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1、专题 02函数的概念与基本初等函数 Ia log20.2，b 20.2，c 0.20.3，则1【2019 年高考全国卷理数】已知Aa bcCc a b【答案】B【解析】a log20.2 log21 0, b 20.2Ba c bDbc a 201,0 c 0.20.3 0.201,即0 c 1,则a c b故选 B【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小2【2019 年高考天津理数】已知a log52，b log0.50.2，c 0.50.2，则a,b,c的大小关系为Aa c bCbc a【答案】A【解析】因为a
2、log52 log55 Ba bcDc a b1，2b log0.50.2 log0.50.25 2，0.51 c 0.50.2 0.50，即所以a c b.故选 A.1 c 1，2【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较.3【2019 年高考全国卷理数】若ab，则Aln(ab)0Ca3b30【答案】C【解析】取a 2,b 1，满足a b，但ln(a b) 0，则 A 错，排除 A；B3ab由9 32313，知 B 错，排除 B；取a 1,b 2，满足a b，但|1|2|，则 D错，排除 D；因为幂函数y x是增函数，a b，所以a3b3，即a3b30，C
3、正确.故选 C【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断4【2019 年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度描述两颗星的星等与亮度满足 m2m1=35E1lg，其中星等为m 的星的亮度为 E（=1，2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等2E2是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A1010.1Clg10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足m2m1令m2 1.45,m1 26.7，则lgB10.1D1010.15E1lg，2E2E122m2m1(1.4526.7) 10
4、.1,E255E11010.1.从而E2故选 A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识信息处理能力阅读理解能力以及对数的运算.5【2019 年高考全国卷理数】函数f()=sinx x,的图像大致为2在cosx xABCD【答案】D【解析】 由f (x) sin(x)(x)sin x x f (x)， 得f (x)是奇函数， 其图象关于原点对称cos(x)(x)2cosx x22421,f () 0，可知应为 D 选项中的图象又f ( ) 22221( )21故选 D【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取性质法和赋值法，利用数
5、形结合思想解题2x36【2019 年高考全国卷理数】函数y x在6,6的图像大致为x2 2ABCD【答案】B2(x)32x32x3【解析】设y f (x) x，则f (x) x x f (x)，所以f (x)是奇函数，图xxx222 22 2象关于原点成中心对称，排除选项C243又f (4) 4 0,排除选项 D；42 2263f (6) 6 7，排除选项 A，62 2故选 B【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，排除错误选项，通过计算特殊函数值，作出选择本题注重基础知识、基本计算能力的考查7【2019 年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数y 11y log (x)(a0，且 a1)的图象可能
6、是，aax2【答案】Dx【解析】 当0a1时， 函数y a的图象过定点(0,1)且单调递减， 则函数y 1的图象过定点(0,1)xa且单调递增，函数y logax1 1( ,0)且单调递减，D选项符合；的图象过定点22x当a 1时， 函数y a的图象过定点(0,1)且单调递增， 则函数y 1的图象过定点(0,1)且单调递减，xa函数y logax综上，选 D.1 1( ,0）的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.22【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a的不同取值范围，认识函数的单调性.8【2019 年高考全国卷理数】2019
7、 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星 “鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行L2点是平衡点， 位于地月连线的延长线上 设地球质量为 M， 月球质量为 M， 地月距离为 R，M1M2M1 (Rr)L2点到月球的距离为 r，r 满足方程：.根据牛顿运动定律和万有引力定律，(Rr)2r2R333345r3 3设，由于的值很小，因此在近似计算中，则 r 的近似值为2(1)RAM2RM13M2RM1BM2R2M1M2R3M1
8、C3D3【答案】D【解析】由r，得r R，R因为M1M2M1 (Rr)，(Rr)2r2R3M1M2M1 (1)，R2(1)22R2R2所以M215343323(1)3即，22M1(1)(1)解得3M2，3M13所以r R 故选 D.M2R.3M1【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形易出错9【2019 年高考全国卷理数】设fx是定义域为 R 的偶函数，且在0,+单调递减，则231Af（log3）f（22）f（23）4231Bf（log3）f（23）f（22）4231Cf（22）f（23）f（log3）42313ffD（2）（22
9、）f（log3）4【答案】C【解析】Q fx是定义域为R R的偶函数， f (log3) f (log34)23322314Q log34 log33 1,1 2 20 2,log34 2 2，32又fx在(0，+)上单调递减，233f (log34) f2 f22，231即f22 f23 flog3.4故选 C【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案10 【2017 年高考山东理数】 设函数y A（1,2）C（-2,1）【答案】D【解析】由4 x2 0得2 x2，由1x 0得x1，故AI B x | 2
