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1、数学小课题研究教学案例平行四边形面积的计算平行四边形面积的计算一、课题的确定一、课题的确定平行四边形的面积计算是五年级上册的教学内容。关于面积计算，学生在三年级学习过长方形、正方形的面积计算，通过数方格的办法得出“长乘宽”的面积计算公式。用数方格的方法计算面积，这是一种直观的计量面积的方法，但是像平行四边形这样两边构不成直角的图形该如何数？这对学生来说是一个新问题，非常值得研究。通过研究，学生可能会有一些新的方法，自己得出计算平行四边形的计算公式，从而对平行四边形面积计算公式有更深刻的认识。二、课题的布置与指导二、课题的布置与指导1、第一天面向全体同学布置研究任务：平行四边形的面积怎样计算？要
2、求不能看课本，不能上网查资料，也不能问家长，可以自己画出图形来研究。2、第二天收集学生研究成果，发现学生的研究成果有以下几种：平行四边形的面积等于两条邻边相乘，这种意见占了一大半；在方格纸上画几个平行四边形，通过数方格的方法得出平行四边形的面积；与第二种方法一样，不过更进一步，得出了平行四边形面积等于底乘高，全班持这种意见的只有两位同学。学生仿照长方形的面积计算方法得出两条邻边相乘，这本是意料之中的事，但大多数同学都支持这种意见，一下子让我感到束手无策。下一步该怎么办呢？思考再三，我决定就从“两条邻边相乘”入手，进一步向全体同学布置了以下研究任务：平行四边形的面积会不会等于“两条邻边相乘”呢？
3、请同学们判断这一猜测是否正确，并说明理由。把平行四边形画在方格纸上，你能求出它的面积吗？你有什么发现？同时，我把持第二、三种意见的同学组织起来，成立了 4 个研究小组，每个小组 3、4 人，又给他们布置了一个研究任务：任意一个平行四边形，通过剪、拼、折、画等方法计算出它的面积，你能推导出平行四边形的面积公式吗？3、第三天和研究小组的同学一起梳理研究成果，组织好语言，准备好汇报材料。三、课堂教学实录三、课堂教学实录（一）直接导入前几天老师布置同学们研究“平行四边形的面积”，（板书课题）请同学们看大屏幕：屏幕上呈现的是同学们的研究任务：1、平行四边形的面积会不会等于“两条邻边相乘”呢？请同学们判断
4、这一猜测是否正确，并说明理由。2、把平行四边形画在方格纸上，你能求出它的面积吗？你有什么发现？3、任意平行四边形，通过剪、拼、折、画等方法计算出它的面积，并推导出平行四边形的面积公式。【评析评析：研究任务的布置，层次清晰、科学合理，研究问题“平行四边形的面积会不会等于两条邻边相乘呢”符合学生已有的知识经验，注意学生知识的迁移，既与学生心中的疑惑产生共鸣，激起学生研究的欲望，又能巧妙地解决学生容易出错的问题。】据老师了解，部分同学对这些问题进行了比较深入地研究并取得了丰硕的研究成果。今天我们就请这些研究员给大家汇报，在他们汇报的过程中，希望同学们能认真倾听、积极发言、大胆质疑，如果有什么不明白的
5、问题可以直接向研究员请教，有不同的想法也可与他们积极地互动交流，同学们能做到吗？（能）老师也相信大家！现在就让研究员带着大家一起步入平行四边形面积的研究之旅吧！(二)学生汇报首先让我们以热烈的掌声欢迎第一研究小组和大家共同分享他们的研究成果。1、第一研究小组汇报研究成员一：我们都知道长方形的面积=长宽，正方形的面积=边长边长，那平行四边形的面积会不是邻边邻边呢？研究成员二：同学们，今天我就用我手中的这个平行四边形来说明我们的猜测是否正确。大家看我手中的这个平行四边形，它的两条邻边分别长 16 厘米和 10 厘米，哪位同学能上来指一下它的面积？很好，请回。这个平行四边形的面积就和我手中的这个白色
