】(1)已知 ,求f
4、(x);(2)已知f( +1)=lg x,求f(x);(3)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);(4)已知f(x)满足2f(x)+f( )=3x,求f(x).3311()fxxxx2x1x解(1) ,f(x)= -3x(x2或x-2).(2)令 +1=t(t1),则x= ,f(t)=lg ,f(x)=lg (x1).(3)设f(x)=ax+b(a0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17,a=2,b=7,f(x)=2x+7.333111()3()1()f xxxxxxxx3x2x2
5、1t21t21x(4)2f(x)+f( )=3x,把中的x换成 ,得2f( )+f(x)=3x,2-,得3f(x)=6x- ,f(x)=2x- (x0).1x1x1x3x1x学后反思 函数解析式的求法常见有:(1)配凑法.已知fh(x)=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理成或配凑成只含h(x)的式子,用x将h(x)代换.(2)待定系数法.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数），比如二次函数可设为f(x)=a +bx+c(a0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出a、b、c即可.(3)换元法.已知fh(x)=g(x),求f(x)时，往往可设h(x)=t,
6、从中解出x,代入g(x)进行换元，便可求解.(4)方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未知量,如f( )等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).2x1x举一反三举一反三3. (1)(2009广州模拟)若f(x)对任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(x)= 。 (2)(2009潮州模拟)设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,在x1时,f(x)= -1,则x1时,f(x)= 。12x解析：(1)2f(x)-f(-x)=3x+1,2f(-x)-f(x)=-3x+1,由、解得f(x)=x+1.(2)当x1时,
7、有-x+21时,f(x)=f(-x+2)= -1.答案： (1)x+1 (2) -112x32x32x题型四题型四 分段函数的应用分段函数的应用 【例4】（12分）（2009福建省普通高中毕业班单科质量检查）已知某企业原有员工2 000人,每人每年可为企业创利润3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元.据评估,当待岗员工人数x不超过原有员工1%时,留岗员工每人每年可为企业多创利润 万元；当待岗员工人数x超过原有员工1%时,
8、留岗员每人每年可为企业多创利润0.959 5万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗?811100 x分析 利用条件建立数量模型，注意本题要用分段函数建模.解 设重组后,该企业年利润为y万元.2 0001%=20,当0 x20且x N时, x2 0005%，x100,当20 x100且x N时,y=(2 000-x)(3.5+0.959 5)-0.5x= -4.959 5x+8 919. 8 1( 2 0 0 0) ( 3 .51)0 .51 0 03 2 45 ()9 0 0 0 .8 1 .yxxxxx . 2. 43245()9000.81,020,4.95958919,20100.
9、xxxyxxxx且且. 6当0 x20时,有 当且仅当 ,即x=18时取等号,此时y取得最大值. .8当20 x100时,函数y=-4.959 5x+8 919为减函数,所以y0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),则f(x+1)=f(x)-f(x-1),两式相加并整理得f(x+1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x),f(x+6)=-f(x+3)=f(x),f(2 009)=f(6334+5)=f(5)=f(-1)= =1.答案:12(1),0( )(1)(2),0logx xf xf xf xx22log11. 如图,在边长为4的正方形ABCD上有一点P,沿着折线BCDA由B点
10、(起点)向A点(终点)移动,设P点移动的路程为x,ABP的面积为y=f(x).求ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式.解析: 这个函数的定义域为(0,12).当0 x4时,S=f(x)= 4x=2x;当4x8时,S=f(x)=8;当8x-2x的解集为(1,3).若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式.解析: f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=a -(2+4a)x+3a,由方程f(x)+6a=0，得a -(2+4a)x+9a=0,因为方程有两个相等的根,所以= -4a9a=0,即5 -4a-1=0,解得a=1或a=- ,由于a2或x0, -3x3,解得-3x0或2x
11、0,解得 x0答案： B31题型二题型二 复合函数的定义域复合函数的定义域【例2】(1)已知函数f(x)的定义域为0,1，求下列函数的定义域:f( );f( -1).(2)已知函数flg(x+1)的定义域是0,9，则函数f( )的定义域为 .x2x2x分析 根据复合函数定义域的含义求解. 解 (1)f(x)的定义域是0,1,要使f( )有意义，则必有0 1,解得-1x1.f( )的定义域为-1,1.由0 -11，得1 2.1x4.(x0时， 才有意义)函数f( -1)的定义域为1,4.(2)flg(x+1)的定义域为0,9,0 x9,1x+110,0lg(x+1)1，f(x)的定义域为0,1.
