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1、最新【几个抽象函数问题的粗浅分析】 抽象函数问题抽象函数是一种重要的数学概念我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法 一、抽象函数的
2、定义域 例1已知函数f(x)的定义域为1,3，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) （a0）的定义域解析：由由a0 知只有当0a1时，不等式组才有解，具体为x|1+ax≤3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0a1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a 点评：1.已知f(x)的定义域为a,b，则fg(x)的定义域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解； 2.已知fg(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域即是g(x)在x a,b上的值域 二、抽象函数的值域解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定 例2若函数y=
3、f(x+1)的值域为-1，1求y=(3x+2)的值域解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则 完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为-1，1 三、抽象函数的奇偶性 例3若y=f(x)是偶函数,y= f(x-1)是奇函数，求 f(2007)=? 解析：因为y=f(x-1)是奇函数,所以y=f(-x-1)=-f(x-1)为什么？；因为 y=f(x)是偶函数，所以f(-x-1)=f(x+1)为什么？；因为f(x+1)=-f(x-1), 所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因为y=f(x-1)是奇函数,所以f(0)=0=f
4、(-1)=f(2007) 四、抽象函数的对称性 例4已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+ g(-x)的值为（ ）A、 2 B、 0 C、 1 D、不能确定解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=f （x）-1/2， y=f(2x+1) 是奇函数， ∴y=f （x）-1/2也是奇函数，∴f （x）-1/2+f （-x）-1/2=0 ∴f （x）+f （-x）=2，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，∴g(x)+ g(-x)=
5、 f （x）+f （-x）故选A 五、抽象函数的周期性例5、（2009全国卷理）函数的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则( )(A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数(C) f(x)= f(x+2) (D) f(x+3)是奇函数 解: f(x+1)与f(x-1)都是奇函数， 函数关于(-1,0)点，及点(1,0)对称，函数是周期为4的周期函数.，所以f(x+3)= f(x-1)，即f(x+3)是奇函数故选D 关于抽象函数的周期性有如下的几个定理和性质，由于篇幅问题，推导就省略了定理1.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (xa)=f (xb)，则y=f
6、 (x) 是以T=ab为周期的周期函数 定理2.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (xa)= f (xb)，则y=f (x) 是以T=2（ab）为周期的周期函数 定理3.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 x=b （a≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(ba)为周期的周期函数 转贴于 中国论文下载中et 定理4.若函数y=f (x)的图像关于点（a,0)与点(b,0) , (a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=2(ba)为周期的周期函数 定理5.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 点(b,0),(a≠b)对称，则y=f (x) 是
7、以 T=4(ba)为周期的周期函数 性质1：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)及f(bx)=f(bx) (a≠b,ab≠0),则函数f(x)有周期2(ab)； 性质2：若函数f(x)满足f(ax)= f(ax)及f(bx)= f(bx)，(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(ab). 特别：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax) （a≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a. 性质3：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)及f(bx)= f(bx) (a≠b,ab≠0)， 则函数有周期4(ab). 特别：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax) （a≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a 从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手第 4 页 共 4 页