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1、专题八专题八二次函数压轴题二次函数压轴题类型二类型二面积问题面积问题2019.23(2)；2019.23(2)试题演练1 1.如图，抛物线 yax22axc(a0)与 y 轴交于点 C(0，4)，与 x 轴交于点 A、B，点 A 的坐标为(4，0)(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为 N，在 x 轴上找一点 K，使 CKKN 最小，并求出点 K 的坐标；(3)点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QDAC，交 BC 于点 D，连接 CQ.当CQD 的面积最大时，求点 Q 的坐标2.(20192.(2019 深圳深圳 9 9 分分) )如图，抛物线 yax2bx2 经过点 A(
2、1，0)，B(4，0)，交 y 轴于点 C.(1)求抛物线的解析式(用一般式表示)；2(2)点 D 为 y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 D，使 SABCSABD？若存在3请直接给出点 D 坐标；若不存在请说明理由；(3)将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转 45，与抛物线交于另一点 E，求 BE 的长第 2 题图3.(20193.(2019 泸州泸州 1212 分分) )如图，已知二次函数 yax2bxc(a0)的图象经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点(1)求该二次函数的解析式；(2)点 D 是该二次函数图象上的一点，且满足DBACAO(O 是坐标原点)，求点 D 的坐标；(3
3、)点 P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接 PA 分别交 BC，y第 1 页轴于点 E，F，若PEB，CEF 的面积分别为 S1，S2，求 S1S2的最大值第 3 题图4.(20194.(2019 濮阳模拟濮阳模拟) )如图，直线 yx4 与抛物线 yax2bxc 相交于 A，B两点，其中 A，B 两点的横坐标分别为1 和4，且抛物线过原点(1)求抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在点 C，使得 ACBC？若存在，求出点 C 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图，若点P 是线段 AB 上不与 A，B 重合的动点，过点P 作 PEOA，与抛物线第三象限的部分交于一点 E，过
4、点 E 作 EGx 轴于点 G，交 AB 于点 F，EF若 SBGF3SEFP，求的值GF第 4 题图答案试题演练1.1. 解解：(1)抛物线经过点 C(0，4)，A(4，0)，1a 解得2，c 412x x4；29(2)由(1)可求得抛物线顶点为 N(1，)，2抛物线解析式为 y如解图，作点 C 关于 x 轴的对称点 C(0，4)，连接 CN 交 x 轴于点 K，则 K 点即为所求，9k b 设直线 CN 的解析式为 ykxb，把 C、N 点坐标代入可得2，解b 417k 得2，b 4第 2 页直线 CN 的解析式为 y17x4，28，178点 K 的坐标为(，0)；17令 y0，解得 x第
5、 1 题解图(3)设点 Q(m，0)，过点 D 作 DGx 轴于点 G，如解图，1由x2x40，得 x12，x24，2点 B 的坐标为(2，0)，AB6，BQm2，又QDAC，BQDBAC，DGBQDGm22m4，即，解得 DG；COBA463112m41SCQDSCBQSDBQ(CODG)BQ(4)(m2)m22233281m(m1)23.333又2m4，当 m1 时，SCQD有最大值 3，此时 Q(1，0)第 1 题解图2.2. 解解：(1)将点 A(1，0)，B(4，0)代入 yax2bx2 中，得1a ab2 02，解得，316a4b2 0b 2抛物线的解析式为 y123x x2；22
