小波分析第一次作业：.doc

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1、小波分析第一次作业：浅谈 Fourier 变换、Gabor 变换和 Wavelet 变换苏永钢（学号：1014203042）（天津大学 电气与自动化工程学院）傅里叶变换是数字信号和图像处理以及计算机视觉领域中一种非常重要的算法。若想了 解傅里叶变换的意义，首先要了解傅里叶分析的原理。傅里叶分析原理表明：测量得到的任 何连续时序或信号都可以表示为不同频率的正弦信号的无限叠加。在傅里叶分析基础上发展 的傅里叶变换利用测量得到的原始信号，以累加方式来计算信号中不同频率正弦波信号的频 率、振幅和相位分布。与傅里叶变换对应的是反傅里叶变换，该变换的本质也是一种累加处 理，它可以将单独改变的正弦波信号转换

2、成一个时序或信号。因此，可以这样理解利用傅里 叶变换进行信号处理的过程，即傅里叶变换将一些难以处理的时域信号转换成易于处理的频 域信号，然后利用一些工具对这些频域信号进行处理和加工，最后利用反傅里叶变换将处理 过的频域信号再转换成时域信号。从数学上来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换，它可以将任意函数表示成正弦基函 数的线性组合或积分。傅里叶变换具有线性性质、平移性质、尺度变换性质、微分性质和卷 积性质，正因为傅里叶变换的这一系列良好性质，使其在物理学、信号处理、图像处理、计 算机视觉、光信息处理、密码学等领域有着广泛的应用。然而，从傅里叶变换公式可知，若想通过傅里叶变换来得到一个信号的频谱，

3、就必须取 无限长的时间变量，即必须要获得时域中的全部信息。反之，若利用频谱来描述信号时，无 论信号持续的时间多么短，都需要用整个频域来描述。傅里叶变换无法给出某一时间段对应的频谱信息，而这些局部信息往往又是我们感兴趣的。比如对于音乐信号，我们关心的是何 时发出何频率的音符；对于地震波信号，我们关心的是什么空间位置出现什么频率的波。这 些信号都是非平稳信号，其频域特性随时间变化，在处理这些信号时，不能将时域和频域完 全分开来处理。由于傅里叶变换的正弦基是全域性的，其局部性质不好，因此傅里叶变换只 适用于确定性信号和平稳信号，对时变信号和非平稳信号，无法给出某些频率成分发生的时 间段及某个时刻的信

4、号频谱分布。为解决傅里叶变换局部性差的问题，Dennis Gabor 于 1946 年提出了窗口傅里叶变换，即 Gabor 变换。Gabor 变换能够完成局部分析的关键在于“窗口” ，窗口的尺度是局部性程度的 表征。Gabor 变换的窗函数一般选取高斯窗函数，选取高斯窗的原因在于：高斯函数的傅里 叶变换仍是高斯函数，这使得反傅里叶变换也用窗函数局部化了，同时体现了频域的局部化； 根据不确定原理，高斯函数窗口面积已达到不确定原理下界，是时域窗口面积达到最小的函 数。Gabor 变换的公式输出有两个变量，即时间和频率，因此它是一种时频分析。但是，一旦窗口函数选定后，时频窗口的形状便保持不变，割断了

5、频率与窗口宽度的内在联系，因此 Gabor 变换的实质是具有单一分辨率的分析。Gabor 变换能够在整体上提供信号的全部信息且 能提供任一局部时间内信号变化剧烈程度的信息。Gabor 变换在一定程度上解决了局部分析的问题，但对于突变信号和非平稳信号仍难以得到满意的结果，其原因在于：Gabor 变换的时频窗口大小和形状不变，只有位置变化，在 实际应用中对高频部分希望给出相对较窄的时间窗口以提高分辨率，对低频部分希望给出相 对较宽的时间窗口以保证信息的完整性；Gabor 变换基函数不能成为正交系，为了不丢失信 息，在信号分析或数值计算时须采用非正交的冗余基，这就增加了不必要的计算量和存储量。为了解

