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1、 1.1 1.1 等腰三角形（三）等腰三角形（三）八年级数学组八年级数学组定理定理: 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等简称简称:等边对等角等边对等角推论推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合上的高线互相重合 (三线合一三线合一)结论结论1:等边三角形的三个角都相等等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于并且每个角都等于60结论结论2: 等腰三角形等腰三角形腰上的高线与底边的夹角腰上的高线与底边的夹角等等于顶角的一半于顶角的一半.一、预习交流一、预习交流结论结论4: 等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底
2、角的平分线相等.结论结论5: 等腰三角形两腰的高线、中线分别相等等腰三角形两腰的高线、中线分别相等.等腰三角形的性质等腰三角形的性质:结论结论3:3:等腰三角形等腰三角形底边上的任意一点底边上的任意一点到两腰的距到两腰的距离之和离之和等于一腰上的高等于一腰上的高判定定理判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简称简称:等角对等边等角对等边.二、互助探究（1）什么是等边三角形？）什么是等边三角形？（2），一个等腰三角形满足什么条件时便），一个等腰三角形满足什么条件时便成了等边三角形？成了等边三角形？ （3），你认为有一个角等于），你认为有一个角等于600的等
3、腰三的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴进行交流。吗？把你的证明思路与同伴进行交流。命题的证明命题的证明w定理定理: :有一个角是有一个角是600的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形. .证明证明: :AB=AC, B=60AB=AC, B=600 0( (已知已知),), C=B=60 C=B=600 0.(.(等边对等角等边对等角) ) A=60 A=600 0( (三角形内角和定理三角形内角和定理) ) A=BA=B（等式性质）（等式性质）. . AC=CB AC=CB（等角对等边）（等角对等边）. . AB
4、=BC=AC AB=BC=AC（等式性质）（等式性质）. . ABCABC是等边三角形是等边三角形( (等边三角形意义等边三角形意义).).已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中 AB=AC,B=60AB=AC,B=600 0. .求证求证: :ABCABC是等边三角形是等边三角形. . ACB600二、互助探究几何的几何的三种语言三种语言驶向胜利的彼岸w定理定理: :有一个角是有一个角是600的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形. .在在ABCABC中中, ,AB=AC,B=60AB=AC,B=600 0( (已知已知).).ABCABC是等边三角形是等边三角形( (有
5、一个角是有一个角是600的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形).).这又是一个判定这又是一个判定等边三角形等边三角形的根据之一的根据之一ACB600二、互助探究驶向胜利的彼岸命题的证明命题的证明w定理定理: :三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形. .证明证明: :A=B (A=B (已知已知),), BC=AC,( BC=AC,(等角对等边等角对等边).). 又又B=C(B=C(已知已知),), AB=AC,( AB=AC,(等角对等边等角对等边).). AB=BC=AC( AB=BC=AC(等式性质等式性质).). ABCABC是等边三角形是等边三角
6、形( (等边三角形意义等边三角形意义) )已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,A=B=C.,A=B=C.求证求证: :ABCABC是等边三角形是等边三角形. .ACB二、互助探究几何的几何的三种语言三种语言w定理定理: :三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形在在ABCABC中中, ,A=B=CA=B=C( (已知已知),),ABCABC是等边三角形是等边三角形( (三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形).).ACB 二、互助探究这是一个判定这是一个判定等边三角形等边三角形的根据之一的根据之一驶向胜利的彼岸命题的猜想命题的猜想
7、w1 1 操作操作: :用两个含有用两个含有30300 0角的三角尺，你能拼角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？成一个怎样的三角形？能证明你的结论吗？能证明你的结论吗？300300300300结论结论: :在直角三角形中在直角三角形中, 30, 300 0角所对的直角角所对的直角边等于斜边的一半边等于斜边的一半. .w能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由. .w由此你想到，在直角三角形中由此你想到，在直角三角形中, 30, 300 0角所对的角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？直角边与斜边有怎样的大小关系？300300300二、互助探究驶向胜利的彼岸命题
8、的证明命题的证明w定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个锐角等于如果有一个锐角等于30300 0, ,那么它那么它所对的直角边等于斜边的一半所对的直角边等于斜边的一半. .已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=900 0,A=30,A=300 0求证求证:BC= AB.:BC= AB.21300ABCD分析：突破如何证明分析：突破如何证明“线段的倍、分线段的倍、分”问题问题转转 化化“线段相等线段相等”问题问题延长延长BCBC至至D,D,使使CD=BC,CD=BC,连接连接ADAD二、互助探究300ABCD ACB=90 ACB=900