12、由0 1,得x0.f( )的定义域为(-,0 x2x2x2xxxx2x2x学后反思 已知函数f(x)的定义域为a,b,则函数fg(x)的定义域是指满足不等式ag(x)b的x的取值范围;一般地,若函数fg(x)的定义域是a,b,指的是xa,b,要求f(x)的定义域就是求xa,b时g(x)的值域. 举一反三举一反三题型三题型三 函数的值域函数的值域【例3】求下列函数的值域.(1)y=3 -x+2,x-1,3;(2)y=2x- ;(3)y= .x2x212121xx2. 已知 的定义域为0,3,求f(x)的定义域.(1)fx 解析： 的定义域为0,3,0 x3,1 2，f(x)的定义域为1,2.(1
13、)fx1x分析 对于（1）利用二次函数在确定区间单调性求解或利用在区间的图象判别.对于（2）利用换元法转化为二次函数的值域问题，还可以通过单调性求解.对于（3）利用指数函数性质求得(2x0).解 (1)y=3 -x+2= .对称轴x= -1,3,函数在x= 处取得最小值.即 .结合函数的单调性知函数在x=3处取得最大值,即 =26，函数的值域为 x212236132x61611223minyymax26,1223(2)方法一:令 =t(t0),则x= .y=1- -t=二次函数对称轴为t=- ,y= 在0,+)上是减函数,ymax= =1.函数有最大值1,无最小值,其值域为(-,1.方法二:y
14、=2x与y=- 均为定义域上的增函数,y=2x- 是定义域为x|x 上的增函数, ,无最小值.函数的值域为(-,1.x21212tt245212t2145212t452102x21x212112121212maxy(3)由y= ，得 .由指数函数的性质可知， 0，解得-1y1.故函数的值域为（-1，1） 2121xxyyx112yy11学后反思 求函数值域(最值)的常用方法:(1)基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解.(2)配方法对于形如y=a +bx+c(a0)或F(x)=a +bf(x)+c(a0)类的函数的值域问题,均可用配方法求解.(3)换元法利用代数或三角换元,将所
15、给函数转化成易求值域的函数,形如y= 的函数,令f(x)=t,形如y=ax+b (a,b,c,d均为常数,ac0)的函数, 令 =t;形如含 的结构的函数,可利用三角代换,令x=acos ,0,或令x=asin, .(4)不等式法利用基本不等式:a+b2 ,用此法求函数值域时,要注意条件“一正、二定、三相等”.如利用a+b2 求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件:a0,b0;a+b(或ab)为定值;取等号条件a=b，三个条件缺一不可.x2 xf2 xf1dcxdcxxa222,2abab(5)函数的单调性法确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域,例如,f(x)=ax
16、+ (a0,b0).当利用不等式法等号不能成立时,可考虑用函数的单调性.(6)数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义,可借助几何法求函数的值域,形如: 可联想两点 与 连线的斜率.(7)函数的有界性法形如y= ,可用y表示出sin x,再根据-11,即a1时,f(x)在区间1,+)上先减后增,f(x)min=f( )=2 +2;若a1,即0g(x)时,求函数 的最小值.ABx2 xfxg1解析： (1)由已知得A ,B(0,b).则于是 =2,b=2，k=1,b=2.(2)由f(x)g(x),得x+2 -x-6,即(x+2)(x-4)0,得-2x0,则 -3,其中当且仅当x+2=1,即x=-
17、1时等号成立. 的最小值是-3.0 ,kbbkbAB,kbx2 52122512xxxxxxfxg xfxg1 xfxg1易错警示易错警示【例】 已知f(x)=2+ (1x9),求函数y= 的 最大值. xlog3 xfxf22错解 y= = ,即 y=1x9,0 2.当x=9,即 =2时,y取最大值为22. xfxf22xx232log2log2333log6log6log33232xxxxlog3xlog3错解分析 忽视了复合函数f( )的定义域,误以为函数y的定义域仍为f(x)的定义域,从而导致求最大值出错.正解 f(x)的定义域为1,9,要使函y= 有意义,必有: 1 9, 1x9，1
18、x3,0 1.当x=3,即 =1时,y的最大值为13. xfxf22x2xlog3xlog3x2考点演练考点演练10. 函数f(x)= 在区间a,b上的值域为0,1,则b-a的最小值为 .答案:3logx23解析:由图象可知,a,b应为 的一个子区间.当a= ,b=1时,b-a取最小值为 .1, 3 3132311. (创新题)如图所示,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽及两边坡的总长度为a,边坡的倾斜角为60.(1)求横断面面积y与底宽x的函数关系式,并求定义域;(2)当 时,求横断面面积的最大及最小值.42aax解析：(1)坡长为 ,高为 sin 60= ,上底为x+2 cos 60= ,面
