《数学分析选论》习题解答.doc

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1、60数学分析选论习题解答第 五 章 级 数下列命题中有些是真命题，有些是伪命题对真命题简述理由；对假命题举出反例（题中“”是“”的简写）：na1nna（），发散发散；nanb)(nnba（），收敛收敛；nanbnnba（）收敛收敛；nnba22,nnba（），绝对收敛绝对收敛；nanbnnba（）收敛，绝对收敛绝对收敛；nanbnnba（）收敛，收敛；na1lim nnbnnba（）收敛，收敛；|na1lim nnb|nnba（）收敛；0lim nna332211aaaaaa（）收敛收敛；nanan（）收敛；na0lim nnan（）收敛收敛；|na)(1nnaaa（）收敛收敛；na|1nna

2、a（）与收敛收敛； na)(1nnaana（）收敛收敛；|1nnaana（）发散；1|nanna（）收敛收敛；na2na3（）收敛；0lim nna|1nnaa61（）收敛收敛；|1nnaa na（）与同敛态；|na)(nncp|napn1（）收敛na0)2(1lim21 nnanaan解解 其中有十二个真命题：（） ， （） ， （） ， （） ， （） ， （） ， （） ， （） ， （） ， （） ， （） ， （） ；其余八个是伪命题现依此简述如下：（）反例：为收敛0)(,nnnnbanbna（）反例：收敛，为发散nn)1( nnn1)1(2（）因nnnnbaba22|（） ， （）

3、 因 收敛na)(1|0limNnaannn 收敛 | nn nnnnbabbba收敛（）反例：，为发nbnannnn)1(1,)1( nnbannn1)1(散（）因 ，1lim nnb)(2|Nnbn收敛 |2| nn nnnnbaaaba收敛（）因0lim)(0,0122 nnnnnSnaSS（）据阿贝尔判别法，收敛，单调有界，故收敛na n1nan（）反例：收敛，而不存在极限nann)1(n nan)1(（）由收敛，|na.绝对收敛)(|)(|1111nnnnnnnaaaaMaaaMaaaa（）反例：收敛，发散na nn)1()1(12|1nnnaann62（） .收敛收敛已知收敛收敛

4、n nnnnna aaaaa2)()()(11（）反例： 发散，但因，na10102)1(1n 01nnaa故 为收敛0|1nnaa（）反例：收敛，满足nann)1(1|nann（）.绝对收敛收敛3232)(|)(1|nnnnnaNnaaNnaa（）反例：同（）题（）收敛时，|1nnaaNnN当,0N NN Np有.pnpnnnpnnpnpnnnaaaaaaaaaa1211121,所以满足柯西条件，从而收敛 na（）可见与|na)(nncp cannpn|lim|na同时收敛，或同时发散pn1（）设的前项部分和为，且则有nan,2, 1,nSnSSn n lim.01 1lim21lim)(,

5、)()(22121 21121112121 SSnn nSSSSanaanSSSSnSSnSSSanaan nnnnnnnnn设为证项级数，试证对数判别法：1nna63（）若存在和，使得当时，有0N NNNn ， 11lnln1nan.则收敛；1nna（）若存在，使得当时，有，则发散N NNNn 11lnln1 nan.1nna证证 把不等式分别改写成：（）；111,ln1lnnanan n即（）nanann1,ln1ln即根据比较法则， （）时收敛；（）时发散 1nna1nna 利用对数判别法鉴别下列正项级数的敛、散性：（）； （）； （）1ln31nn1lnln)ln(1nnn)0( 1l

6、nxn nx解解 （），故收敛nnaln31050109813ln1lnln1. nan（），故收敛nnnalnln)ln(1)16(0101lnln1lnln1nnann.（），由于x nnaln，xnnx ann1lnlnlnln1lnln1.故当时收敛；时发散 )0( e101xe1x证明：（）若收敛，则收敛；1nnan1nna64（）若收敛，则时也收敛1npn napx 1nxn na证证 （）由阿贝尔判别法，已知收敛，而 111nn nnnana.1nnan n1单调有界，故收敛1nna（）同理，由，收敛，当 111npxpnnxn nna na.1npn na pxn1时单调有界，

