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1、122.2.222.2.2解一元二次方程解一元二次方程公式法公式法配方法回顾与复习用配方法解一元二次方程的步骤:w1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);w2.移项:把常数项移到方程的右边;w3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;w4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;w5.求解:解一元一次方程;w6.定解:写出原方程的解.用配方法解一般形式的一元二次方程用配方法解一般形式的一元二次方程20axbxc 把方程两边都除以把方程两边都除以 20bcxxaa 解解: :a移项，得移项，得2bcxxaa 配方，得配方，得22222bbcbxxaaaa 即即222424bb
2、acxaa 用配方法解一般形式的一元二次方程用配方法解一般形式的一元二次方程20axbxc224040abac 当当时时22424bbacxaa 242bbacxa 2422bbacxaa 即即一元二次方程的一元二次方程的求根公式求根公式特别提醒特别提醒w 一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 22440 .2bbacxbaca w上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.:,042它的根是时当 acbw老师提示:w用公式法解一元二次方程的前提是:w1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a0). w2.b24ac0.
3、例例 1 解方程：解方程：27180 xx解：解：71217112 12x 即即 ：1292xx 242bbacxa 1718abc 22474 1181210bac 例例 2 解方程：解方程：232 3xx原方程可化为：原方程可化为：22 330 xx1-2 33、abc解：解：2242 34 1 30-2 302 332 12（）（）bacx 即即 ：123xx242bbacxa 解：原方程可化为：解：原方程可化为：例例 3 解方程：解方程： 2136xx23780 xx3-78、abc2247474 3 849906（）-bac 方程没有实数解。方程没有实数解。242bbacxa 用公式
4、法解一元二次方程的一般步骤：用公式法解一元二次方程的一般步骤：242bbacxa 3、代入求根公式、代入求根公式 :2、求出、求出 的值，的值，24bac 1、把方程化成一般形式，并写出、把方程化成一般形式，并写出 的值。的值。a b、 c c4、写出方程的解：、写出方程的解：12xx、特别注意特别注意:当当 时无解时无解240bac用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：（1）2x2-9x+8=0;（2）9x2+6x+1=0;（3）16x2+8x=3;12917917,44xx1213xx 1213,44xx （4）x2-3x+2=0;（5）x(x+1)+7(x-1)=2(x+2).122,
5、1xx26110 xx1232 5,32 5xx 用公式法求一元二次方程的根注意事项：用公式法求一元二次方程的根注意事项：(1)在用公式法解一元二次方程之前，必须在用公式法解一元二次方程之前，必须先把方程化为一般形式，而且要计算准确，先把方程化为一般形式，而且要计算准确，为下面代入求根公式做好准备。为下面代入求根公式做好准备。(2)一元二次方程一元二次方程200axbxca的根的值是由系数的根的值是由系数a，b，c确定的，所以在代确定的，所以在代入求根公式前，务必认准所求题目中入求根公式前，务必认准所求题目中a，b，c的取值是多少的取值是多少(特别容易在正、负号上出错特别容易在正、负号上出错)
6、。(3)方程方程 不一定有不一定有实数解，为此，在代公式之前，先判断一实数解，为此，在代公式之前，先判断一下下b24ac的值很有必要，若的值很有必要，若b24ac 0，则方程有实数解。若则方程有实数解。若b24ac 0，则方程，则方程无实数解，就没有必要代入求根公式了。无实数解，就没有必要代入求根公式了。200axbxca例例4 用公式法解方程用公式法解方程210 xx (精确到精确到0.01)解：解：a=1，b=1，c=1 22414 1150bac 241522bbacxa 52.2361212.23612.2360.62,1.6222xx 说明：在求方程的近似解时，应符合近似计算的有说明
7、：在求方程的近似解时，应符合近似计算的有关要求，中间过程比最后结果多保留一位小数。关要求，中间过程比最后结果多保留一位小数。 2152 3xx解：移项得：解：移项得：252 30 xx5,2 3,0abc 2242 3450120bac 22 31242 32 322510bbacxa 122 3,05xx 说明：对于不完全的一元二次方程，也说明：对于不完全的一元二次方程，也可用公式法求解，此时所缺项的系数为可用公式法求解，此时所缺项的系数为0 0。例例5 5 用公式法解方程用公式法解方程 2122102xx 解：原方程可化为：解：原方程可化为：22 220 xx 1,2 2,2abc 224