19、积 定义域为(0,a).2ax2a x2ax3()4ax2ax223()32(2)24163axxaxyaxxa(2) ,由二次函数的图象可知当 时, ;当 时, .22222323 3()31639316344()2ayxaaaaxx42aax2m ax31 6ya2min5364ya2ax 2ax 12. 已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x- .(1)求y=f(x)的解析式;(2)画出函数y=f(x)的图象,并指出f(x)的单调区间及在每个区间上的增减性;(3)若函数y=f(x)的定义域为a,b,值域为 (1ab),求实数a、b的值.2x11,ba解析：(1)当
20、x0,f(x)=-f(-x)=-2(-x)- =2x+ ,f(x)的解析式为 2( ) x2x222,0( )2,0 xxf xxxxx(2)f(x)的图象如图,f(x)在(-,-1和1,+)上是减函数,f(x)在-1,1上是增函数.(3)f(x)在1,+)上是减函数,且1ab,f(x)在a,b上是减函数, 即解得又1ab, 1()1()faafbb221212aabbab15121512aabb或或1152ab第三节第三节 函数的单调性函数的单调性基础梳理基础梳理1. 定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值 , ,当 时,都 有 那
21、么就说f(x)在 上是增函数(减函数).注意:(1)函数的单调性是在 内的某个区间上的性质,是函数的 性 性质：(2)必须是对于区间D内的 两个自变量 , ,即当 时,总有f( )f( ).x1x1x1x1x1x1x2x2x2x2x2区间D定义域局部任意x2 xfxfxfxf21212. 如果函数y=f(x)在某个区间上是 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的 . 3. 设复合函数y=fg(x),其中u=g(x),A是y=fg(x)定义域的某个区间,B是映射g:xu=g(x)的象集.(1)若u=g(x)在A上是增(或减)函数,y=f(u)在B上
22、也是增(或减)函数,则函数y=fg(x)在A上是 ;(2)若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y=fg(x)在A上是 .增函数减函数单调区间增函数减函数典例分析典例分析题型一题型一 函数单调性的判断与证明函数单调性的判断与证明【例1】判断下列函数的单调性,并证明.(1)f(x)= ,x(-1,+);(2)f(x)= ,x-1,+).12x1x分析 先判断单调性,再用单调性的定义证明.(1)采用通分进行变形,(2)采用分子有理化的方式进行变形.解 (1)函数f(x)= 在(-1,+)上为减函数.利用定义证明如下:任取 、 (-1,+),且-1 , 则
23、有 - 0,f( )-f( )=-1 0, +10, - 0. 0,即f( )-f( )0,f( )f( ).f(x)= 在(-1,+)上为减函数.(2)函数f(x)= 在-1,+)上为增函数,证明如下:任取 、 -1,+)且-1 ,f( )-f( )= = = -1 , - 0， 0,即f( )-f( )0,f( )0, 是R上的偶函数.(1)求a的值;(2)求证：f(x)在(0,+)上为增函数.()xxafxaee解析：(1)依题意,对一切xR,有f(-x)=f(x),即 ， ， 不可能恒为0， ,a=1,a0,a=1.1xxxxaaea ea ee11()()0 xxaaee1xxee1
24、0aa(2)证明：方法一(定义法):设 ,则 ,由 ,得 , ,即 ,f(x)在(0,+)上为增函数.120 xx1212212112112211211()()11(1)(1)xxffxxxxxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeee12210,0,0 xxxx212112010,10,x xx xexxe 12()()0ffxx12()()ffxx方法二(导数法):a=1,x(0,+), f(x)= ,f(x)在(0,+)上为增函数.21101()()xxxxxxeeeeee题型二题型二 求函数的单调区间求函数的单调区间【例2】求函数f(x)=x+ 的单调区间 x1分析 利用定义法或导数法
25、.解 方法一:首先确定定义域x|x0,所以要在(-,0)和(0,+)两个区间上分别讨论.任取 , (0,+)且 ,则 = ,要确定此式的正负只要确定 的正负即可.这样,又需要判断 大于1,还是小于1.由于 、 的任意性,考虑到要将(0,+)分为(0,1)与(1,+).x1x2xx21 xfxf12xxxxxxxxxxxxxx211221211211221111xx2111 xx211x1x2(1)当 (0,1)时, 0, 0, 0,f(x)为增函数;同理可求，(3)当 (-1,0)时,f(x)为减函数;(4)当 (-,-1)时,f(x)为增函数.方法二:f(x)=1- ,令f(x)0,得x21
