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1、专题二 函数与导数第 3讲 导数及其应用主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点的一个热点.2.利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用参数的值，突出考查导数的工具性作用.考情解读主干知识梳理1.导数的几何意义导数的几何意义函数函数yf(x)在点在点xx0处的导数值就是曲线处的导数值就是曲线yf(x)在点在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，其切线方程是处的切线的斜率，其切线方程是yf(x0)f(x0)(x
2、x0).2.导数与函数单调性的关系导数与函数单调性的关系(1)f(x)0是是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在在(，)上单调递增，但上单调递增，但f(x)0.(2)f(x)0是是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有数在某个区间内恒有f(x)0时，则时，则f(x)为常函数，为常函数，函数不具有单调性函数不具有单调性.3.函数的极值与最值函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题是对整
3、个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题.(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有而函数的极值可能不止一个，也可能没有.(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值数的最值.4.定积分的三个公式与一个定理定积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质：定积分的性质：(2)微积分基本定理：微积分基本定理：一般地，如果一般地，如果f(x)是区间是区间a，b上的连续
4、函数，并上的连续函数，并且且F(x)f(x)，那么，那么 f(x)dxF(b)F(a). 热点一 导数的运算和几何意义 热点二 利用导数研究函数的性质 热点三 导数与方程、不等式热点分类突破 热点四 定积分例1(1)(2014广东广东)曲线曲线ye5x2在点在点(0,3)处的处的切线方程为切线方程为_.热点一 导数的运算和几何意义思维启迪 先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程程，再化为一般式方程.解析因为因为ye5x(5x)5e5x，所以所以y|x05，故切线方程为故切线方程为y35(x0)，即即5xy30.答案5
5、xy30(2)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，设中，设A是曲线是曲线C1：yax31(a0)与曲线与曲线C2：x2y2 的一个公共点，若的一个公共点，若C1在在A处的切线与处的切线与C2在在A处的切线互相垂直，则实处的切线互相垂直，则实数数a的值是的值是_.思维启迪 A点坐标是解题的关键点，列方程求出点坐标是解题的关键点，列方程求出.解析设设A(x0，y0)，则，则C1在在A处的切线的斜率为处的切线的斜率为f(x0)3ax ，C2在在A处的切线的斜率为处的切线的斜率为又又C1在在A处的切线与处的切线与C2在在A处的切线互相垂直，处的切线互相垂直，答案4(1)求曲线的切线要注意求曲线的
6、切线要注意“过点过点P的切线的切线”与与“在在点点P处的切线处的切线”的差异，过点的差异，过点P的切线中，点的切线中，点P不不一定是切点，点一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在也不一定在已知曲线上，而在点点P处的切线，必以点处的切线，必以点P为切点为切点.思维升华(2)利用导数的几何意义解题利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进
7、而和导数联系起来求解进而和导数联系起来求解.思维升华变式训练1(2)若曲线若曲线f(x)xsin x1在在x 处的切线与直线处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数互相垂直，则实数a等于等于_.解析f(x)sin xxcos x，f( )1，即函数即函数f(x)xsin x1在点在点x 处的切线的斜率是处的切线的斜率是1，直线直线ax2y10的斜率是的斜率是 ，所以所以( )11，解得，解得a2.2例2已知函数已知函数f(x)(xa)ex，其中，其中e是自然对数的是自然对数的底数，底数，aR.(1)求函数求函数f(x)的单调区间；的单调区间；热点二 利用导数研究函数的性质思维启迪 直接求直接
