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1、数学小课题研究教学案例三角形面积计算三角形面积计算 2 2一、课题的确定一、课题的确定三角形的面积计算是小学阶段重要的几何知识内容，也是学生今后学习的基础。学生已经亲身经历了平行四边形面积计算公式的推导过程，当学生进行三角形面积计算公式的推导时，会想到利用 “转化”的思想方法，所以我把它作为一个小课题，布置给学生，让他们课下研究，让他们亲历知识的形成过程，培养学生的研究能力和创新意识。二、课题的布置与指导二、课题的布置与指导课前老师给同学们布置研究任务，待学生有了初步研究后，老师收集他们的研究成果并进行梳理。老师根据学生研究成果进行第一次分组，把研究成果相似的分在一组，让学生回去发挥小组成员的
2、集体智慧再次探究、整理属于他们组的研究成果，形成书面文字，准备课堂交流、汇报。在以小组为单位进行的第二次研究过程中，教师要把握学生的研究状况，视情况予以点拨和指导。三、课堂教学实录三、课堂教学实录（一）谈话导入师：前面我们一起探究了平行四边形面积的计算方法，大家还记得我们是怎么推导出平行四边形的面积计算公式吗？生 1：数格子。生 2：割补。师：三角形的面积该怎样计算呢？（板书课题）课下已布置让同学们研究了，大家研究了吗？生：研究了。师：今天我们就来交流一下，哪个小组先来？【评析：评析：利用新旧知识的联系，为推导三角形面积计算公式做了必要的铺垫和方法过渡。再通过设疑，激起求知欲望。 】（二）汇报
3、交流1、第一小组汇报（组长、两个组员上台）组长：大家好！我们小组用的是数格子的方法。因为我们觉得数格子比较简单，而且醒目，容易让人理解。比如求这个三角形的面积，（投影仪上出示画有等腰三角形的格子图）只需要先数出整格的：1、2、15 个；再数半格的：1、2、3、4、5、6 个半格。 2 个半格是一格， 6 个半格也就是 3 个整格。15+3=18，如果 1 个方格代表 1平方厘米,那么 18 个方格就是 18 平方厘米。这就是我们小组研究的结果。大家听明白了吗？有什么要说的吗？生 1：我认为数格子的方法不好，计算的三角形面积不准确。你们研究的图形中两个半格正好能拼成一个整格，但有时候两个半格不能
4、正好凑成一个整格。生 2：我也反对数格子的方法。请问如果要计算一块很大的三角形土地的面积，你也用数格子的方法求它的面积吗？那不是太麻烦了吗？。组长：同学们说得有道理，我们现在也觉得我们小组的方法不太好，大家有好的方法吗?我们很想学习一下。师：这是多么好的一种学习态度呀！大家掌声鼓励。（掌声）谁有好的方法？【评析：评析：利用方格纸探索三角形面积公式是重要的内容，为推导出计算公式打下基础。学生通过自主探究，合作交流，初步解决了问题，让学生质疑，充分激发了学生思维，引导学生思考其他解决问题的方法。 】2、第二小组汇报（组长上台）组长：我们把一个等腰三角形对折，这个折痕也就是等腰三角形的高，然后沿着折
5、痕剪开，拼成了一个长方形，这个长方形的宽是三角形的底的一半，（板书：底2）长就是三角形的高，（板书：高）因为长方形的面积是长宽，也就是高（底2），进一步板书：=底高2。而长方形的面积等于三角形的面积，所以三角形的面积就是底高2。大家听明白了吗？有什么要说的吗？生 1：我认为你们小组研究的结论是对的。生 2：你们只研究了等腰三角形，我觉得对别的三角形这个方法就不一定适合了。师：为什么这么说？你能上来给大家演示一下吗？生演示：把钝角三角形对折，从中间剪开，拼不成规则的图形，无法求面积。师：那就是说这种方法只适合求等腰三角形的面积是吗？ 生：是。师：没关系，已经不错了，让我们再听听别人是怎么研究的，