9、0, (, (已知已知),), ACD=90 ACD=900 0( (平角意义平角意义) )在在ABCABC与与ADCADC中中 BC=DCBC=DC（作图）（作图） ACB=ACDACB=ACD（已证）（已证） AC=ACAC=AC（公共边）（公共边） ABCABCADCADC（SASSAS） AD=ABAD=AB ACB=90 ACB=900 0,A=30,A=300 0( (已知已知),), B=60B=600 0( (直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余).). ABDABD是等边三角形是等边三角形( (有一个角是有一个角是60600 0的等腰三角形的等腰三角形是等边三角形是等边三
10、角形) ) BC= BD= AB( BC= BD= AB(等式性质等式性质).).证明证明: : 延长延长BCBC至至D,D,使使CD=BC,CD=BC,连接连接ADAD2121几何的几何的三种语言三种语言AB:AC:BC驶向胜利的彼岸w定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个锐角等于如果有一个锐角等于30300 0, ,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半. .在在ABCABC中中, ,ACB=90ACB=900 0,A=30,A=300 0. .BC= AB.(BC= AB.(在直角三角形中在直角三角形中, , 30300 0角所对的直角边等
11、于斜边的一角所对的直角边等于斜边的一半半).).21ABC300推论：推论：231:二、互助探究三、分层提高三、分层提高驶向胜利的彼岸解解: :B=ACB=15B=ACB=150 0( (已知已知),),DAC=B+ACB= 15DAC=B+ACB= 150 0+15+150 0=30=300 0( (三角形的一三角形的一个外角个外角, ,等于和不相邻的两内角的和等于和不相邻的两内角的和).).CD= AC=a(CD= AC=a(在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个如果有一个锐角等于锐角等于30300 0, ,那么它所对的直角边等于斜边的那么它所对的直角边等于斜边的一半一半).).A
12、CBD15015021例例 . .已知已知: :如图如图, ,等腰三角形的底角为等腰三角形的底角为15150 0, ,腰长为腰长为2a.2a.求求: :腰上的高腰上的高. .2a2a探索腰探索腰AB与底与底BC的关系？的关系？AB300300DABBC3三、分层提高三、分层提高CAB300300D含含30300 0角的直角三角形角的直角三角形驶向胜利的彼岸1.1.已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,ACB,ACB90900 0,A=30,A=300 0,CDAB,CDAB于于D.D.求证求证:BD=AB/4.:BD=AB/4.你能规范地写出证明过程吗？你能规范地写出证明过程吗？你
13、的证题能力有所提高吗你的证题能力有所提高吗? ?ACBD300三、分层提高三、分层提高四、总结归纳 等边三角形的判定等边三角形的判定: 定理定理: :有一个角是有一个角是600的等腰三角形是等边三角的等腰三角形是等边三角形形. . 定理定理: :三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形. . 特殊的直角三角形的性质特殊的直角三角形的性质: : 定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个锐角等于如果有一个锐角等于30300 0, ,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半. . 老师提醒老师提醒: : 反证法反证法还认识你吗还认识
14、你吗? ?ACBD300300300ABC1 1. .已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中中, ,高线高线BDBD和和CECE相交于相交于H H，BHC=120BHC=120,HD=1,HE=3,HD=1,HE=3,求求BDBD和和CECE的长。的长。ACDEBH13?120CH=2CE=5BH=6BD=72 2. .已知：如图，已知：如图，ABCABC是等边三角形是等边三角形,D.E,D.E分别是分别是BC,ACBC,AC上的点上的点, ,且且AE=CDAE=CD,BE,BE和和ADAD相交于相交于P,BQAD, P,BQAD, 垂足是垂足是Q, (1)Q, (1)求求BPDBPD的度
15、数的度数 (2)(2)求证求证:BP=2PQ:BP=2PQACDBPEQ603.将不全等的两个等边三角形将不全等的两个等边三角形ABCABC和等边三角形和等边三角形DEFDEF任意摆放任意摆放,请你画出请你画出不少于不少于5种种的摆放示意图的摆放示意图,使得使得AE=CF,同时同时满足在重合的满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点一条直线上有且只有三个顶点(重合的顶点算一个重合的顶点算一个),并说明理由并说明理由.ABCEFABECFABCFE 矩形矩形ABCD中中,AB=6,BC=8,先把它对折先把它对折,折痕为折痕为EF展开后再折成如图所示展开后再折成如图所示,使点使点A落在落在EF上的点上的点A处处,求第二次折痕求第二次折痕BG的长的长.ABCEDGAF34BG365.已知正方形已知正方形ABCD中中,M是是AB的中点的中点,E是是AB延长延长线上的一点线上的一点,MNDM,DM,且交且交CBECBE的平分线于的平分线于N, N, (1)(1)求证求证:MD=MN:MD=MN(2)若将上述条件中的若将上述条件中的“M是是AB的中点的中点”改为改为“M是是AB上的上的任意一点任意一点”，其它条件不变，则结论，其它条件不变，则结论“MD=MN”MD=MN”还成立吗？还成立吗？如果成立请证明；若不成立请说明理由如果成立请证明；若不成立请说明理由ADCNEBMADCNEBM.HH.