二次根式的概念公开课获奖教案.pdf

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1、16161 1二次根式二次根式第第 1 1 课时课时二次根式的概念二次根式的概念(10) （ab）2(ab0)要判断一个根式是不是二次根解析：式，一是看根指数是不是 2，二是看被开方数是不是非负数解：因为 11， （7）2，1，303x (x3) ，11 561能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)2能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质， 会求二次根式中被开方数中字母的取值范围(重点)（a1）2，（ab）2(ab0)中的根指数都是 2， 且被3开方数为非负数， 所以都是二次根式.13的2， 5， x(x0)， x25根指数不是的被开方数小于 0

2、，所以不是二次根式方法总结： 判断一个式子是不是二次根式， 要看所给的式子是否具备以下条件： (1)带二次根号 “”；(2)被开方数是非负数探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围求使下列式子有意义的 x 的取值范围(1)3xx51；(2)；(3).xx243x一、情境导入问题 1：你能用带有根号的式子填空吗？(1) 面 积 为 3 的 正 方 形 的 边 长 为_，面积为S 的正方形的边长为_(2)一个长方形围栏， 长是宽的 2 倍， 面积为 130m2，则它的宽为_m.(3)一个物体从高处自由落下， 落到地面所用的时间 t(单位： s)与落下的高度 h(

3、单位：m)满足关系 h5t2， 如果用含有 h 的式子表示 t，则 t_问题 2： 上面得到的式子 3， S， 65，h分别表示什么意义？它们有什么共同5特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1) 11；(2) 5；(3) （7）2；3(4)13；(5)11 ；(6) 3x(x3)；56（a1）2；解析： 根据二次根式的性质和分式的意义， 被开方数大于或等于 0 且分母不等于 0，列不等式(组)求解4解：(1)由题意得 43x0，解得 x .341当 x 时，有意义；343x3x0，(2)由题意得解得 x3 且x20，(7)x (x0) ；

4、(8)(9) x25；x2.当 x3 且 x2 时，3x有意义；x2(3)由题意得x50，解得 x5 且x0，x0.当 x5 且 x0 时，x5x有意义方法总结： 含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数； (2)如果所给式子中含有分母， 则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零【类型二】 利用二次根式的非负性求解(1)已知 a、 b 满足 2a8|b 3|0，解关于 x 的方程(a2)xb2a1；(2)已知 x、y 都是实数，且y x33x4，求 yx的平方根解析： (1)根据二次根

5、式的非负性和绝对值的非负性求解即可； (2)根据二次根式的非负性即可求得 x 的值，进而求得y 的值，进而可求出 yx的平方根解：(1)根据题意得2a80，b 30，解得a4，b 3.则(a2)xb2a1，即2x35，解得 x4；(2)根据题意得x30，x0，解得 x3.则3y4，故yx4364， 648，yx的平方根为8.方法总结： 二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为 0，这几个非负数都为 0.探究点三： 和二次根式有关的规律探究性问题先观察下列等式，再回答下列问题1111111222111112；1122132111122116；11321421111331112.(1)请你根

6、据上面三个等式提供的信息，写出1114252的结果；(2)请你按照上面各等式反映的规律， 试写出用含 n 的式子表示的等式(n 为正整数)解析： (1)从三个等式中可以发现， 等号右边第一个加数都是 1，第二个加数是个分数，设分母为 n，第三个分数的分母就是 n1，结果是一个带分数， 整数部分是 1，分数部分的分子也是 1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子解： (1)11421521114411120；(2)11111n2（n1）21nn111n（n1）(n 为正整数)方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系， 通过阅读找出题

7、目隐含条件并用关系式表示出来三、板书设计1二次根式的定义一般地，我们把形如 a(a0)的式子叫做二次根式2二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数； a有意义a0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要， 体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣17171 1勾股定理勾股定理第第 1 1 课时课时勾股定理勾股定理AB13cm， BC5cm， AC AB2BC212cm；1经历探索及验证勾股定理的过程，11(2)SABCCBAC 512 22体会数形结合的思想；

8、(重点)2掌握勾股定理，并运用它解决简单30(cm2)；的计算题；(重点)11(3)SABC ACBC CDAB，CD223了解利用拼图验证勾股定理的方法(难点)ACBC60cm.AB13方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边， 然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积， 然后根据一、情境导入面积相等得出一个方程，再解这个方程即可【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用在ABC 中，AB15，AC13，如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、 姿态BC 边上的高 AD12，试求ABC 的周长优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它解析： 本题应分ABC 为锐角三角形和由若干个图形组成

9、， 而每个图形的基本元素钝角三角形两种情况进行讨论是三个正方形和一个直角三角形 各组图形解：此题应分两种情况说明：大小不一，但形状一致，结构奇巧你能说(1)当ABC 为锐角三角形时，如图说其中的奥秘吗？所示在 RtABD 中，BD AB2AD2二、合作探究152122 9. 在 RtACD 中 ， CD 探究点一：勾股定理AC2AD21321225，BC59【类型一】 直接运用勾股定理14，ABC 的周长为 15131442；如图， 在ABC 中， ACB90，AB13cm，BC5cm，CDAB 于 D，求：(1)AC 的长；(2)SABC；(3)CD 的长解析：(1)由于在ABC 中，ACB

10、90，AB13cm，BC5cm，根据勾股定理即可求出 AC 的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出 SABC；(3)根据面积公式得到 CDABBCAC 即可求出 CD.解：(1)在ABC 中，ACB90，(2)当ABC 为钝角三角形时，如图所示在 RtABD 中，BD AB2AD2152122 9. 在 RtACD 中 ， CD AC2AD21321225，BC954，ABC 的周长为 1513432.当ABC 为锐角三角形时，ABC 的周长为 42；当ABC 为钝角三角形时，ABC的周长为 32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意【类型三

11、】 勾股定理的证明探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点 A 旋转 90得直角三角形 AED，所以BAE90，且四边形 ACFD 是一个正方形， 它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形 ABFE 的面积等于 RtBAE 和RtBFE 的面积之和 根据图示写出证明勾股定理的过程；方法 2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的 RtBEA 和 RtACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法 1：根据四边形 ABFE 面积等于 RtBAE 和 RtBFE 的面积之和进行解答；方法 2：根据ABC 和 RtACD 的面积之和等于 R

12、tABD 和BCD 的面积之和解答解： 方法1： S正方形ACFDS四边形ABFESBAESb211BFE，即2c22(ba)(ba)，整理得 2b2c2b2a2，a2b2c2；方法 2： 此图也可以看成 RtBEA 绕其直角顶点 E 顺时针旋转 90，再向下平移得到S四边形ABCDSABCSACD，S四边形ABCDSABDSBCD，SABCSACDSABDS即12b212ab12c21BCD，2a(ba)，整理得b2abc2a(ba)，b2abc2aba2，a2b2c2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形， 然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证

13、明勾股定理探究点二：勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D 的面积分别为 2，5，1，2.则最大的正方形 E 的面积是_解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形 A、B 的面积和为 S1，正方形 C、D的面积和为 S2，S1S2S3，即 S3251210.故答案为 10.方法总结：能够发现正方形 A、B、C、D 的边长正好是两个直角三角形的四条直角边， 根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D 的面积和即是最大正方形的面积三、板书设计1勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2b2c2.2勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”3勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性 让学生满怀激情地投入到学习中， 提高课堂效率勾股定理的验证既是本节课的重点， 也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动， 并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点