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1、有理数与无理数有理数与无理数知识讲解知识讲解【学习目标】【学习目标】1、 理解有理数的意义，知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念2、 会判断一个数是有理数还是无理数【要点梳理】【要点梳理】要点一、有理数要点一、有理数我们把能够写成分数形式m（m,n 是整数，n0）的数叫做有理数n要点诠释：要点诠释： （1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数（2）所有整数都可以写成分母是 1 的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数要点二、无理数要点二、无理数1 1定义：定义：无限不循环小数叫做无理数要点诠释：要点诠释： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限无理数的小数部分不循环，
2、不能表示成分数的形式（2）目前常见的无理数有两种形式： 含类看似循环而实质不循环的数，如：1.3131131112 2有理数与无理数的区别有理数与无理数的区别（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数（2）任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能要点三、循环小数化分数要点三、循环小数化分数1 1定义：定义：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数， 简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节2 2 纯循环小数纯循环小数0.2从小数点后面第一位起就开始循环的小数， 叫做纯循环小数
3、例如： 0 666、 纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9 的个数等于一个循环节的位数311897，0.18993999373 3 混循环小数混循环小数如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混例如0.3循环小数例如：0.12、03456456 混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差， 分母就是按一个循环节的位数写几个 9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0 组成的数918910123923635135353510013，0.239，0.3513
4、599011090025999009990037要点诠释：要点诠释： （1）任何一个循环小数都可化为分数（2）混循环小数化分数也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数例如0.918【典型例题】【典型例题】类型一、有理数类型一、有理数1下列说法正确的是（）A整数就是正整数和负整数 B分数包括正分数、负分数C正有理数和负有理数统称有理数 D无限小数叫做无理数【答案】B【解析】A 选项整数包括正整数、负整数和0；C 选项正有理数、负有理数和0 统称有理数；D 选项无限不循环小数才叫做无理数，所以选B【总结升华】 概念问题同学们往往忽略0 的存在而模糊分类的界限， 只有对定义达到真正的理解认识才不会出错
5、举一反三：举一反三：【变式 1】 下列说法： 一个有理数不是整数就是分数； 有理数包括正有理数和负有理数；分数可分为正分数和负分数； 存在最大的负整数； 不存在最小的正有理数 其中正确的个数是（）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【答案】C【变式 2】 （2015杭州模拟）是（）A整数 B有限小数 C无限循环小数 D无限不循环小数【答案】C2在实数，0，1.414，有理数有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【思路点拨】根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案【答案】D【解析】解：，0，1.414，是有理数，【总结升华】本题考查了有理数，有理数是有限小数或无限循环小数类型二、无理
6、数类型二、无理数3 （2016盐城）下列实数中，是无理数的为（）A4 B0.101001 C D【思路点拨】无理数就是无限不循环小数 理解无理数的概念， 一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称 即有限小数和无限循环小数是有理数， 而无限不循环小数是无理数由此即可判定选择项【答案】D【解析】解：A、4 是整数，是有理数，故本选项不符合题意；B、0.101001 是小数，属于分数，故本选项不符合题意；C、是小数，属于分数，故本选项不符合题意；D、是无理数，正确；故选 D【总结升华】 此题主要考查了无理数的定义， 其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方开不尽的数；以及像0.10