6、好吗？（生下）还有谁想上来汇报？【评析：评析：通过分割，再拼合成长方形的方法，得出三角形的面积公式，有别于第一组的方法，让学生感受到解决问题的多样性。学生在自主探索中，也初步运用了转化的思想方法，教师及时给予了肯定。但研究图形的特殊性遭到了同学们的质疑，怎样解决呢？自然而然地引出接下来的精彩。 】3、第三组汇报（组长、两个组员上台）组长：大家好！我们小组是这么考虑的，在我们学过的图形中，平行四边形、长方形、正方形不是都可以沿对角线把它们分成大小相等的两个三角形吗？所以我们考虑用两个完全一样大小的三角形一定能拼成这三种图形中的一个。那么只要我们求出拼出图形的面积，再除以 2 不就得到一个三角形的
7、面积了吗？所以第一次，我们用两个完全一样的锐角三角形拼成了一个平行四边形。三角形的高就是平行四边形的高，三角形的底就是平行四边形的底。因为平行四边形的面积是底高，它又是由两个完全一样的三角形拼成的，所以求一个三角形的面积只要用底高再除以 2 就可以了。（板书三角形的面积公式）大家听明白了吗？生：听明白了。组长：大家想一想如果用两个完全一样的钝角三角形，会拼成什么图形呢？组员 1：还是由我来给大家解答这个问题吧！第二次，我们用两个完全一样的钝角三角形也拼成了一个平行四边形。大家看，这个平行四边形的底也就是三角形的底，平行四边形的高也就是三角形的高。因为平行四边形的面积是底高，这两个三角形又是相等
8、的，所以求一个三角形的面积只要用平行四边形的面积底高再除以 2 就可以了。组长：这是用两个钝角三角形拼的结果。大家猜猜如果用两个完全一样的直角三角形拼结果会怎样呢？生：会拼成长方形。组员 2：你说得很对。第三次，我们又用了两个完全一样的直角三角形拼成了一个长方形。长方形的宽就是三角形的底，长方形的长就是三角形的高。因为长方形的面积=长宽，也就是底高。因为这个长方形也是由两个完全一样的直角三角形拼成的，所以只要用长方形的面积底高再除以 2 就能得到一个三角形的面积。（板书：底高2）组长总结：这是我们小组的研究结果，大家听清楚了吗？还有什么要说的吗？生 1： 你们研究的是两个三角形拼成的情况，那如
9、果手中只有一个三角形该怎么求面积？组长：我们今天的研究不就是为了求任何一个三角形的面积吗？生 2：我想知道是不是任意两个三角形都能这么拼？组长：我们研究发现，必须是两个完全一样的三角形才能拼成一个规则的平行四边形，如果不是两个完全一样的三角形，就拼不出一个规则的图形，就无法求面积，大家可以课下试一试。生 3：你们只研究了这三组三角形，如果是其他的三角形呢？组员 1：请问三角形中除了我们研究的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，还有我们没研究到的吗？生 4：如果要求一个三角形花坛的面积，你们也去拼吗？组长：我们已经推导出三角形面积的计算方法是底高2，你觉得还用去拼吗？师：大家还有问题要问吗？对他
10、们的回答，你们满意吗？生：满意。生 5：我觉得他们小组研究得非常全面，推理也很清楚。组长：如果同学们觉得我们研究不错，请给我们鼓鼓掌吧！（掌声）师小结：看来，同学们对这一组的研究成果比较满意，让我们再次向他们表示祝贺。还有哪个小组的研究方法和他们不同？【评析：评析：运用迁移规律，学生大胆想象，再动手操作进行验证，学生充分获取数学活动的成功体验。学生展示思维过程，张扬了自己的个性，为别人质疑做好充分准备，提高了思辨能力，又让所有的学生都有所借鉴和启发。 】4、第四组汇报（组长上台）组长：大家好！前面我们在推导平行四边形的面积计算公式时，用的是割补的方法把平行四边形转变成我们学过的图形（长方形），