6、第 3 页(2)存在，点 D 的坐标为(1，3)或(2，3)或(5，3)【解法提示】如解图，过点 D 作 DEAB 于点 E.第 2 题解图1313设 D(m，m2m2)(m0)，则 DE|m2m2|.2222A(1，0)，B(4，0)，AB5.抛物线交 y 轴于点 C，令 x0，有 y2，C(0，2)，OC2.OCAB，1SABCABOC5，22又SABCSABD，3115SABDABDE，2213DE|m2m2|3，2213当m2m23 时，解得 m11，m22；2213当m2m23 时，解得 m32(舍去)，m45.22综上所述，点 D 的坐标为(1，3)或(2，3)或(5，3)；(3)
7、如解图，过点 C 作 CFBC 交 BE 于点 F，过点 F 作 FHy 轴于点 H，过点 E 作 EGx 轴于点 G.第 2 题解图CFBC，CBF45，BCF 是等腰直角三角形，且BCCF，第 4 页OCBFCH90，又FHy 轴，CFHFCH90，CHFBOC90，OCBCFH，BOCCHF(AAS)，又B(4，0)，C(0，2)，CHOB4，FHOC2，OH6，F(2，6)设 BE 的解析式为 ykxc，将 B(4，0)，F(2，6)代入 ykxc，得4k c 0k 3，解得，2k c 6c 12BE 的解析式为 y3x12.联立抛物线和直线 BE 的解析式，得x1 4x2 5解得(舍
8、去)，y1 0y2 3E(5，3)，EGx 轴，BG1，EG3，在 RtBEG 中，BEBG2 EG2 10.3.3. 解解：(1)由题意，设抛物线的解析式为 ya(x1)(x4)，抛物线图象过点 C(0，2)，14a2，解得 a，21抛物线的解析式为 y (x1)(x4),2第 5 页即 y123x x2；22(2)设直线 BD 与 y 轴的交点为 M(0，m)DBACAO，MBACAO，tanMBAtanCAO2，m 2，即 m8.4当 m8 时，直线 BD 解析式为 y2x8.y 2x8联立，123y x x222x1 4x23解得(舍去),，y1 0y2 2D1(3，2)当 m8 时，
9、直线 BD 解析式为 y2x8.y 2x8联立123y x x222x1 4x2 5解得：(舍去)，y 0y 1812D2(5，18)；综上，满足条件的点 D 的坐标为 D1(3，2)，D2(5，18).13(3)如解图，过点 P 作 PHy 轴交直线 BC 于点 H，设 P(t，t2t2)，22第 3 题解图直线 BC 的解析式为 yH(t，1x2,21t2)，21PHyPyHt22t；2第 6 页设直线 AP 的解析式为 yk(x1)，131t2t 2(t 1)(t 4)y122 t 2，kP2xP1t 1t 121直线 AP 的解析式为 y(t2)(x1)，21令 x0 得 y2t.21
10、11故 F(0，2t)，CF2(2t)t.222ty (2)(x1)2联立，y 1x22解得 xEt；5t111tS1(yPyH)(xBxE)(t22t)(4)；2225t1ttS2.225t11t1ttS1S2(t22t)(4)，225t225t55816即 S1S2t24t (t)2.4455816当 t时，S1S2有最大值，最大值为.554.4. 解解：(1)A，B 两点在直线 yx4 上，且横坐标分别为1、4，A (1，3)，B(4，0)，抛物线过原点，c0，a 13 ab把 A、B 两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，b 40 16a4b抛物线解析式为 yx24x；(2)当 ACBC
11、 时，如解图，则点 C 在线段 AB 的垂直平分线与坐标轴的交点处，第 7 页第 4 题解图A (1，3)，B(4，0)，53线段 AB 的中点坐标 H 为(，)，22A(1，3)，B(4，0)，ABO45，BC1H45，C2C1O45，设线段 AB 的垂直平分线的解析式为 yxd，35d，解得 d1，22线段 AB 的垂直平分线的解析式为 yx1，令 x0 可得 y1，令 y0 可求得 x1，C (1，0)或(0，1)；综上可知，存在满足条件的点 C，其坐标为(1，0)或(0，1)；(3)如解图，过点 P 作 PQEF，交 EF 于点 Q，过点 A 作 ADx 轴于点 D，第 4 题解图PEOA，GEAD，OADPEG，PQEODA90，PQEODA，EQAD，即 EQ3PQ，PQOD直线 AB 的解析式为 yx4，ABO45PFQFPQ，PQFQ，EF4PQ，SBGF3SEFP，第 8 页11GF234PQ2，22GF23PQ，第 9 页