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1、 http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网第 1 页（共 3 页） 正保远程教育 地址：北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线：01082310666函数中的三个函数中的三个“貌似神异貌似神异”问题问题陈尧明在解有关函数问题时，经常会遇到一些“貌似神异”问题，这些问题容易混淆或干扰 同学们的解题思路，因而造成解题出错率高。现罗列三个问题，以引起大家的关注。一、函数对称问题一、函数对称问题问题 1：如果对函数定义域内的任意一个 x 值，都有，则)x(fy )xb(f)ax(f函数的图象关于直线对称。)x(fy 2abx证明：设 P（m，n）为函数图象上任一点，则点 P 关
2、于直线的对称)x(fy 2abx点为。由，显然点)nmab( P，n)m(f)ama (f)ma (b(f)mab(f也在函数上，可知函数的图象关于直线对称。)nmab( P，)x(fy )x(fy 2abx问题 2：如果 a、b 是实数，则函数的图象与函数的图象关于)ax(fy)xb(fy直线对称。2bax证明：设 P（m，n）为函数图象上任一点，则。点)ax(fy)am(fnP（m，n）关于直线的对称点为，由2bax)nmba ( P，)mba (b(f，说明点 P 在函数的图象上。反之亦然，所以函数n)am(f)xb(fy的图象与函数的图象关于直线对称。)ax(fy)xb(fy2bax评
3、注：问题 1 是一个函数图象自身的对称关系，而问题 2 是两个函数图象之间的对称关系。问题 1 可理解为自变量相加除以 2（即） ，问题 2 可理解为2ab 2xbaxx自变量相等解方程（即由，得） 。xbax2bax二、函数奇偶关系问题二、函数奇偶关系问题http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网第 2 页（共 3 页） 正保远程教育 地址：北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线：01082310666问题 3：如果函数（a 为不等于 0 的常数）是奇函数，则对定义域内任意)ax(fyx 值，都有。)ax(f)ax(f如果函数（a 为不等于 0 的常数）是偶函数，则对定
4、义域内任意 x 值，都)ax(fy有。)ax(f)ax(f证明：设 P（m，n）为函数图象上任一点，则，点 P 关于原)ax(fy)am(fn点 O 的对称点为。因为函数是奇函数，所以点也在函数)nm( P ，)ax(fy P的图象上，于是，从而有。由点 P 的任)ax(fy)am(fn)am(f)am(f意性，可知对定义域内任意 x 值，都有。)ax(f)ax(f同理可证明函数（a 为不等于 0 的常数）是偶函数，则对定义域内任意 x)ax(fy值，都有。)ax(f)ax(f评注：函数的奇偶性是专指定义域内的自变量 x 而言，所以同学们很容易得到 或，这明显是错误的，大家要注意。)ax(f)
5、ax(f)ax(f)ax(f三、反函数问题三、反函数问题问题 4：若函数存在反函数，则。)x(fy )x(fy1x)x(f f1问题 5：若函数存在反函数，则。)x(fy )x(fy1x)x(f f1证明：对于问题 4，设 P（m，n）为函数图象上任一点，则。由函数)x(fy n)m(f存在反函数，得，于是。由点 P（m，n）的)x(fy )x(fy1)n(fm1m)m(f f1任意性可知，对于定义域内的任意 x，都有。x)x(f f1对于问题 5，同理可以证明函数存在反函数，则。)x(fy )x(fy1x)x(f f1http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网第 3 页（共 3 页） 正保远程教育 地址：北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线：01082310666评注：对于问题 4 与问题 5，同学们往往会误认为“” 。事实x)x(f f)x(f f11上，对于问题 4，中的 x 是原函数定义域中的 x，而对于问题 5，x)x(f f1)x(fy 中的 x 是原函数值域中的 x，在严格意义下不一定等于x)x(f f1)x(fy )x(f f1。例如对于函数，有，若取，显然有)x(f f1xlog)x(f2x12)x(f1x，而此时无意义。1)1(f f1) 1(f