6、平行四边形一样大。大家注意看，我把它轻轻地拉动一下，变成了另一个平行四边形，它的两条邻边的长短仍然没变，面积却变小了。所以说平行四边形两条邻边的长短不能完全决定平行四边形面积的大小！大家再看我手中的这两个平行四边形，他们的两条邻边都长 16 厘米和 10 厘米。但面积却有的大有的小。下面我再举一个生活中的例子。大家都见过学校门口的大门吧！那是自动伸缩门，自动伸缩门是由许多平行四边形组成的，大家有没有注意观察过？当大门在关上的时候，平行四边形的面积就越来越大，当大门在逐渐打开的时候，平行四边形的面积就越来越小，但是邻边的长短仍然没有变。我最后的结论是：平行四边形两条邻边的长短不能完全决定平行四边
7、形面积的大小。研究成员三：我们还可以用补的方法，在平行四边形的两边分别给补上两个同样的直角三角形，这样就变成了一个长方形，平行四边形的面积等于大长方形的面积-两个直角三角形的面积，而两个直角三角形又能拼成一个小长方形，所以平行四边形的面积=大长方形的面积-小长方形的面积，（研究小组出示数据加以说明）平行四边形的面积不是邻边邻边。研究成员二：我们可以把平行四边形分割成一个长方形和两个同样的直角三角形。这样，平行四边形的面积等于长方形的面积+两个直角三角形的面积，而两个直角三角形又能拼成一个小长方形，所以平行四边形的面积=大长方形的面积+小长方形的面积，（再次出示数据说明）平行四边形的面积不是邻边
8、邻边。【评析评析：“平行四边形的面积等于邻边乘邻边”这是学生由长方形面积计算方法迁移过来的，因为开始大多数同学都支持这个观点，所以郑老师重点安排了一个小组来研究这个问题。研究小组通过生活中的实例与割补的办法充分证明的了之前大家的猜想是错误的。平行四边形的面积究竟该怎样计算呢？学生心中的疑惑虽然没有解开，但对研究小组的展示交流充满了期待。】大家听明白了吗？还有什么疑问吗？师：第一研究小组用不同的方法证明了平行四边形的面积=邻边邻边这个猜测是错误的，接下来让我们继续仔细聆听第二研究小组的精彩汇报吧。2、第二研究小组汇报研究成员一：大家还记得我们曾经用数格子的方法求出长方形、正方形的面积吗？（记得）
9、课下我们用数格子的方法求出了平行四边形的面积。研究成员二：大家都知道一个格代表 1 平方厘米，先数出整格的（有 9 格），然后再数出不满一格的。我来介绍一下不满一格的，这个格和另一个格可以组成一个整格，这样就组成了 3 个整格，用 9+3=12 平方厘米，这个平行四边形的面积是 12 平方厘米。当然我们不用这样找哪两个不满一格的可以组成一个整格，这样太麻烦了！我们又发现了一个小窍门：不满一格的可以看作半格来计算，所以 6个不满一格的可以看作 3 个整格，62=3。在这里我要告诉大家一个更简便的方法：一行的整格数行数=平行四边形的面积。现在我来给大家具体解释一下：一行的整格数就是指一行有多少个整
10、格，行数就是指有几行。研究成员三：大家觉得我们这种方法好吗？生 1：挺好的。生 2：你们这个方法必须得用格子纸，如果没有格子那怎么办？生 3：随便一个平行四边形用数格子不好数吧！研究成员三：其实，我们的这种方法比较适合计算小平行四边形的面积，你想比较大的，例如平行四边形的菜地、停车场就比较麻烦了！【评析评析：非研究员适时地质疑，提出了数格子方法的局限性，很有思考价值。研究员与非研究员之间的质疑解答，对研究员提出了更高的要求。】师：同学们提出数格子方法的缺点，任意一个平行四边形的面积应该怎样求呢？掌声欢迎第三研究小组闪亮登场！3、第三研究小组汇报研究成员一：各位同学，大家好！课下我们对平行四边形