11、所以我们也想用割补的方法把三角形转化成我们以学过的图形来推导出它的面积计算公式。请看：我手中的这个三角形，我们从中间位置把它剪下来，如何确定中间位置呢？分别把三角形的两边对折，找到中心点。为了防止剪歪了，我们把两个中心点用直线连起来并用剪刀剪开。请问：三角形的底和高有变化吗？生：底不变，高变为原来的一半了。（组长板书：底、高2）组长：对，我们把剪下来的部分拼在这边，大家看，拼成了一个什么图形？生：平行四边形。组长：那它的面积谁会算哪？生：底（高2）组长：对，底高2，拼成的这个平行四边形的面积和原来的三角形的面积又是什么关系呢？生：相等。组长：对，所以我们小组推出三角形的面积计算公式是“三角形的
12、面积底高2” 用 s 表示三角形的面积，a 表示三角形的底，h 表示三角形的高，字母公式就是“sah2”。怎么样？大家对我们的研究有什么要说的吗？生 1：你只给我们演示了锐角三角形的情况，我想知道对于不规则的三角形你的这个方法也能行吗？组长：我这个可能就是不规则的三角形吧！师：同学们知道什么是规则的图形吗？所谓规则的图形就是指我们学过的图形，比如：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形等。现在你们认为三角形是规则图形还是不规则图形？生：规则图形。生 2：如果是求一块三角形地的面积，你们也去拼吗？组长：我们今天的研究不就是为了求任何一个三角形的面积吗？生 3：我想问一下，你这个方法对钝角三角形
13、也适合吗？组长：适合。生 3：你能给我们演示一下吗？组长演示钝角三角形的状况。结果拼成的平行四边形却不准，拼衔接处总是多出一点师：我问一下这个组的同学，你们课下研究的成功了吗？组长：成功了。师：那你认为这是什么原因？组长：可能是刚才我剪偏了。师：哪个同学再给她提供个钝角三角形让她再试一下？（组长重新演示）师：看来，我们平时在研究的时候，一定要细心、认真，不能出半点差错。（第二次演示成功。）生 4：如果是直角三角形呢？（因为时间问题，组长刚要演示被师打断）师：我想问问这位研究的同学，你们对直角三角形的研究也成功了吗？（组长：成功了）对这个问题，大家想不想自己去试试？老师相信自己动手研究的成果一定
14、比只听别人的印象更深刻，感觉更兴奋，大家说是吗？还有哪个小组的成果与他们不同？【评析：评析：学生自主探索，合作交流的课堂中，学生自主建构知识体系。教师适时点拨，因势利导，师生互动、生生互动，充分体现出教师是教学活动的组织者、引导者和合作者。 】5、第五组汇报（组长上台）组长：我是用折叠的方法，把一个三角形沿着高的中间对折，让顶点与垂足重合；然后又把底边这边的部分沿中间这样对折，另一边也这么折，就折成了一个长方形。这个长方形的长是三角形底的一半，宽是三角形高的一半，（板书：底2 高2）这个长方形的面积=长宽，也就是（底2）（高2）。因为这个三角形折叠成了两个这样的长方形，所以要求整个三角形的面积
15、还需在后面再2。即：S（底2）（高2）2 底高2组长：这就是我们小组的研究成果，大家听明白了吗？还有什么疑问吗？生 1：如果是个直角三角形，这个方法也行吗？组长演示（第一个直角三角形演示了半天扔一边了，又换了一个演示成功。）师：这位同学，老师有个疑问，刚才你为什么换了个直角三角形？组长：因为第一个直角三角形用厚卡纸做的，折不动。师：我明白了，大家清楚了吗？生 2：如果是钝角三角形呢？组长：这个我们也研究了，如果是钝角三角形也能成功，大家可以课下试一试。生 3：刚才在你演示的时候我也试了，为什么我的三角形折不出长方形呢？组长（看了看）：你的三角形顶点和下面的垂足没重合，当然拼不出来了。你可以再重
16、新试一下。大家还有问题吗？师：因为时间的关系，我们今天的汇报就先到这儿，其他小组的方法我们课下再交流好吗？【评析：评析：用折叠的办法解决问题，进一步拓宽了解决问题的思路，不断建立起个性化的数学模型。在层次不同的探索操作中，转化的思想方法得到渗透，学生的探究个性也受到充分尊重。 】（三）总结成果1、总结三角形的面积计算公式师；同学们真了不起，想出了这么多好方法推出了三角形的面积公式。现在，你们能告诉老师三角形面积计算方法是什么吗？生：底高2师：如果我用 S 表示三角形的面积，a 表示三角形的底，h 表示三角形的高，那三角形的面积公式用字母又该怎么表示呢？生：S=ah22、说数学史，激励同学师：同