7、故收敛 px 1nxn na证明：若与都在上一致收敛，则在)(xfn)(xgnE)()(xgxfnn上也一致收敛E证证 设，依据定义，)(xfn)(xf)(xgn)(xgEx，当时，对一切，恒有N NN,0Nn Ex， ；2)()(xfxfn2)()(xgxgn于是又有 )()()()()()()()(xgxgxfxfxgxfxgxfnnnn所以，)()(xgxfnn)()(xgxfEx注：本题也可用确界逼近准则（ p.138 定理 5.2 ）来证明 设在区间上一致连续，且，fI)(xn)(xEx)(,)(EIEn试证：，,2, 1n) )(xfn) )(xf Ex证证 因在上一致连续，故，只

8、要),(Iuu ，fI0,0 uu便有 )()(ufuf对上述，由，必定，当时，对一)(xn)(xExN NNNn 切，均有记，则有Ex)()(xxnIxuIxun )(,)( ) )() )()()(xfxfufufn65这就证得 ， ) )(xfn) )(xf Ex证明：在上一致收敛的必要条件是1)( nnxfE)(xfnEx,0证证 设，, )()( 1 nkknxfxS)(xSnExxS, )(则)(xfn)(xSn)(1xSn由题易知 )(xfnExxSxS,0)()(设收敛，试证上一致收敛1nna),0e 1在xnnna证证 由一致收敛的阿贝尔判别法，数项级数收敛即一致收敛；对每个

9、，1nna0x对单调（减） ，且一致有界故xnen,), ),0,1e(N Nnxxnxnnnae 1在上一致收敛 ),0判别下列函数序列或函数项级数在指定的区间上是否一致收敛：（），； （），； nnxsin),(x1sin) 1(nnxn),(x；)3(1,0,)()(,)()(,)(1121xxfxxfxfxxfxxfnn（）， （）， （）；1nnxx1,0x)10(1,0x（）1,0,)(12x nnxxnnn解解 （）由于，且0sinlim nnxn，)(010sinsup ),( nnnnxx66因此， nnxsin0),(x（）由函数项级数一致收敛的狄利克雷判别法，为一致有界；

10、1)1( 1 nkk，关于单调（减） ；且，),(xxnsin1 n0sin1limxnn，)(0110sin1sup ),(nnxnx从而，所以，在上为一致xnsin1 0),(x1sin) 1(nnxn),(收敛（）事实上，记)()()(211nxxfxxfn n，1,0,)()()(211xxxxfxfxgn nn由 ，求出的最大值点，和最01 211)(21 nxxgnn)(xgnnnnx2211 大值由于nnnnnxg2211121)( ，)(0e0)()(max)(sup1- 1, 0 1, 0 nxgxgxgnnnxn x.因此)(xfn1,0,xx（）设，则有111 1)( n

11、nnnxxxxf .1,21, )1,0,0)()(limxx xfxfn n（）由于，因)(021 111sup)()(sup) 1, 0) 1, 0 nxxfxfnxn x此在上不一致收敛，从而在上更不一致收敛)(xfn)1,01,0（）当时，由于)10(1,0x)(01)1(11)()(sup 1, 0 nxfxfnn x，67因此，)(xfn)(xf)10(1,0x（）设由于nnnnnxxxf2)()(，1,0,0)1( )()(21 x nnxnnxxfnnn因此有根据优级数判别法，由2223)11(1)1()1()(0 nnnnnfxfn nnnn收敛，可知在上一致收敛 123nn