6、决傅里叶变换和 Gabor 变换不能解决的问题，提出了小波变换。所谓小波，指的 是小的波形。傅里叶变换基于在时间序列上无限长的正弦波信号，而小波变换则基于在某段 时间上非零的小波信号。从数学上来说，小波是函数空间 L2(R)中满足“容许性”条件的一个函数或信号 (x)。对于任意实数对,其中参数为非零实数，称具有如下形式的函数( , )a ba,1( )a bxbxaa为由小波母函数 (x)生成的依赖于参数和 b 的连续小波函数。(x)只有在原点附近才会有明a 显偏离水平轴的波动，在远离原点的位置函数值迅速衰减为零。因此，对于任意参数 a 和b，小波函数在x=b 附近存在明显的波动，在远离 x=

7、b 的位置迅速衰减到零。,( )a bx小波变换继承和发展了 Gabor 变换的局部化思想，同时克服了傅里叶变换和 Gabor 变换的一些不足。小波变换给出了一个可以调节的时频窗口，窗口的宽度随频率变化，频率变大 时窗口的宽度自动变窄以提高分辨率，频率变小时，窗口宽度自动变宽以保证信息的完整性。 “采用小波分析，就像使用一架可变焦距镜头的照相机一样，可以转向任一细节部分”。小波变换也是一种时频分析，其相较于 Gabor 变换，主要优点在于：小波变换给出的窗 函数宽度是可变的，因此可以较好的解决时间分辨率和频率分辨率的矛盾；具有优异的局部 化特性，对分析突变信号和奇异信号非常有效；小波变换可以将

8、各种交织在一起的由不同频 率组成的混合信号分解成不同频率的信号，并对频率大小不同的信号采用相应粗细的时空域 取样步长，从而能够不断聚焦到对象的任意微小细节，对时变信号的频谱分析意义重大；小 波变换并不要求变换基底正交，其时频宽乘积较小，因而展开系数的能量较为集中。 通过比较傅里叶变换、Gabor 变换和小波变换可以发现：傅里叶变换不具有局部性； Gabor 变换有局部性，但有一些缺点；而小波变换不但具有局部性，而且尺度参数可以改变 频谱结构和窗口的形状，起到“变焦”的作用，因此小波分析可以达到多分辨率分析的效果。 从信号分析方法的理论发展过程可能看出：傅里叶变换适合分析长时间内较稳定的信号；G

9、abor 变换也有一定的应用场合，但其效果取决于适当地选取窗函数；小波变换适合分析突 变信号和奇异信号。 小波分析第二次作业：Matlab 中小波变换函数及应用实例苏永钢（学号：1014203042）（天津大学 电气与自动化工程学院）一Matlab 中小波变换函数appcoef：提取一维小波变换低频系数；appcoef2：提取二维小波分解低频系数；bestlevt：计算完整最佳小波包树；besttree: 计算最佳(优)树；biorfilt：双正交样条小波滤波器组；biorwavf：双正交样条小波滤波器； centfrq：求小波中心频率；cgauwavf： Complex Gaussian 小

10、波；cmorwavf：coiflets 小波滤波器 ；cwt：一维连续小波变换；dbaux：Daubechies 小波滤波器计算；dbwavf：Daubechies 小波滤波器；ddencmp：获取默认值阈值(软或硬)熵标准；depo2ind：将深度-位置结点形式转化成索引结点形式；detcoef： 提取一维小波变换高频系数；detcoef2： 提取二维小波分解高频系数；disp：显示文本或矩阵；drawtree：画小波包分解树(GUI)；dtree：构造 DTREE 类；dwt：单尺度一维离散小波变换；dwt2：单尺度二维离散小波变换；dwtmode：离散小波变换拓展模式；dyaddown

11、：二元取样；dyadup： 二元插值；entrupd ：更新小波包的熵值；fbspwavf：B 样条小波；gauswavf：Gaussian 小波；idwt：单尺度一维离散小波逆变换；idwt2：单尺度二维离散小波逆变换；ind2depo：将索引结点形式转化成深度位置结点形式；intwave：积分小波数；isnode：判断结点是否存在；istnode：判断结点是否是终结点并返回排列值；iswt：一维逆 SWT(Stationary Wavelet Transform)变换；iswt2：二维逆 SWT 变换；mexihat：墨西哥帽小波；meyer：Meyer 小波； meyeraux： Mey

12、er 小波辅助函数；morlet： Morlet 小波；upcoef： 一维小波分解系数的直接重构；upcoef2： 二维小波分解系数的直接重构；upwlev：单尺度一维小波分解的重构；upwlev2：单尺度二维小波分解的重构；wavedec：单尺度一维小波分解； wavedec2：多尺度二维小波分解waverec：多尺度一维小波重构； waverec2：多尺度二维小波重构；二小波变换函数应用实例程序： close all t=0:0.05:20; x=3*sin(0.2*pi*t);%原始正弦信号 ns=0.2*sin(9*pi*t);%噪声信号 sig=x+ns;%叠加了噪声的信号 fig

