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1、距离的最值距离的最值角的最值角的最值面积的最值面积的最值列出目标量的不等式，解列出目标量的不等式，解出目标量的范围出目标量的范围建立目标函数，运用函数建立目标函数，运用函数求最值的思想求最值的思想根据问题的几何意义，根据问题的几何意义，运用运用“数形结合的思想数形结合的思想”求解求解1 1、F F 是椭圆是椭圆 的一个焦的一个焦22221(0)xyabab点，点，直线直线l经过原点与此椭圆交于经过原点与此椭圆交于A、B两点，则两点，则ABF面积最大值为面积最大值为F FA AB Bbcmax122Sb cbc 注：注：F F（c,0c,0）设设12,1,2ace 00(,)P xy则则0020
2、011(2) (2)221 4,( 22)4kxxxx maxminmaxmin4, 3, 1kkkk1F F1 1P PF F2 22 2、P P是椭圆是椭圆 上的点，上的点，F F1 1，F F2 2是焦点，设是焦点，设k=|PFk=|PF1 1|PF|PF2 2| |，则则k k的最大值与最小值之差为的最大值与最小值之差为 22143xy 3 3、已知椭圆、已知椭圆221169xy，求求 x + y 的最大值的最大值哪里出现过求哪里出现过求 x + y x + y 的最值的最值令令axy 则则yxa 由由221169xy yxa 22253216(9)0 xaxa令令= = 0 0，得得
3、5a yxa max()5xy 故故则则4cos3sin 5sin()xy 53 3、已知椭圆、已知椭圆221169xy，求求 x + y 的最大值的最大值法二：参数法法二：参数法22cossin1xx 令令4cosx ,3siny max()5xy 故故4 4、已知椭圆、已知椭圆 内有一点内有一点2211612xy F为右焦点，在椭圆上求一点为右焦点，在椭圆上求一点M，使使(1, 1)P 的值最小，最小值为的值最小，最小值为，| 2|MPMF F FM MP PF FM MP PN N4,2 3,2abc 右准线右准线8,xe 12所以所以2MPMFMPMN 8x 因此，当因此，当P,M,N
4、三点共线时，三点共线时， 有最小值为有最小值为7.2MPMF M MN N4 4、已知椭圆、已知椭圆 内有一点内有一点2211612xy F为右焦点，在椭圆上求一点为右焦点，在椭圆上求一点M，使使(1, 1)P 的值最小，最小值为的值最小，最小值为，| 2|MPMF F FM MP Pbian已知点已知点A A(3,0)(3,0)、B B(0,4)(0,4)，动点，动点P( (x ,y)在线段在线段ABAB上上. .求求: : (1) (1) 的最小值的最小值; ;xy (2) (2) 的最小值的最小值; ;22xy (3) (3) 的最小值的最小值; ;2222(3)(3)xyxy P PB
5、 BA A3 34 4O求求 的最小值的最小值; ;xy 143xyx 函数的思想函数的思想线段线段ABAB：44(03)3yxx 03x34xymin()3xy线性规划线性规划axy令令则则yxa 3 3求求 的最小值的最小值; ;22xy 2222548144()92525xyxP PB BA A3 34 4O函数的思想函数的思想线段线段ABAB：44(03)3yxx 22min144()25xy数形结合数形结合表示表示O、P距离的平方距离的平方. .22xy H H故最小值为故最小值为OHOH2 2. .令令M(3,3),(3,3),O(0,0)(0,0)数形结合数形结合所以所以, ,当
6、当O,P,M三点共线时三点共线时求求 的最小值的最小值; ;2222(3)(3)xyxy 2222(3)(3)xyxy 则则表示表示P到到O, ,M的距离之和的距离之和. .P P4 4B BA A3 3OM M3 2OM 原式有最小值为原式有最小值为 . .P P作作M关于关于AB的对称点的对称点M所以所以, ,当当O,P,M三点共线时三点共线时A,B,PA,B,P同上求同上求 的最小值的最小值; ;2222(3)(3)xyxy 则则PO+PM=PO+PMP PB BA A3 34 4OM Mmin()POPMOM MM在直线在直线 上任取一上任取一:90l xy22:1123xyC的焦点为
7、焦点作椭圆的焦点为焦点作椭圆E.E.点点P P，经过，经过P P点以椭圆点以椭圆(1)P(1)P在何处时，在何处时，E E的长轴最短？的长轴最短？(2)(2)求长轴最短时的椭圆求长轴最短时的椭圆E E方程方程. .P9 0 x y O作作F F1关于关于l的对称点的对称点1( 9,6)F 则则12PFPF 12PFPF P12,P FF 三点共线时三点共线时12min12()6 5PFPFF F 即即min(2 )6 5a 1F 此时此时,由由90 xy (3)yx 12( 5,4)P 得得12( 3,0),(3,0 )(1) FF 2F1FP9 0 x y 2F1FOP1F 由由(1)知知3
8、 5a min( 5,4), (2 )6 5Pa (1) (2) 又又3c 故故6b 2214536xy所以长轴最短时，所以长轴最短时，椭圆方程为椭圆方程为ktlxfa24 4、已知椭圆、已知椭圆 内有一点内有一点2211612xy F为右焦点，在椭圆上求一点为右焦点，在椭圆上求一点M，使使(1, 1)P 的值最小，最小值为的值最小，最小值为，| 2|MPMF |MPMF F FM MP PF F1 1MF=2a-MF1MP+MF=MP-MF1+2a=-PF1+2aLi 1得得22224(29)18900axa xaa ( 5,4)P 得得P9 0 x y O2F1F 3c 由题意知由题意知所以可设椭圆方程为所以可设椭圆方程为222219xyaa 所以所以min(2 )6 5a 令令 0 0，得得245a 90 xy 由由222219xyaa ()即即3 5a 此时将此时将 代入代入(), ,3 5a ktxj 如果点如果点( (x, ,y) )在圆在圆 上上移动，则移动，则 的最大值为的最大值为2yx22(3)4xy55ktxj已知实数已知实数 x，y 满足满足则则 的最大值为的最大值为2xy 2360 xy6ktxj