8、求f(x)，利用，利用f(x)的符号确定单调区间；的符号确定单调区间；解因为因为f(x)(xa)ex，xR，所以所以f(x)(xa1)ex.令令f(x)0，得，得xa1.当当x变化时，变化时，f(x)和和f(x)的变化情况如下：的变化情况如下：x(，a1)a1(a1，)f(x)0f(x) 故故f(x)的单调减区间为的单调减区间为(，a1)；单调增区间为单调增区间为(a1，).(2)当当x0,4时，求函数时，求函数f(x)的最小值的最小值.思维启迪 讨论区间讨论区间0,4和所得单调区间的关系，一般情况下，和所得单调区间的关系，一般情况下，f(x)的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到的最值可能
9、在极值点或给定区间的端点处取到.解由由(1)得，得，f(x)的单调减区间为的单调减区间为(，a1)；单调增区间为单调增区间为(a1，).所以当所以当a10，即即a1时，时，f(x)在在0,4上单调递增，上单调递增，故故f(x)在在0,4上的最小值为上的最小值为f(x)minf(0)a；当当0a14，即，即5a0或或f(x)0.若已知函数的单调性，则转化为不等式若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解在单调区间上恒成立问题来求解.思维升华(4)若求极值，则先求方程若求极值，则先求方程f(x)0的根，再的根，再检查检查f(x)在方程根的左右函数值的符号
10、在方程根的左右函数值的符号.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程方程f(x)0根的大小或存在情况来求解根的大小或存在情况来求解.(5)求函数求函数f(x)在闭区间在闭区间a，b的最值时，在得到的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值的各极值进行比较得到函数的最值.思维升华变式训练2 已知函数已知函数f(x)ln x ，aR.(1)若函数若函数f(x)在在2，)上是增函数，求实数上是增函数，求实数a的的取值范围；取值范围；f(x)在在2，)上是增函数
11、，上是增函数，即即a 在在2，)上恒成立上恒成立.令令g(x) ，则，则ag(x)min，x2，)，g(x) 在在2，)上是增函数，上是增函数，g(x)ming(2)1.a1.所以实数所以实数a的取值范围为的取值范围为(，1.(2)若函数若函数f(x)在在1，e上的最小值为上的最小值为3，求实数，求实数a的值的值.解由由(1)得得f(x) ，x1，e.若若2a0，即，即f(x)0在在1，e上恒成上恒成立，立，此时此时f(x)在在1，e上是增函数上是增函数.所以所以f(x)minf(1)2a3，解得，解得a (舍去舍去).若若12ae，令，令f(x)0，得，得x2a.当当1x2a时，时，f(x)
12、0，所以所以f(x)在在(1,2a)上是减函数，上是减函数，当当2ax0，所以所以f(x)在在(2a，e)上是增函数上是增函数.所以所以f(x)minf(2a)ln(2a)13，解得解得a (舍去舍去).若若2ae，则，则x2a0，即，即f(x)0)，设，设F(x)f(x)g(x).(1)求函数求函数F(x)的单调区间；的单调区间；思维启迪 利用利用F(x)确定单调区间；确定单调区间；a0，由，由F(x)0 x(a，)，F(x)在在(a，)上是增函数上是增函数.由由F(x)0 x(0，a)，F(x)在在(0，a)上是减函数上是减函数.F(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(0，a)，单调递增
13、区间为单调递增区间为(a，).(2)若以函数若以函数yF(x)(x(0,3)图象上任意一点图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率为切点的切线的斜率k 恒成立，求实数恒成立，求实数a的最的最小值；小值；思维启迪 kF(x0)，F(x0) 分离分离a，利用函数思想求，利用函数思想求a的最小的最小值；值；解由由F(x) (00.又由又由G(2)G(2)ln 52 0，则，则f(x)在在(0，)上上是增函数是增函数.当当a0时，若时，若0 x0，故故f(x)在在(0， 上是增函数；上是增函数；若若x ，则，则f(x)0，故故f(x)在在 ，)上是减函数上是减函数.综上，当综上，当a0时，时，