11、进行了研究，大家想不想听我们的研究成果？（想）我先问大家一个问题，你们喜欢不喜欢魔术？（喜欢）现在我给大家变一个魔术，请同学们先看着我手上的这两个平行四边形，它们是一样的，我先把其中一个贴在黑板上，请同学们看我现在手上的平行四边形，看好了吗？让我们一起倒数五个数，5、4、3、2、1，请大家闭上眼睛。（开始变魔术）好了，可以把眼睛睁开了，看这个平行四边形变成了什么图形（长方形），谁知道我是怎么把它变过来的吗？（同学回答：把那个小三角形剪下来的，）很好，请坐。下面我再给大家演示一遍，先沿着平行四边形的一个顶点向下做一条高，然后再沿着这条高剪下来，把剪下来的三角形平移到另一边，就变成了一个长方形。研
12、究成员二：其实我们不只是沿着顶点画高剪下来平移成长方形，我们还可以沿着平行四边形的其他高剪下来平移成长方形，下面请同学们看这个平行四边形，我现在平行四边形上任意画一条高，沿着这条高剪下来，平移到另一边，也拼成了一个长方形。（张筵清）这就是我们的第一个研究成果：沿着平行四边形的任意一条高剪下来平移后都能拼成一个长方形。师：我能借用你们几分钟的时间吗？他们发现沿着平行四边形的任意一条高剪下来平移后都能拼成一个长方形。结果是否正确呢？请同学们动手验证一下！【评析评析：教师很关注那些似懂非懂、半信半疑的听众学生，适时地点拨、引领，配以学生的亲自验证，将研究小组汇报的难点进行突破，更容易被学生接受。】生
13、汇报验证结果。师：请同学们拿起手中的平行四边形和新拼成的长方形，思考：它们有什么相同之处？生：汇报。（面积相等，长方形的长和平行四边形的底相等，长方形的宽和平行四边形的高相等。师：现在我们把时间交还给研究员！研究成员一：现在请同学们看着黑板上的这个平行四边形，我先从它的顶点向下作一条高，然后把这个三角形平移到另一边，就拼成了一个长方形，现在我要问大家，这个长方形和平行四边形有什么关系（指名回答），是的，这个长方形的面积与平行四边形的面积相等，这是为什么呢？我来详细介绍一下，这个平行四边形剪下来的三角形和平移拼成长方形的三角形是一个三角形，我们只不过把它的位置交换了而已，现在我把它写在黑板上（平
14、行四边形的面积=长方形的面积），我给大家提两个问题，这个长方形的长等于平行四边形的什么?这个长方形的宽等于平行四边形的什么？(请同学起来回答)，我们以前学过长方形的面积公式是什么？让我们一起说出长方形的面积公式吧：长宽，所以平行四边形的面积公式就是：底高。大家对我们的汇报感到满意吗？如果满意的话给我们一些掌声吧！师：为什么说平行四边形的面积=底高？【评析评析：关键性的问题在此提出，十分有必要，有利于学生加深理解计算公式。】指名汇报。师：他们研究小组介绍的方法在数学上称为“割补法”，我们再借助课件演示一下：（课件）所以，平行四边形的面积=底高。（板书）为表达简便，我们通常用 s 表示平行四边形的
15、面积，用 a 表示平行四边形的底，用 h 表示平行四边形的高。平行四边形面积的字母表达式该如何表示呢？学生汇报：s=ah.(齐读)师：研究员还有要汇报的，对吧？4、第四研究小组汇报研究成员一：大家好，我们也有推导平行四边形面积的方法。今天，我们来教大家用折叠法算出平行四边形的面积。我们在平行四边形上任意作一条高，然后沿着高把平行四边形折成两个完全相同的长方形。因为长方形的面积我们已经学过，所以我们可以求出平行四边形的面积。研究成员二： 现在来详细介绍一下我们的折叠法，请同学们拿出你们手中的白色平行四边形和我一起折。先把平行四边形的四个顶点分别标为 A、B、C、D，给大家 10秒的时间标，大家标