13、ure(1) subplot(311) plot(x); title(原始信号) subplot(312) plot(ns); title(噪声) subplot(313) plot(sig); title(合成的噪声信号) c,l=wavedec(sig,4,db4);%对有噪信号用 db4 小波函数进行 4 层分解 a1=appcoef(c,l,db4,1);%提取第一层的近似分量 d1=detcoef(c,l,1);%提取第一层的细节分量 a2=appcoef(c,l,db4,2);%提取第二层的近似分量 d2=detcoef(c,l,2);%提取第二层的细节分量 a3=appcoef(

14、c,l,db4,3);%提取第三层的近似分量 d3=detcoef(c,l,3);%提取第三层的细节分量 a4=appcoef(c,l,db4,4);%提取第四层的近似分量 d4=detcoef(c,l,4);%提取第四层的细节分量%画出每一层的近似分量和细节分量，共四层 figure(2) subplot(421) plot(a1) title(第一层的近似分量) subplot(422) plot(d1) title(第一层的细节分量) subplot(423) plot(a2) title(第二层的近似分量) subplot(424) plot(d2) title(第二层的细节分量) s

15、ubplot(425) plot(a3) title(第三层的近似分量) subplot(426) plot(d3) title(第三层的细节分量) subplot(427) plot(a4) title(第四层的近似分量) subplot(428) plot(d4) title(第四层的细节分量) %进行重构 dd1=zeros(size(d1);%将第一层的细节分量置零 dd2=zeros(size(d2);%将第二层的细节分量置零 dd3=zeros(size(d3);%将第三层的细节分量置零 dd4=zeros(size(d4);%将第四层的细节分量置零 c1=a4 dd4 dd3 d

16、d2 dd1;%重构小波分解向量，所有的细节分量变为零 aa1=waverec(c1,l,db4);%重构信号 figure(3) subplot(311) plot(aa1) title(1234 层的细节分量置零后的重构信号) c2=a4 d4 dd3 dd2 dd1;%重构小波分解向量，其中第一、三、四层的细节分量被置零 aa2=waverec(c2,l,db4);%重构信号 subplot(312) plot(aa2) title(123 层的细节分量置零后的重构信号) c3=a4 d4 d3 dd2 dd1;%重构小波分解向量，其中第一、三层的细节分量被置零 aa3=waverec(

17、c3,l,db4);%重构信号 subplot(313) plot(aa3) title(12 层的细节分量置零后的重构信号) figure(4) c4=a4 d4 d3 d2 dd1;%重构小波分解向量，其中第一的层细节分量被置零 aa4=waverec(c4,l,db4);%重构信号 subplot(311) plot(aa4) title(1 层的细节分量置零后的重构信号) c5=a4 d4 dd3 d2 d1;%重构小波分解向量，其中第二的层细节分量被置零 aa5=waverec(c5,l,db4);%重构信号 subplot(312) plot(aa5) title(3 层的细节分量

18、置零后的重构信号) c6=a4 dd4 d3 d2 d1;%重构小波分解向量，其中第二的层细节分量被置零 aa6=waverec(c6,l,db4);%重构信号 subplot(313) plot(aa6) title(4 层的细节分量置零后的重构信号)上述程序代码实现的是对一段正弦信号添加噪声，然后用小波尺度分解方法对含噪声信号进行四层小波分解，以达到噪声和信号的分离，分离出噪声后，对噪声部分进行抑制，对信号部分进行重构，最终得到不含噪声的信号。从图 1(a)可以看出噪声的污染使整个信号产生了有规律的毛刺，如果不经过去噪处理可能会引起缺陷的误判。图 1(b)绘出了各逼近信号 A1、A2、A3、A4 和各级的细节信号 D1、D2、D3、D4。经过小波变换以后信号和噪声被分离开了，大量的噪声信号体现在了 D1、D2 中。令这一部分的小波参数为零进行重构，得到的去噪重构信号。如图 2 所示，重构信号中只包含了有用信号，噪声部分被有效抑制。(a) (b) 图 1.(a) (b) 图 2.