12、12)(nnnnnxx1,0证明：在任何闭区间上一致收敛；但对任何不 122 )1( nn nnx,bax绝对收敛证证 由于为一致有界，关于单调（减） ，1)1( 1 nkk,bax22nnx n，设，因0lim22 nnxn,(00sup2222,n nnbnnxbax) |ab 此根据狄利克雷判别法，该级数在任何上一致收敛,ba又因对任何，所以发散 xnnnxn1)1(22 122 )1( nn nnx设在上可积，11)(0xu,ba,2,1,d)()(1nttuxuxann试证在上一致收敛1)( nnxu,ba证证 设，则可依次估计得：Mxu)(0,bax，)(d)(d)()(001ax

13、Mttuttuxuxaxa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,)(!2d)(d)()(2 12axMtatMttuxuxaxannxan nabnMaxnMtatnMxu)(!)(!d)(! ) 1()(168而易用比式判别法得知它收敛，故级数在上一致收 1)(!nnabnM1)( nnxu,ba敛 已知在上一致收敛试讨论：当在上满足何种条件时，1)( nnxfE)(xgE就能保证在上一致收敛？1)()( nnxfxgE解解 这里可用一致收敛的柯西准则来讨论由于在上一致收敛，故1)( nnxfE，当时，对一切和，恒N NN,01N

14、n ExN Np使1 1)(pnniixf而，pnniipnniixfxgxfxg 11)()()()(.因此当设在上有界，即时，就有)(xgEExMxg,)(1 11)()()(MxfMxfxgpnniipnnii此即表示在上一致收敛 1)()( nnxfxgE证明：若对每个是上的单调函数，且31,n)(xfn,ba1,)( nnaf都绝对收敛，则在上为绝对一致收敛1)( nnbf1)( nnxf,ba证证 由假设条件，对每一个有,n )(,)(max)(afafxfnnnnnnnnMbfafbfafdef)()()()(21由于与都收敛，因此1)( nnaf1)( nnbf69与1)()(

15、nnnbfaf 1)()(nnnbfaf也都收敛，从而收敛依据优级数判别法，证得在上为一1nnM1)( nnxf,ba致收敛 设试求2,0,)10(cos)( 0xrnxrxS nn20d)(xxS解解 由于，而为收敛，因此为一致收nnrnxrcosrr nn 110 0cos nnnxr敛，于是可以逐项求积据此便可求得 20d)(xxS20.2dcos 1020nnnnrxnxr设函数在内连续可微，记51f)1,(ba)(ba ,2,1, ),(,)()1()( nbaxxfnxfnxfn试证：（）在任何上一致收敛于；)(xfn,),(ba)(xf （）)()(d)(limffxxfn n证

16、证 （）由于在上连续，从而一致连续故，只要)(xf ,0,0且, 便有而由假设， uu , uu )()(ufuf., )1,(,)(1)()()1()( xnxxfnfnxfnxfnxfnnnn所以，当时，对任何，恒有 1N)1(nNnx,)()()()(xffxfxfnn这就证得，)(xfn)(xf x,),(ba（）利用逐项积分定理，易得)()(d)(d)(limd)(limffxxfxxfxxfnnnn 70证明：函数在上连续，且有连续的导 13sin)( nnnxxS),(数)(xS证证 由于，收敛，因此在上一致331sin nnnx131nn13sinnnnx),(收敛又，收敛，2

17、231cossin nnnx nnx 121nn故在上也一致收敛 13sinnnnx),(因为在上满足定理和定理的条件，所以13sinnnnx),(45.65.在上连续，且有)(xS),(， 12cos)( nnnxxS),(x又因为在上也满足定理的条件，所以在12cosnnnx),(45.)(xS上同样也连续 ),( 试求以下各级数的和函数：（）； （）)1, 1(, 11xnx nn0,e 1xn nxn解解（）设由于)()(211211xTxnxxnxxS nnnn，21111 )1(1 1)()( xxxxxnxxT nnnnnn 因此求得)1,1(,1)()(2 2 xxxxTxxS71（）设类似地得到0,e)( 1xnxS nxn.0, )1e(e1e1e1e)e(e)e()(2111 xxSxxxxxnnxnxnnxn上必定不一致收敛；并可知道定理.的条件和结论都不成立