17、学们知道吗？大约在 2000 多年前我们的古人就推导出了这个公式。今天同学们也做到了。这说明我们班同学们也很聪明，相信只要同学们有这种研究精神，将来你们一定能发现更多更大的数学规律。下面就让我们用自己推导的三角形的面积公式来解决生活中的实际问题吧！【评析：评析：放手让学生探究，结合各个小组研究的成果，使三角形面积的计算公式能够“水到渠成”地展现在大家面前。学生的概括和归纳能力得到强化，做到了知其然也知所以然。运用数学史能够激发学生的数学自信心，让学生体验到成功的愉悦。 】（四）巩固练习1、口算下面各三角形的面积。2、公路中间有一块三角形的空地要种草坪，1 平方米草坪的价格是 12 元，种这块草
18、坪要多少元？3、下图中哪两个三角形的面积相等吗？（两条虚线互相平行）你还能画出和它们面积相等的三角形吗？【评析：评析：练习的设计呈现出层次性，从巩固熟练公式，到运用公式解决具体问题，逐步推进，既牢固掌握知识，又能灵活运用。】（五）小结通过今天的交流，同学们有收获吗？你还想研究哪些图形的面积？把你研究的过程写在日记本上，我们下次再交流好吗？【评析：评析：引导学生回顾和反思，总结学习方法，给学生提供了自我感悟、自我评价的时间和空间，培养了学生的反思意识。 】四、课后研究及成果展示交流四、课后研究及成果展示交流课后，每个小组把自己的研究成果写成研究报告，张贴在班上数学小课题园地内，并进行评选。五、教
19、学反思五、教学反思研究任务布置下去后，学生个人对问题进行了初步研究，这时研究成果比较肤浅，思维含量低，语言表达也较差。所以我又根据学生研究情况进行分组，充分发挥集体的智慧，以小组为单位进行再研究，这时发现学生的研究慢慢深入了，研究结果也出现了不同，还想出了出乎老师意外的研究成果，如：第五组的“折叠法”。伴随着研究成果越来越丰硕，孩子们的心情也跟着愉悦起来，那种成功感激励着孩子们，使他们对数学越发着迷，对探究更充满了渴望。课上，学生认真地站在讲台上演示，交流汇报着自己组的研究成果，那份自信洋溢在脸上。台下，那么多学生认真地倾听着，遇到迷惑的问题，能够大胆质疑、争辩。那种气氛让你看到了真正的课堂小
20、主人。通过五个组的交流，学生学到了原来自己没有想到的方法，牢固地掌握了三角形的面积计算公式。【总评：总评：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。 ”本节数学小课题研究课，较好地体现了这一新课程理念。教师由传统的知识传授者变为数学活动的组织者、引导者和合作者，教师敢于放手，乐见其成。学生真正变成了课堂的主人。在学生独立思考、自主探索的基础上，教师根据学生研究思路和方法，把全班分为多个小组，进行合作探究，发挥集体的智慧。研究小组既形成了自己的研究成果，又为课堂展示时其他小组人员可能提出的质疑做好准备。学生充分经历了探索研究学习过程，学生的合作能力和探究能力得到发展。教师秉持以学生发展为本的理念，为学生营造良好的研究氛围，学生的质疑意识不断加强，质疑和解难的能力有了提高。通过展示研究成果，学生体验到了成功的快乐，个性也得到了张扬，思辩能力和语言表达能力也有了不同程度的发展。非研究小组成员认真听取并梳理探究思路，积极寻找其中的不足之处，敢于质疑，共同享受研究成果，体验学习乐趣。在步步推进的研究过程与质疑交流中，转化的数学思想方法已渗透其中，教师引导学生充分利用学习迁移，不断拓宽研究思路，培养了学生的抽象概括能力。 】