26、,即x1或x-1,令f(x)0,得x21,即-1xb0),求f(x)的单调区间.举一反三举一反三xaxb解析：在定义域内任取 ,ab0,b-a0, ,只有当 或 时函数才单调.当 或 时 .f(x)的单调区间为(-,-b)和(-b,+).12xx1212121212121212()()()()()()()()()()()()aaabbaffbbbbbabbxxxxxxxxxxxxxxxx120 xx12bxx 12bxx 12bxx 12bxx题型三题型三 利用单调性比较大小利用单调性比较大小【例3】设函数f(x)是R上的减函数,则 ( )A. f(a)f(2a)B. f( )f(a)C. f
27、( +a)f(a)D. f( +1)a.又f(x)在R上为减函数,f( +1)f(2a),f( )=f(a),可排除A、B,令a=0,可排除C.(2)此类题的解法依据是增减函数的定义,为此我们可将两个实数转化为同一函数在同一单调区间上的两个函数值,再利用单调性比较大小.2a举一反三举一反三3. 若函数f(x)在a,b上是增函数,对任意的 a,b( ),下列结论中不正确的是( )答案:C12,x x12xx解析:由于f(x)在a,b上是增函数，所以无论 还是 都有( )与 同号，又因为 ，所以 0且 0 ，故A、B、D均正确.由于 与 大小不确定，所以 与 的大小也不确定，C是错误的.12xx1
28、2xx12xx12()()ffxx12xx12xx12()()ffxx2()fx1()fx2x1x1212121212121212()()A .0B.()()()0C.()()()( )D.0()()fffffafffbffxxxxxxxxxxxxxxxx 题型四题型四 单调性的应用单调性的应用【例4】(12分)函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时,f(x)1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3 -m-2)1. .2 .5即f(x)是R上的增函数.612,x x12xx210 xx21fxx212111211
29、121()() 1()10fffffffxxxxxxxxxxxx 21()()ffxx1( )f x2()f x(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5.f(2)=3,.8原不等式可化为f(3 -m-2)f(2),.10f(x)是R上的增函数, 3 -m-20，即x(0,1时,f(x)=a -3x+10可化为a ,设g(x)= , 则g(x)= ,所以g(x)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,因此g(x)max=g（ ）=4,从而a4;x3xx3213xx3213xx4213 21, 01 ,2121当x0,g(x)在区间-1,0)上单调递增,因此g(x)min=g(-1
30、)=4,从而a4.综上，a=4.答案： 4x3xx3213xx3213xx4213 11. (2010锦州模拟)作出函数 的图象,并指出f(x)的单调区间. 22( )6969f xxxxx解析：原函数可化为图象如图所示.由图象可知函数f(x)的单调减区间为(-,-3,单调增区间为3,+),常数函数区间为(-3,3).( ) |3|3|2 ,36, 332 ,3f xxxx xxx x 12. 若函数f(x)=ln 在1,+)上是增函数,求a的取值范围.xax8解析： 要满足题意,首先需要:对任意的1 , 恒成立,即ln ln ,化简得 即 0. 0, -1,a 1,欲使a 恒成立,只要a-1
31、.还要使当x1时, 0恒成立,由f(x)在x1,+)上是增函数知,只要x=1时, 0即可,解得a9.a的取值范围是-1,9).xx21 xfxf21xax118xax228xax118xax228xxaxx21211xx 21xxa211 xxa21xx21xx12xx21xax8xax8第四节第四节 函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性和周期性基础梳理基础梳理1. 定义:一般地,如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有 则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有 则称f(x)为偶函数.2. 简单性质图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象 ;一个函数是