16、完了吗？（标完了）然后给平行四边形沿 A 点做一条高，大家做完高了吗？（做完了）以高作为折痕把 AB 边折过来。大家先不要急着折 CD 边，在这里我给大家一点小提示：注意折 CD 边的时候，一定要使 A点与 D 点重合，B 点与 C 点重合，现在大家开始折吧!大家折完了吗？（折完了）这样，我们折成了什么图形？（两个长方形，我们折成了两个完全相同的长方形。请大家观察，长方形的宽和平行四边形的底有什么关系？（长方形的宽相当于平行四边形底的一半）可以说一下你是怎么算出来的吗？（因为平行四边形的底是由两条长方形的宽组成的）很好，请坐。那么我们知道，长方形的宽等于底除以 2，请大家看，长方形的长和平行四
17、边形的高有什么关系？（他们相等）很好，请坐。长方形的长就等于平行四边形的高。大家都知道，长方形的面积=长宽，因为平行四边形是由两个完全相同的长方形组成的，所以，平行四边形的面积=长方形的面积乘 2，也可以写作长乘宽乘 2，长方形的长相当于平行四边形的高，长方形的宽相当于平行四边形底的一半，写作底除以 2，那么一个平行四边形的面积就=高（底2）2，所以，我们推出平行四边形的面积=底高。这就是我们的研究成果，大家听明白了吗？还有什么疑问吗?【评析评析：学生的研究成果让人惊叹，他们得出了独特的方法，说明他们的研究已经达到一定深度，是学生创新思维的一种展现，这些方法是课本上没有呈现的，也是常规课所达不
18、到的效果，小课题研究为学生提供了充分展示的舞台。】5、教师总结师：同学们太了不起了，用不同的方法推导出平行四边形面积公式，甚至想到了课本上没有的折叠法，你们的这种研究精神，老师都要向你们学习！其实，他们汇报的割补法和折叠法有一个相同之处，大家发现了吗？生：把平行四边形变成了长方形。师：在看到平行四边形时，同学们能想办法把它变成我们学过的长方形求出面积，这实际运用了一种非常重要的数学思想方法：转化。在研究有关图形的面积时，我们会常常用到转化的方法。【评析评析：教师的总结意义深远，起到了画龙点睛的效果，将数学思想方法的渗透落到了实处。】接下来我们就用平行四边形的面积公式解决下面各题。（三）巩固练习
19、1、课本 81 页例 1。2、给出平行四边形的另外一组底和高，求出面积。3、课本 82 页第 3 题。 4、变式练习。学生独立完成，教师巡视。指名汇报，集体交流。通过练习，可见同学们解决问题的能力也是一等一的高！（四）课堂总结研究小组为同学们学习平行四边形的面积提供了帮助，他们不仅无私地汇报了自己的研究成果，而且他们的研究精神更值得我们学习！让我们用最热烈的掌声表示感谢！当然，其他同学也能积极发言，认真倾听，大胆质疑，老师提议同学们为自己竖起大拇指，你们太棒了！我们下一个研究课题是三角形的面积。请同学们运用今天研究平行四边形面积的方法求出三角形的面积并推导出三角形的面积公式。相信在研究的过程中
20、，你不仅能收获知识，而且能使我们的头脑更聪明。因为你有可能就是未来的数学家，当然还可能是他或她！四、课后研究及成果展示交流四、课后研究及成果展示交流研究成员将研究成果写成报告。研究员将个人的研究成果以研究报告的形式贴到宣传栏里，供他人学习，方便学生之间的交流。五、教学反思五、教学反思学生的数学活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有情趣的过程，在本课题的研究过程中得到了充分体现。这节课是在学生已掌握了面积概念和面积单位、长方形和正方形的面积计算，以及认识平行四边形的基础上进行教学的，个别学生甚至在研究前就已经知道了平行四边形面积的计算公式。我认为让学生简单记忆公式并不难，难的是让学生理解公式，即