8、2 24 1 20bac 22 2042 2022 12bbacxa 122xx说明：说明：当一元二次方程的二次项系数为负数，通常当一元二次方程的二次项系数为负数，通常把它化成正数。把它化成正数。如果方程的系数含有分数，通常利用方程的如果方程的系数含有分数，通常利用方程的同解原理先化为整数，目的是为了方便计算。同解原理先化为整数，目的是为了方便计算。当当 时，原方程有两个相等的时，原方程有两个相等的实根，不能认为只有一个实数根。实根，不能认为只有一个实数根。240bac当当 时，求根公式可简化时，求根公式可简化为为 。240bac122bxxa 17 33211xxx解：原方程可化为：解：原方
9、程可化为：22320 xx 2,3,2abc 2243422110bac 22311431162222242 2bbacxa 12622622,44xx 24210 xx 1,2,1abc22424 1 120bac 原方程无解。原方程无解。说明：说明：一元二次方程的解法很多，但对于无理数系一元二次方程的解法很多，但对于无理数系数较多的一元二次方程一般都用公式法求解。数较多的一元二次方程一般都用公式法求解。求出的根要化成最简形式，如此此题不能写求出的根要化成最简形式，如此此题不能写成成 而应对其进行分母有理化。而应对其进行分母有理化。3112 2x例例6 用公式法解下列关于用公式法解下列关于x
10、的方程 22123xmxmxx 中的中的a，b，c的值。的值。分析：在用求根公式法解一元二次方程分析：在用求根公式法解一元二次方程时，应先把原方程整理为一般形式，以时，应先把原方程整理为一般形式，以确定确定200axbxca 22123xmxmxx解：把原方程整理，化为解：把原方程整理，化为 因为二次项系数因为二次项系数1m是含字母是含字母m的的式子，应该分类讨论：式子，应该分类讨论：21320m xmx当当1m 0，即，即m1时，时，式是一元二次方式是一元二次方程，可代入求根公式求解程，可代入求根公式求解a1m，bm3，c2，2224342 110bacmmm 223131422 12 1m
11、mmmbbacxamm 1231312,12 112 1mmmmxxmmm当当1m0，即，即m1时，原方程为时，原方程为2x20，得，得x1。说明：如果一元二次方程的二次项系数含字说明：如果一元二次方程的二次项系数含字母，则要对二次项系数要分为等于零和不等母，则要对二次项系数要分为等于零和不等于零两种情况进行分类讨论。于零两种情况进行分类讨论。 221230mxmxm分析：因为二次项系数为分析：因为二次项系数为m1,应对应对m1分分类讨论。类讨论。解：当解：当m10，即，即m1时，原方程为一元时，原方程为一元二次方程二次方程22424134 32bacmmmm 若若4 320m，即，即32m
12、时，则时，则240bac 24 3232211mmmmxmm即即123232,11mmmmxxmm 若若4 320m，即，即32m 时，则时，则240bac 200211mmxmm即即123233112mxxm 若若4 320m，即，即32m 时时，则，则240bac，原方程没有实数根。，原方程没有实数根。当当m1=0时，原方程变为时，原方程变为2x4=0，x=2。的值不确定，还需分的值不确定，还需分说明：对于字母系数的一元二次方程说明：对于字母系数的一元二次方程除对二次项系数进行讨论外，在二次除对二次项系数进行讨论外，在二次项系数不为零的情况下，若项系数不为零的情况下，若24bac240,b
13、ac 三种情况三种情况进行分类讨论。进行分类讨论。2240,40bacbac 的值，的值，(以便决定有无必以便决定有无必要代入求根公式要代入求根公式)；(4)若若(三三)小结小结1用公式法解一元二次方程的步骤是：用公式法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程整理为一元二次方程一般形式；把方程整理为一元二次方程一般形式；(2)确认确认a，b，c的值的值(特别要注意正负号特别要注意正负号)；(3)求出求出24bac240bac，代入求根公式，若，代入求根公式，若240bac，则原方程无解。，则原方程无解。2.解一元二次方程解一元二次方程200axbxca时，若时，若240bac，它有两个相等的根，它有两个相等的根 ，不要认为原方程只有一个根。，不要认为原方程只有一个根。 122bxxa 分大于零，等于零，小于零三种情况进行讨论，分大于零，等于零，小于零三种情况进行讨论，才能得到完整的解答。才能得到完整的解答。 的值不确定，还必须对的值不确定，还必须对3.若二次项系数含字母，应该分二次项系数若二次项系数含字母，应该分二次项系数等于零和二次项系数不等于零两种情况进行等于零和二次项系数不等于零两种情况进行讨论，在二次项系数不为零的前提下，若讨论，在二次项系数不为零的前提下，若24bac24bac