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1、妙想奇思奇妙的路线_趣味数学 - 查字典数学网a赌徒戴安以每次只投一元钱的赌注而闻名。此刻他正与好友飞行员迪克在一起喝酒。 b“迪克，”戴安说，“给你出个问题，你要答不上来，我就赢你一元钱。一个飞行员向南飞行lOO公里，然后向东飞行100公里，这时他发现他刚好回到了原先起飞的位置。请问他是从哪个地方开始起飞的?” c“啊，我赢了。”迪克说，“这种问题哄哄小孩子不可以。他从北极出发。”“啊，不错，你赢了一元钱。”戴安说，“不过我再赌一元钱，除了北极还可能从什么地方起飞?” d迪克苦思冥想，不得要领。 e“没有别的什么地方了。”迪克说，“我可以证明。假如飞行员从北极与赤道之间的任意一点出发 f“显
2、而易见他无法回到他出发的地方。如果他从赤道上某点出发，他最终会停在距出发点约100公里的位置上。 g“假如从南极与赤道间的某一点出发，那么他最终将落在距出发点100多公里的位置上。” h“说得很对，”戴安说，“再考虑考虑，我们现在把赌注升到两元钱，怎么样?”最终迪克以失败而告终。你知道这是为什么吗? i以南极为圆心，以116公里长为米径画一个圆A。从圆A上任一点出发向南飞100公里。 j当他向东飞100公里的时候，他刚好绕着南极转一圈，再向北飞100公里，自然是回到出发点。对吧? k“不错，你赢了。”迪克说。“再赌一次!”戴安说，“我就不信再找不到别的什么出发点了吗?”迪克说：“你的意思是除了
3、北极和刚才那个圆周之外，还可能有其它的点?”戴安说：“正是。” l“那好哇，”迪克说，“这次咱们赌50元。” m可怜的迪克又输了!那么这个点要到哪儿去找呢?出发点 迪克之所以赢不了，是因为他始终没搞清楚应该循着什么样的思路去寻找出发点。飞行员可以从靠近南极的某一点出发，要求这一点满足如下条件：向南飞100公里后，再向东飞100公里，恰好绕着南极转两圈而不像刚才那样绕南极转一圈，那么这时再向北飞，自然可以回到出发点。满足这一条件的出发点又形成了一个新的以南极为中心的圆。同理，飞行员还可以从更小的圆上的点出发，只要能满足飞机在向东飞时绕南极转三圈、转四圈转任何正整数的圈数都可以。可见，满足条件的点
4、构成了一个无穷系列的同心圆，以南极为圆心，半径无限趋近于100公里。 下面是另一种关于航行的问题，它涉及到的是一种美妙的球面曲线，即所谓的“等斜曲线”或称“等方位线”。假设一架飞机从赤道上某点出发，向东北方向飞行，那么它的最终落点在哪里?它经过的路线有多长?这个路线呈什么形状? 你会惊奇地发现，飞机经过的路线是一个以不变的角度与地球子午线相交的螺旋形曲线，它最终的落点在北极。该曲线是一个球面螺旋线，它须绕北极旋转，越转半经越小，最后终止于北极。把飞机作为一个动点，甚至可以认为这个点绕北极转了无数圈，那么它所经过的路线的长度也还是有限的、可计算的。所以，飞机若以不变的速度飞行，它终究要在一定的时
5、间内到达北极。 对于不同类型的地图，等斜曲线在图上的表现形式不尽相同。在众所周知的麦卡托式世界地图上，它表现为直线，事实上也正因为如此，麦卡托式地图才备受航海家们青睐。如果一条船或一架飞机在行进时保证罗盘的指针不变，那么它的行进路线表现在地图上就是一条直线。 如果一架飞机从北极出发向西南方向飞行，结果将会怎样?这个问题与上面的问题可谓互递互补，因为它们行进路线的形状完全一样，只是方向相反。但有一点，我们不能肯定这条曲线交于赤道上哪一点，或者说，它与赤道上任何一点都有可能相交。这一结论可以得到证明，因为从赤道上的任何一点出发反方向飞行都可以回到北极。当然，飞机从北极出发，经过赤道之后如果继续前进
6、，那么它最终必然要落在南极。 如果我们把等斜曲线投影到与赤道平行与北极(或南极)相切的平面上，那么这时的投影线就是等角螺旋线，又称为对数螺旋线。这种螺旋线与半径的交角始终保持不变。 另一个为人们所熟知的行进路线问题是四个乌龟的问题。它也涉及到对数螺旋线，但是其中有一个形象的故事来介绍这一技巧。 汤姆皮莎训练了四个小海龟：阿娜、玻瑟、查尔斯、蒂里拉，把它们依次编号为A、B、C、D。一天，他把四个小海龟放在一间屋子的四个角落里，让A始终朝着B所在的位置前进，让B始终朝着C所在的位置前进，同理，C朝着D、D朝着A的方向走。他请全家人来观看。 “非常有趣，我的儿子!”皮莎先生高兴地说，“每个海龟都以同
7、样的速度径直向它前面的海龟爬去，那么，每一时刻它们四个都处在某个正方形的角上。”(如图2-9所示) 图2-9 “是的，爸爸。”汤姆说，“而且这个正方形处在不断的变化中，越来越小。看!它们即将相聚在正中心！” 假设每个海龟以每秒钟1厘米的速度前进，方形屋子每边长3米，那么请问每个海龟爬到中心用多长时间?当然，我们在解决问题时可以把一个海龟作为一个点来外理。 皮莎先生掏出了计算器，打算施展一下他计算的才能。这时皮莎太太嚷了起来：“不要计算了，亲爱的，问题很简单，需要5分钟!” 皮莎太太怎么解答出来的呢? 我们简单地考察两个相邻的海龟，比如A和B。A始终不相关。这与B在墙角不动、A沿着墙边直接爬向B
8、是一个效果。 上述思路是解决问题的关键。A经过的路线与每个墙边的长度是一样的。既然墙边长300厘米，A的行进速度是每秒1厘米，那么当然需要300秒钟，也就是5分钟到达B处。对其它三个海龟也是如此，所以5分钟之后，四个海龟同时到达正方形的中心。 借助于计算器，我们不难画出每隔一小段时间海龟所在的位置，把每一时间间隔中四个海龟的位置依次连成线，结果便形成了如图2-10的图形。 图2-10 对于所有正多边形的角上的点，都存在类似的规律吗?请先研究一下正三角形，再研究一下正五边形，如果已知正多边形的边长，要求出一只海龟追上前面一只海龟需走过的路程长度，你能找到一个通用的公式吗?如果是无穷多的海龟，从正无穷多边形的角上同时出发，首尾相接依次追击，结果将会如何?它们是否永远也聚不到一起?再假设，最初的多边形不是规则的正多边形，比如四个海龟从一个矩形的四个顶点上同时出发，结果又会如何? 回到我们最初的例子中。如果四只小海龟在屋子中央相聚后，发现它们彼此都很厌恶，便彼此背向爬开，每只海龟都径直远离它左边的小海龟，那么请问：四只海龟是否会重新回到屋子的四个角落? 第 6 页 共 6 页