32、偶函数的充要条件是它的图象 .3. 周期:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期 f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)关于原点对称关于y轴对称f(x+T)=f(x),典例分析典例分析题型一题型一 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)= ; (2)f(x)= ;(3)f(x)= ; (4)f(x)=xxx1111122xx221lg22xx0,0,22xxxxxx分析 先求函数的定义域,而后判断f(x)与f(-x)之间的关系.解 (1)由 0,得定义
33、域为-1,1),关于原点不对称,f(x)为非奇非偶函数.(2) 且f(x)=0,f(x)既是奇函数又是偶函数.xx11110101222xxxx(3) 得定义域为(-1,0)(0,1),f(x)= .f(-x)= =f(x),f(x)为偶函数.(4)当x0,则f(-x)= =-f(x),当x0时,-x0,则f(-x)= =-f(x),综上所述,对任意的x(-,0)(0,+),都有f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.0220122xxxxxx22221lg221lgxxxx22221lg1lgxxxx22xxxx22学后反思 判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察
34、函数的定义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变).举一反三举一反三1. 设函数f(x)在(-,+)内有定义,下列函数:y=-|f(x)|;y=xf( );y=-f(-x);y=f(x)-f(-x).必为奇函数的有.(要求填写正确答案的序号)解析:设y=g(x), 根据奇偶函数的定义判断,g(-x)=(-x)f =-xf( )=-g(x);g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x).答案:2()x2x2x题型二题型二 利用函数奇偶性的定义求参数利用函数奇偶性的定义求参数【例2】定义在R上的函数f(x)= (a0)为奇函数，求 的值.4log24
35、axx4log4a分析 利用奇函数的定义域求出a.解 方法一：由条件知f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0. + =0,化简得 a=4,方法二：f(x)是奇函数且f(x)在x=0处有意义，f(0)=0， =0,即 =1,解得a=4.4log24axx学后反思 方法一是利用若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)对任意x恒成立，抓住“对任意x恒成立”是解题关键；方法二要注意f(x)在x=0处有意义这个条件，这种方法很常用，需要熟练掌握.4log24axx238log4log44a4log4a4a238log4log44a224()0,4logaxx举一反三举一反三2. 已知函数
36、f(x)= (a,b,cZ)是奇函数,又f(1)=2,f(2)3,求a,b,c的值.cbxax12解析： 由f(-x)=-f(x)，得-bx+c=-(bx+c),c=0.又f(1)=2,得a+1=2b,而f(2)3,得 3,解得-1a2x-1;(2)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.解析： (1) 即 x(x-1),0 x1.原不等式的解集为（0，1）.221121,11101(1)xxxxxxx21()fxxax(2)当a=0时,f(x)= .对任意x(-,0)(0,+),都有 ,f(x)为奇函数.当a0时, (a0,x0),取x=1,得f(-1)+f(1)=2a0,f(-1)-f(1)
37、=-20,f(-1)-f(1),f(-1)f(1),函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.1x11()( )fxf xxx21( )fxxax12. 设 为奇函数,a为常数.(1)求a的值;(2)证明f(x)在(1,+)内单调递增;(3)若对于3,4上的每一个x的值,不等式 恒成立,求实数m的取值范围.121()1logaxfxx()1()2xfxm解析：(1)f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x). .通过检验a=1(舍去),a=-1.(2)任取 , . ,即 f(x)在(1,+)内单调递增.2211222111101111111loglogaxaxaxaxxxxxaa xx 121xx
38、12110 xx 1121212121122212122220011011111111111loglogxxxxxxxxxxxx 12()()ffxx恒成立.令 .只需 ,可以用定义证明g(x)在3,4上是增函数, . 时原式恒成立.()1()2xfxmmin9(3)8( )gmg x ()()1()2xgxfxmin( )mg x98m 第五节第五节 函数的图象函数的图象 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、 对数函数、三角函数等.对于这些函数的图象应非常清楚描点法作图:通过 、 、 三个步骤,画出函数图象.用描点法在选点时往往选取 ,有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)