21、理解平行四边形面积计算公式的来源。本课题学生经历了猜想、验证、得出结论的过程。学生通过课下的研究成功地解决了平行四边形的面积并不是“两条邻边相乘”，并且方法多样，说理透彻，证据充足，这是常规课上难以达到的效果。课堂上，学生在倾听完研究员的研究成果后，在独立思索的基础上亲自动手剪一剪、拼一拼，并带着自己的操作经历与研究小组进行质疑、辨析，生生互动，顺利得出了平行四边形面积的计算公式。而我只是在旁边适时点拨、引导，让学生的汇报得以完善。学生喜欢这样的课堂，因为它是开放的、有趣的；我也喜欢这样的课堂，因为它是灵动的、充满生命力的！交流驿站交流驿站 8 8（日照市实验学校日照市实验学校 邱冬梅）邱冬梅
22、）（1616）这样的课，研究小组的同学汇报了，其他同学光）这样的课，研究小组的同学汇报了，其他同学光听就能会吗？听就能会吗？答：答：这个问题提得好。数学小课题研究课，有时只有部分同学参与，并不是全班都参与，在课堂上汇报时，的确有的同学能听懂，但也有的听不懂。而课内课的最终目标是人人都能完成规定的学习任务。所以上这样的课一定要关照到每一位同学。解决的办法有两个，一是让大家积极参与质疑，二是要给同学们提供思考的空间、动手操作的机会。比如“认识小数”这节课上，因为同学们质疑的氛围不浓，所以在重难点处我提了几个问题让他们再思考，同时把一位小数和两位小数的表示含义留给大家来总结。其实关于一位小数表示十分
23、之几、两位小数表示一百分之几的结论，研究小组的同学课前已经研究出来了，这里没有让他们汇报也就是这个目的。接着我又设计了几道巩固性的练习，练习时注意暴露学生出现的问题，再有针对性地去解决。（1717）数学小课题研究课内课和常规数学课有什么联系）数学小课题研究课内课和常规数学课有什么联系和区别？研究的时间地点、研究任务的布置及指导工作是和区别？研究的时间地点、研究任务的布置及指导工作是怎样实施的？怎样实施的？答：答：这两种课的教学目标是一致的，都要完成规定的教学任务。区别有以下几点：一是数学小课题研究课一般在课外研究，课内汇报、质疑、提高，而常规数学课都是在课内解决的；二是数学小课题研究课可以根据
24、具体情况对教学内容进行整合，容量较大，能够节约教学时间。如“认识小数”这节课把小数的意义和小数的大小比较放在一节课内完成，而常规课至少需要两节甚至三节；三是数学小课题研究课能更好地培养学生的研究能力，提升学生的数学素养。数学小课题研究课的研究时间基本在课下进行，比如课间、中午、课外活动或者在家时间。研究任务要根据具体情况来定，很多时候研究任务不是一次布置的，如“认识小数”这节课，先布置全体学生收集生活中的小数，第二天根据收集上来的资料选择研究得比较好的同学作为研究小组，再给他们布置小数的读法、小数的表示方法等任务，第三天再布置小数的大小比较研究任务。老师的指导一定要及时，并给予适当地点拨，对每
25、个小组的研究情况心中要有数，课堂展示汇报前要根据研究情况分出层次，一般按照由浅入深、先简单后复杂、先一般后独特的顺序来汇报交流。【总评：总评：数学是做出来的，研究出来的。本节课采用让学生课下研究、课上交流汇报的教学方式，为学生提供了充分展示数学才能的舞台，充分体现了以学生为主体的生本课堂。三个前置性研究问题的布置十分重要，研究问题设置得很巧妙，为学生“研究什么、怎样去研究、研究达到什么程度”指明了方向，提出了要求。整堂课，学生们极有深度的研究成果、精彩清晰地汇报讲解、小组成员之间的默契配合、非研究员与研究员之间的质疑交流，让学生折服，让老师震撼。学生的研究能力远远超出我们的想象，研究成就了孩子的数学家梦想。本节课，虽然老师没有讲解，但学生对于平行四边形的面积公式理解得十分透彻，达到了很好的教学效果。书本上呈现的知识是有限的，而本节课通过学生的深入研究，书本上没有呈现的相关知识学生们也研究出来了。数学小课题研究这种开放的教学模式，为学生提供了充分的展示舞台，为学生开拓了更为广阔的知识视野。】