7、10010001，等有这样规律的数举一反三：举一反三：【变式】以下各正方形的边长是无理数的是（）A.面积为 25 的正方形； B.面积为 16 的正方形；C.面积为 8 的正方形； D.面积为 144 的正方形【答案】C4将下列各数填入相应的括号内221，2012，-0.233，-2，-，3020020002，0，-（-2）72整数集合：分数集合：负有理数集合：无理数集合：【答案与解析】整数集合：-2， 0，-（-2） ，2012分数集合：-221，-0.23721负有理数集合：-2，-，-0.232无理数集合：3，3020020002，【总结升华】 本题考查了对有理数的有关概念的理解和应用，
8、 关键是能区分有关定义， 注意：整数包括正整数、0、负整数；有理数包括正有理数、 0、负有理数；无理数是指无限不循环小数类型三、循环小数化分数类型三、循环小数化分数5把下列循环小数化分数【思路点拨】按循环小数化分数的规律方法化即可【答案与解析】（1）（2）（3）（4），所以【总结升华】循环小数化分数时，整数部分不动，在掌握两种化简规律的基础上把小数部分进行相应的化简即可举一反三：举一反三：【变式】在 6.4040、3.333、9505 三个数中，是循环小数，把这个数化为分数可以写作【答案】6.4040；64099【巩固练习】【巩固练习】一、选择题一、选择题1下列说法错误的是（）A负整数和负分数
9、统称负有理数B正整数，0，负整数统称为整数C正有理数与负有理数组成全体有理数D3.14 是小数，也是分数2 （2016 春文昌校级月考）下列说法：2.5 既是负数、分数，也是有理数；22 既是负数、整数，也是自然数；0 既不是正数，也不是负数，但是整数；0 是非负数其中正确的有（）A1 个 B2 个 C3 个D4 个30 这个数是(）A正数 B负数 C整数 D无理数4对于有理数 a，下列说法中正确的是（）Aa 表示正有理数 B-a 表示负有理数Ca 与-a 中，必有一个是负有理数 Daa 是非负数5下列说法正确的是（）A不循环小数是无理数B无限不循环小数是无理数C无理数大于有理数D两个无理数的
10、和还是无理数6把循环小数6.142化成分数是（）A61422327 B6 C6 D699999922545二、填空题二、填空题7和统称有理数8写出一个比-4 大的负无理数9已知 a 为有理数，b 为无理数，你们 a+b 为10.在1，0.2，3，0，0.3， 中，负分数有，整数有，3.14159，8，0.6，0，中11 （2016 春丰城市期末）在是无理数的个数有个120.2666化为分数是三、解答题三、解答题13.下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6 个数填入这两个圈中合适的位置28%，2014，3.14，（+5） ，0.14把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：-24，3，2.0
11、04，-0，-（-2.28），3.14正有理数集合：负有理数集合：整数集合：负分数集合：15 试验与探究我们知道101，1，-0.15，34，11写为小数即0.3，反之，无限循环小数0.3写成分数即一般33地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式现在就以0.7为例进行讨论：设0.7=x，由0.7=07777，可知，10 x-x=7，解方程得 x=成下列各题：77，于是得0.7=请仿照上述例题完99（1）请你把无限循环小数0.5写成分数，即0.5=（2）你能化无限循环小数0.73位分数吗？请仿照上述例子求之【答案与解析】【答案与解析】一、选择题一、选择题1【答案】C【解析】正有理数与 0，负有
12、理数组成全体有理数，C 错误2【答案】C【解析】解：2.5 既是负数、分数，也是有理数，正确；22 既是负数、整数，但不是自然数，错误；0 既不是正数，也不是负数，但是整数，正确；0 是非负数，正确；故选 C3. 【答案】C4【答案】D【解析】当 a0 是，a 表示负有理数， -a 表示正有理数，故 A、B 选项错误；当 a=0时，a 和-a 都不表示负有理数，故 C 选项错误；所以选 D5【答案】B【解析】无限小数也可能是有理数如 0.333，无理数大于有理数也不一定如果无理数是负数有理数是正数就不成立，两个无理数的和可能为0 如+（-）=06【答案】D【解析】6.142=6二、填空题二、填
13、空题7【答案】整数；分数8【答案】-（答案不唯一）9【答案】无理数【解析】如 3+3.333=3.33310.【答案】 ，0.3；1，3，011.【答案】3.【解析】解：是有理数，3.14159 是一个有限小数，是有理数，是无理数， 0.6 是有理数， 0 是有理数，是无理数，8=6 是有理数，是1421412832 6 6900900225是有理数，无理数故答案为：312.【答案】41526-2244=909015【解析】0.2666=三、解答题三、解答题13.【解析】14【解析】解：正有理数集合：3，2.004，11，-（-228），3.14 ，410负有理数集合：-2.4， -，-0.15，3整数集合：3， 0，负分数集合：-2.4， -10，-0.15，315【解析】解：（1）设0.5=y，由0.5=05555，可知，10y-y=5，解方程得 y=55，于是得0.5=9973（2）设0.73=y，由0.73=07373，可知，100y-y=73，解方程得 y=，9973于是得0.73=99