39、画出图象图象变换法作图:一个函数的图像经过适当的变换，得到另 一个与之有关的函数图像， 在高考中要求学生掌握三种变换 ， ，换 基础梳理基础梳理函数的图象函数图象的作法1.基本函数:列表描点连线特殊点平移变换伸缩变换对称变换2. 平移变换(1)y=f(x)的图象 得到函数y=f(x+a)的图象.(2)y=f(x-b)(b0)的图象可由y=f(x)的图象 得到.对于左、右平移变换,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀: .而对于上、下平移，相比较则容易掌握，原则是上加下减，但要注意的是加、减指的是在 .如:h0,y=f(x)h的图象可由y=f(x)的图象 而得到.向左平移a(a0)个单位向右平移
40、b个单位左加右减f(x)整体上向上(下)平移h个单位3. 对称变换(1)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于 对称;(2)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于 对称;(3)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于 对称;(4)y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于 对称;(5)y=|f(x)|的图象:可将y=f(x)的图象(6)y=f(|x|)的图象:可先作出y=f(x),当x0时的图象,再利用用 ,作出y=f(x)(x0)的图象.y轴x轴原点直线y=x在x轴下方的部分关于x轴翻转180,其余部分不变偶函数的图象关于y轴对称4. 伸缩变换(1)y=Af(x)(A0)的图象,可将y=f(x
41、)的图象上所有点的纵坐标标, ， 不变而得到;(2)y=f(ax)(a0)的图象,可将y=f(x)的图象上所有点的横坐标, ， 不变而得到. 变为原来的A倍横坐标纵坐标典例分析典例分析题型一题型一 作图作图【例1】作出下列函数的图象.(1)y= ;(2)y= ;(3)y= ;(4)y=xx312xx1log2x21x分析 首先将简单的复合函数化归为基本的初等函数,然后由基本初等函数图象变换得到.变为原来的1/a解 (1)首先化简解析式得 ,利用二次函数的图象作出其图象,如图.(2)因y= ,先作出y= 的图象,将其图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位,即得y= 的图象,如图.(3)先作出y
42、= 的图象,再将其图象向下平移一个单位,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得y= 的图象,如图.(4)先作出y= 的图象,再将其图象在y轴左边的部分去掉,并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y= 的图象,再将y= 的图象向右平移一个单位,即得y= 的图象,如图.0,0,22xxxxy131xx312xxxlog21log2x2x2x2x21x学后反思 已知函数解析式研究函数图象问题,主要是将解析式进行恰当的化简,然后与一些熟知函数的图象相联系,通过各种图象变换(主要有平移变换、伸缩变换、对称变换)等得到要求的函数图象.另外,还要善于借助解析式发现函数的性质(奇偶性、
43、单调性、周期性等),以此帮助分析函数图象的特征.举一反三举一反三1.(2008江西)函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间2,32内的图象大致是 ( )题型二题型二 识图识图【例2】下列四个函数中,图象如下图所示的只能是( )A. y=x+lg xB. y=x-lg xC. y=-x+lg xD. y=-x-lg x解析：函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x| = 2tan x,当tan xsin x时, 2sin x,当tan xsin x时 = 2tan x,2x, 2sin x,x0,而C、D中y0,而A中y=110+lg110=-9100(
44、即图象在x轴上方),在其定义域(0,+)中仅取几个特殊值进行验证,这种赋值法也是经常使用的.举一反三举一反三2. 已知函数y=f(x)(0 x1)的图象如图，若0 1,则( )xx21A. B. C. D. 以上都不正确 xxfxxf2211 xxfxxf2211 xxfxxf2211解析： 如图，设P( ， ),Q( , )，则 、 分 分别是直线OP和OQ的斜率，易知 ，所以答案： Ax1 xf1x2 xf2 xxf11xxf22 xxfxxf2211kkOQOP题型三题型三 函数的图象变换函数的图象变换【例3】(2009青岛模拟)已知则下列函数的图象错误的是( ) 1 , 0, 10 ,