14、f(x)在在(0，)上是增函数；上是增函数；当当aa2成立，求实数成立，求实数m的取值范围的取值范围.解由题意，知对任意由题意，知对任意a(4，2)及及x1,3，恒有恒有maf(x)a2成立，成立，等价于等价于maa2f(x)max.由由(1)，知当，知当a(4，2)时，时，f(x)在在1,3上是减函上是减函数，数，所以所以f(x)maxf(1)2a，所以所以maa22a，即，即ma2.因为因为a(4，2)，所以，所以2a21，则，则a的值为的值为()A.6 B.4 C.3 D.2由题意，可得由题意，可得a2ln a13ln 2，解得，解得a2.D(2)如图，阴影部分的面积是如图，阴影部分的面
15、积是()答案由题图，可知阴影部分面积为由题图，可知阴影部分面积为C1.函数单调性的应用函数单调性的应用(1)若可导函数若可导函数f(x)在在(a，b)上单调递增，则上单调递增，则f(x)0在区间在区间(a，b)上恒成立；上恒成立；(2)若可导函数若可导函数f(x)在在(a，b)上单调递减，则上单调递减，则f(x)0在区间在区间(a，b)上恒成立；上恒成立；(3)可导函数可导函数f(x)在区间在区间(a，b)上为增函数是上为增函数是f(x)0的必要不充分条件的必要不充分条件.本讲规律总结2.可导函数极值的理解可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确函数在定义域上的极大
16、值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数对于可导函数f(x)，“f(x)在在xx0处的导数处的导数f(x)0”是是“f(x)在在xx0处取得极值处取得极值”的必要不充分条件；的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点的零点是原函数的极小值点.3.利用导数解决优化问题的步骤利用导数解决优化问题的步骤(1)审题设未知数；审题设未知数；(2)结合题意列出函
17、数关系式；结合题意列出函数关系式；(3)确确定函数的定义域；定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；在定义域内求极值、最值；(5)下下结论结论.4.定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用被积函数为被积函数为yf(x)，由曲线，由曲线yf(x)与直线与直线xa，xb(a0)，若，若f(x)在在1,1上的最小值记为上的最小值记为g(a).(1)求求g(a)；解因为因为a0，1x1，所以，所以当当0a1时，时，若若x1，a，则，则f(x)x33x3a，f(x)3x230，故故f(x)在在(a,1)上是增函数上是增函数.所以所以g(a)f(a)a3.真题感悟21当当a1时，有时，有xa，则，则
18、f(x)x33x3a，f(x)3x230，故故f(x)在在(1,1)上是减函数，上是减函数，所以所以g(a)f(1)23a.真题感悟21(2)证明：当证明：当x1,1时，恒有时，恒有f(x)g(a)4.证明令令h(x)f(x)g(a).当当0a1时，时，g(a)a3.若若xa,1，则，则h(x)x33x3aa3，h(x)3x23，所以所以h(x)在在(a,1)上是增函数，上是增函数，所以，所以，h(x)在在a,1上的最大值是上的最大值是h(1)43aa3，真题感悟21且且0a0，知知t(a)在在(0,1)上是增函数上是增函数.所以，所以，t(a)t(1)4，即，即h(1)0，因此函数，因此函数
19、f(x)在在0,1上单调递增，上单调递增，所以所以x0,1时，时，f(x)minf(0)1.押题精练12根据题意可知存在根据题意可知存在x1,2，使得，使得g(x)x22ax41，令令h(x) ，则要使，则要使ah(x)在在x1,2能成立，能成立，只需使只需使ah(x)min，押题精练12押题精练122.已知函数已知函数f(x) ln x，x1,3.(1)求求f(x)的最大值与最小值；的最大值与最小值；令令f(x)0得得x2，x1,3，当当1x2时，时，f(x)0；押题精练12当当2x0；f(x)在在(1,2)上是单调减函数，上是单调减函数，在在(2,3)上是单调增函数，上是单调增函数，f(x)在在x2处取得极小值处取得极小值f(2) ln 2；押题精练12f(1)f(3)，押题精练12(2)若若f(x)4at对任意的对任意的x1,3，t0,2恒成立，恒成立，求实数求实数a的取值范围；的取值范围；解由由(1)知当知当x1,3时，时，f(x) ，故对任意故对任意x1,3，f(x) 对任意对任意t0,2恒成立，恒成立，即即at 恒成立，记恒成立，记g(t)at，t0,2.押题精练12