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1、北师大课标八下北师大课标八下 6.56.56.5三角形内角和定理的三角形内角和定理的证明证明w证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:w与同伴交流你在探索思路的过程中的具体与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法做法.w(1)理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件(已知已知),结论结论(求证求证); 回顾与思考回顾与思考w(2)根据题意根据题意,画出图形画出图形;w(3)结合图形结合图形,用符号语言写出用符号语言写出“已知已知”和和“求求证证”;w(4)分析题意分析题意,探索证明思路探索证明思路;w(5)依据思路依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰运用数学符号和数学语言条理清晰地写出
2、证明过程地写出证明过程;w(6)检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确,完善完善. 回顾与思考我们知道三角形三个内角的和等于我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得你还记得这个结论的探索过程吗这个结论的探索过程吗?112ABD23C(1)如图如图,当时我们是把当时我们是把A移到了移到了1的位置的位置,B移到移到了了2的位置的位置.如果不实际如果不实际移动移动A和和B,那么你还有那么你还有其它方法可以其它方法可以 达到同样的达到同样的效果效果?(2)根据前面的公理和定理根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷
3、的语言写你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗出这一证明过程吗?与同伴交流与同伴交流.三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1800.w已知已知:如图如图6-9,ABC. 求证求证:A+B+C=1800.w证明证明:作作BC的延长线的延长线CD,过点过点C作作CEAB,则则 例题欣赏例题欣赏P2381=A(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等),2= B(两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等).又又1+2+3=1800 (平角的定义平角的定义), A+B+ACB=1800 (等量代换等量代换).w分析分析:延长延长BC到到D,过点过点C作射作
4、射线线CEAB,这样这样,就相当于把就相当于把A移到了移到了1的位置的位置,把把B移移到了到了2的位置的位置.这里的这里的CD,CE称称为辅助线为辅助线,辅助线通辅助线通常画成虚常画成虚线线.ABCE213Dw在证明三角形内角和定理时在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角小明的想法是把三个角“凑凑”到到A处处,他过点他过点A作直线作直线PQBC(如图如图),他的想他的想法可以吗法可以吗?议一议议一议P206w小明的想法已经变为现实小明的想法已经变为现实,由此你由此你受到什么启发受到什么启发?你有新的证法吗你有新的证法吗?w证明证明:过点过点A作作PQBC,则则ABC1=B(两直线平行两
5、直线平行,内错角相等内错角相等),2=C(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等),又又1+2+3=1800 (平角的定义平角的定义), BAC+B+C=1800 (等量代换等量代换).所作的辅助所作的辅助线是证明的线是证明的一个重要组一个重要组成部分成部分,要在要在证明时首先证明时首先叙述出来叙述出来.PQ231w根据下面的图形根据下面的图形,写出相应的证明写出相应的证明. 试一试试一试P239w 你还能想出其它证法吗你还能想出其它证法吗?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRMw三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于
6、1800.wABC中中,A+B+C=1800.wA+B+C=1800的几种的几种变形变形:A=1800 (B+C).B=1800 (A+C).C=1800 (A+B).A+B=1800-C.B+C=1800-A.A+C=1800-B.w这里的结论这里的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用. 三种语言三种语言ABCw1.直角三角形的两锐角之和是多少度直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形等边三角形的一个内角是多少度的一个内角是多少度?请证明你的结论请证明你的结论.已知已知:如图在如图在ABC中，中，DEBC,A=600, C=700.求证：求证： ADE=500. 随堂练习随堂练习P239
7、DCBAEABCABCw结论结论: 直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余,以以后可以直接运用后可以直接运用.w在在ABC中中,如果如果BC不动不动,把点把点A“压压”向向BC,那么当那么当点点A越来越接近越来越接近BC时时, A就越来越大就越来越大(越来越接近越来越接近1800),而而B和和 C,越来越小越来越小(越来越接近越来越接近00).由此你由此你能想到什么能想到什么? 读一读读一读P240CBACBAw如果如果BC不动不动,把点把点A“拉离拉离”BC,那么当那么当A越越来越远离来越远离BC时时,A就越来越小就越来越小(越来越接近越来越接近00),而而B和和C则越来越大则越来
8、越大,它们的和越来它们的和越来越接近越接近1800, 当把点当把点A拉到无穷远时拉到无穷远时,便有便有ABAC,B和和C成为同旁内角成为同旁内角,它们的和它们的和等于等于1800.由此你能想到什么由此你能想到什么? 读一读读一读P240 用橡皮筋构成用橡皮筋构成ABC,其中顶点其中顶点B、C为定点，为定点，A为动点，放松橡皮筋后，点为动点，放松橡皮筋后，点A自动收缩于自动收缩于BC上，上，请同学们考察点请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角变化时所形成的一系列的三角形形其内角会产生怎样的变化呢？其内角会产生怎样的变化呢？看一看看一看结论：结论： 当点当点A远离远离BC时，时，A越来越趋近于
9、越来越趋近于0，而，而AB与与AC逐渐趋向平行，这时，逐渐趋向平行，这时，B、C逐渐接近为互补的同旁内角，即逐渐接近为互补的同旁内角，即B+C接接近于近于180.请同学们猜一猜：请同学们猜一猜： 三角形的内角和可能是多少？三角形的内角和可能是多少？ 实验实验1： 先将纸片三角形一角折向其对边，使顶先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处两），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、）、（图（图3），最后得到（图），最后得到（图4）所示的结果）所示的结果.
10、ACB图图1BAC图图2BAC图图3BAC图图4实验实验2： 将纸片三角形顶角剪下，将纸片三角形顶角剪下， 随意将它们拼凑在一起随意将它们拼凑在一起.掌握几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项.三角形内角和定理.结论: 直角三角形的两个锐角互余.探索证明的思路的方法: 由“因”导“果”,执“果”索“因”.与同伴交流,你是如何提高证明命题能力的.小结 拓展如图，已知如图，已知AD是是ABD 和和ACD的公共边的公共边.求证：求证：BDC=BAC+B+CABCD1234证法一：证法一：在在ABD中中, 1180B3， 在在ADC中中, 2180C4（三角形内角和定理），（三角形内角和定理）， 又
11、又BDC36012（周角定义）（周角定义） BDC 360（ 180B3 ）（）（ 180C4 ） B+C+3+4. 又又 BAC 3+4, BDC B+C+ BAC （等量代换）（等量代换）（等量代换）（等量代换）课外练习课外练习2 、 如图，已知如图，已知AD是是ABD 和和ACD的公共边的公共边.求证：求证：BDC=BAC+B+C证法二：证法二：.).(18021),(18021).(18021,18021.0000CBBACBDCACDABDBACBDCBDCACDABDBACBDCBDCACDABDBACABCBC即（等量代换）等式性质三角形内角和定理中，在中，在连接ABCD12课外练习课外练习如图，已知如图，已知AMN+MNF+NFC=360，求证：求证：ABCD（用两种方法证明）（用两种方法证明）DFNMBAC独立独立作业作业P241习题6.6 1,2,3题.