45、 1, 12xxxxxf分析 先画出分段函数 的 的图象，再根据函数图象间的变换逐一判断. 1 , 0, 10 , 1, 12xxxxxf解 f(x)的图象如图所示,f(x-1)的图象由f(x)的图象向右平移1个单位，故A正确;f(-x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，故B正确;由y=f(|x|)的奇偶性可知,保留f(x)在y轴右侧的图象,左侧图象由右侧图象关于y轴对称得到，故C正确;|f(x)|的图象是将f(x)图象在x轴下方部分关于x轴翻转180,其余部分不变,故D错.学后反思 这类问题主要考查函数图象的几种变换(如平移变换、对称变换、伸缩变换等),有时也考查函数的奇偶性及互为反函数的
46、两个函数的图象问题.复习时应加强对y=f(x)与y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、y=f(|x|)、y=|f(x)|及y=af(x)+b的相互关系的理解.举一反三举一反三3. 在同一平面直角坐标系中,y=g(x)，现将y=g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移1个单位,所得图象是由两条线段组成的折线(如图所示),求函数g(x)的表达式.解析：设图中的函数为 ,则 24,23( )1,022xxg xxx21,01( )11, 202xxh xxx 题型四题型四 函数图象综合问题函数图象综合问题【例4】(12分)如图,点A、B、C都在函数y=x的图象上,它们的横坐
47、标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A、B、C,记ABC的面积为f(a),ABC的面积为g(a).(1)求函数f(a)和g(a)的表达式;(2)比较f(a)与g(a)的大小,并证明你的结论.分析 (1)充分利用已知图形,通过图形的拆分与组合找到问题的突破口,从而解决问题.(2)比较两值大小经常用到作差比较,通过f(a)与g(a)的差和0的大小关系得出f(a)与g(a)的大小.解 (1)连接AA、BB、CC,2则f(a)=SABC=S梯形AACC-SAAB-SCCB= (AA+CC)AC- AAAB- CCBC= (AA+CC)= ( ),4g(a)=SABC= ACBB
48、=BB= .62121212121212aa1a(2)f(a)-g(a)= 8= 0,f(a)g(a).1212221aaa aaaa11221aaaa1112121学后反思 本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.充分借助图象信息,利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口 举一反三举一反三4. (2008北京)如图,动点P在正方体 的对角线 上.过点P作垂直于平面 的直线,与正方体表面相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是 ( )11BB D D1111ABCD ACBD1BD解析:显然,只有当点P移动到正方体中心O时,MN有唯一的最大值,淘
49、汰选项A、C;点P移动时,x与y的关系应该是线性的,淘汰选项D.答案:B易错警示易错警示【例】设函数y=f(x)的定义域在实数集上,则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于( )A. 直线y=0对称B. 直线x=0对称C. 直线y=1对称D. 直线x=1对称错解函数是定义在实数集上且f(x-1)=f(1-x),函数y=f(x)的图象关于直线x=0对称，即选A.错解分析 这里的错误主要是把两个不同的对称问题混为一谈.即对称问题中有一结论.设函数y=f(x)定义在实数集上,且f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)关于直线x=a对称,这个结论只对于一个函数而言,而本题是关于两个不同函数
50、的对称问题,若套用这一结论,必然得到一个错误的答案.正解y=f(x),xR,而f(x-1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的,又f(1-x)=f-(x-1)的图象是f(x)的图象也向右平移1个单位而得到的,因为f(x)与f(-x)的图象关于y轴(即直线x=0)对称,因此,f(x-1)与f-(x-1)的图象关于直线x=1对称，即选D.10. (2009中山模拟)已知函数f(x)具有如下两个性质:对任意的 R( )都有 图象关于点(1,0)成中心对称图形.写出函数f(x)的一个表达式为(只要求写出函数f(x)的一个表达式即可).答案:y=x-112,x x12xx解析:由知f(x)关于