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1、等 差 数 列第一课时第一课时第一页，编辑于星期五：五点 十五分。问题问题：观察下面的数列并思考这些数列有什么共同特点？：观察下面的数列并思考这些数列有什么共同特点？1111(1) 21, 21 , 22, 22, 23, 23, 24, 24;2222(2) 38, 40, 42, 44,分析：分析：对于数列对于数列(1)(1)，从第二项起每一项与前一项的差都等于，从第二项起每一项与前一项的差都等于 ； 12对于数列对于数列(2)(2)，从第二项起每一项与前一项的差都等于，从第二项起每一项与前一项的差都等于2 2 ； 对于数列对于数列(3)(3)，从第二项起每一项与前一项的差都等于，从第二项
2、起每一项与前一项的差都等于500500； 总结：总结： 这些数列这些数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数一个常数. 第二页，编辑于星期五：五点 十五分。一、等差数列的定义一、等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于前一项的差等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做，那么这个数列就叫做等差数等差数列列，这个常数叫做等差数列的，这个常数叫做等差数列的公差公差，公差通常用字母，公差通常用字母d 表表示示. 如果等差数列如果等差数列 的首项是的首项是 ，公差是，公差是
3、，那么根据，那么根据等差数列的定义可以得到以下结论：等差数列的定义可以得到以下结论：na 1ad数列数列 为等差数列为等差数列na nn 12132nn 1n 1nnn 1aaddn2aaaaaa(n2)aaaa(n2). ，为为常常数数第三页，编辑于星期五：五点 十五分。例例1判断下面数列是否为等差数列判断下面数列是否为等差数列.(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,;(2) 1, 2, 4, 7, 2不是.因为从第2项起后项与前项的差是：1，2， 3，4，5，是常数，但不是同一常数.解：解： （1 1）是）是. .因为从第因为从第2项起后项与前项的差都是项起后项与前项的差都
4、是1，符，符 合等差数列的定义合等差数列的定义. . 3是.因为从第2项起后项与前项的差都是0，符 合等差数列的定义.注注： 1、等差数列要求从第、等差数列要求从第2项起，后一项与前一项项起，后一项与前一项. 2、作差的结果要求是、作差的结果要求是第四页，编辑于星期五：五点 十五分。二、等差数列的通项公式二、等差数列的通项公式 如果等差数列如果等差数列 的首项是的首项是 ，公差是，公差是 ，那么根据，那么根据等差数列的定义有：等差数列的定义有：na 1ad213243nn 1aadaadaadaad将左边的将左边的n-1个式子迭加可得：个式子迭加可得：n12132nn 1n1aa(aa ) (
5、aa )(aa)(n 1)d,aa(n 1)d.：即即故：等差数列的通项公式是故：等差数列的通项公式是 n1aa(n1)d. 当当n =1时，上式两边都等于时，上式两边都等于 a1 . nN*，公式成立，公式成立. 第五页，编辑于星期五：五点 十五分。 即这个等差数列的首项是即这个等差数列的首项是2，公差是，公差是3.例例2在等差数列在等差数列 中，已知中，已知 求首项求首项 与公差与公差d.na 512a10, a31,1a解：由题意可知解：由题意可知11a4d 10,a11d 31.解得：解得：1a2,d3. 注：注：等差数列的通项公式等差数列的通项公式 a an n = a = a1 1
6、+(n-1)d +(n-1)d 中，中，a an n, a, a1 1, n, n，d d 这四个变量这四个变量 ，知道其中三个量就可以求余，知道其中三个量就可以求余下的一个量，下的一个量，知三求一知三求一. . 第六页，编辑于星期五：五点 十五分。三等差中项三等差中项 如果如果 a, A, b 成等差数列，那么成等差数列，那么 A 叫做叫做 a 与与 b 的的等差等差中项中项 .由等差中项的定义可知，由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：满足关系：abbAAaAb2Aa (a2Ab)2 或意义：意义： 任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯任意两个数都有等差中项，并且这个等
7、差中项是唯一的一的.当当 a=b 时，时，A = a = b .第七页，编辑于星期五：五点 十五分。例例3已知数列的通项公式为已知数列的通项公式为 ，其中，其中 p, q, 是是 常数，且常数，且 ，那么这个数列是否一定是等差数，那么这个数列是否一定是等差数 列？如果是，其首项与公差是什么？列？如果是，其首项与公差是什么？ napnqp0分析：由等差数列的定义，要判断分析：由等差数列的定义，要判断 是不是等差数列，是不是等差数列， 只要看只要看 是不是一个与是不是一个与n 无关的无关的 常数就行了常数就行了.na nn 1aa(n2)解：取数列解：取数列 中的任意相邻两项中的任意相邻两项 与与
8、na n 1ana (n2),nn 1aa(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p.第八页，编辑于星期五：五点 十五分。 这是一个与这是一个与 n 无关的常数，所以无关的常数，所以 是等差数列，是等差数列，公差是公差是p. 在通项公式中令在通项公式中令 n1，得，得 ，所以这个，所以这个等差数列的首项是等差数列的首项是 p+q，公差是，公差是 p.na 1apq注：等差数列的通项公式可以表示为注：等差数列的通项公式可以表示为 ，其中，其中 p, q 是常数是常数. 当当 时，它是关于时，它是关于 n 的一次式，的一次式， 因此从图像上看，表示这个数列的各点均在一次函因此从图像上看，表示这个数列的各点均在一次函 数数 的图像上，其坐标为的图像上，其坐标为 .napnqp0ypxqn(n,a )第九页，编辑于星期五：五点 十五分。 1 1、等差数列的概念、等差数列的概念. .必须从第必须从第2 2项起后项减去前项，并且项起后项减去前项，并且差是同一常数差是同一常数. .四小结四小结 2、等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 知道其中三个或两个字母变量，可用列方程或方程组的方法，求余下的一个或两个变量. 3 3、等差中项的概念、等差中项的概念 . .ab2A=第十页，编辑于星期五：五点 十五分。