10、 x 2I x| x 1x| 2 x 1.选 D.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应把集合先化简再计算，常借助数轴或韦恩图进行求解 .函数y ln(1 x)的定义域为B,则A I B=4 x2的定义域为A，B(1,2D-2,1)exex11【2018 年高考全国卷理数】函数fx的图像大致为2x【答案】Bexex fx, fx为奇函数，舍去 A；【解析】Q x 0, fx2xQ f1 ee1 0，舍去 D；eQ f xxexx2 exex2xx4x2exx2ex,x3x 2时，f x 0，f (x)单调递增，舍去 C.因此选 B.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路： （1
11、）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的周期性.12【2018 年高考全国卷理数】函数y x x 2的图像大致为42【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除 A，B；令y f (x) x x 2，则f (x) 4x 2x 2x(2x 1)，由f (x) 0得2x(2x 1) 0，得x 2423222或0 x ，此时函数单调递增，222由f (x) 0得2x(2x 1) 0，得x 22 x 0，此时函数单调递减，排除C.或22故选 D.【
12、名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.13【2018 年高考浙江】函数 y=2sin2 的图象可能是xABCD【答案】D【 解析 】令fx 2 sin2x， 因为xR , fx 2xxxsin2x 2 sin2x fx， 所 以fx 2 sin2x为奇函数，排除选项 A,B;x因为x故选 D,时，fx0，所以排除选项 C，2【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在别问题的常见题型及解题思路：,上的符号，即可判断选择.有关函数图象的识2（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由
13、函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性14 【2018 年高考全国卷理数】 设函数fx x a1x ax， 若fx为奇函数， 则曲线y fx32在点0,0处的切线方程为Ay 2xCy 2x【答案】D【解析】因为函数fx是奇函数，所以a10，解得a 1，所以fx x x，f x3x 1，32By xDy x所以f 01, f00，所以曲线y fx在点0,0处的切线方程为y f0 f 0 x，化简可得y x，故选 D【名师点睛】该题考查的是函数的奇偶性以及有关曲线y fx在某个点x0, fx0处的切线方程的问题，在求解的过程
14、中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论：多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f x，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.15 【2018 年高考全国卷理数】 已知fx是定义域为,的奇函数， 满足f1x f1 x 若f1 2，则f1 f2 f3L f50A50C2【答案】CB0D50【解析】因为fx是定义域为,的奇函数，且f1x f1 x，所以f1 x fx1， f3 x fx1 fx1， T 4,因此f1 f2 f3L f5012f1 f2 f3 f4 f1 f2，因为f3 f1，f4 f2，所以f1 f2 f3
15、f40，因为f2 f00，从而f1 f2 f3L f50 f1 2.故选 C【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解16【2018 年高考天津理数】已知a log2e，b ln2，c log121，则 a，b，c 的大小关系为3Aa b cCc b a【答案】DBb a cDc a b【解析】由题意结合对数函数的性质可知：a log2e 1，b ln2 10,1，log2ec log121 log23 log2e，3据
16、此可得：c a b.本题选择 D 选项.【名师点睛】由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.对于对数的大小的比较，我们通常都是运用对数函数的单调性，但很多时候，因对数的底数或真数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法在进行对数的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据对数函数的单调性进行判断对于不同底而同真数的对数的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确17【2018 年高考全国卷理数】设a log0.20.3，b log20.3，则Aab ab0Cab0 abBab ab0Dab0 ab【答案】B11 log0.30.2, lo
17、g0.32，ab1111a b log0.30.4，0 1,即0 1，ababab【解析】Q a log0.20.3,b log20.3，又Q a 0,b 0，ab0，ab ab0.故选 B【名师点睛】本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题.18【2017 年高考北京理数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与（参考数据：lg30.48）A1033C1073【答案】DB1053D1093MN最接近的是M33613361【解析】设 x 80，两边取对数，lgx lg80 lg3361lg1080 361l
18、g3 80 93.28，N1010所以x 1093.28，即故选 D【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，M最接近1093.N3361以及指数与对数运算的关系，难点是令x 80，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包10含logaM logaN logaMN，logaM logaN logaMn，logaM nlogaM.N19【2017 年高考全国卷理数】设、y、为正数，且2x 3y 5z，则A23y5C3y52【答案】Dxyz【解析】令2 3 5 k(k 1)，则x log2k，y log3k，z log5kB523yD3y252x
19、2lg klg3lg91，则2x 3y，3ylg23lg klg82x2lg klg5lg251，则2x5z.5zlg25lg klg32故选 D【名师点睛】 对于连等问题， 常规的方法是令该连等为同一个常数， 再用这个常数表示出对应的x, y,z，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0 与1 的对数表示.20【2017 年高考浙江】若函数f()=2+ a+b 在区间0，1上的最大值是 M，最小值是 m，则 M mA与 a 有关，且与 b 有关C与 a 无关，且与 b 无关【答案】BB与 a 有关，但与 b 无关D与 a 无关，但与 b 有关a
20、a2【解析】因为最值在f (0) b, f (1)1a b, f ( ) b中取，所以最值之差一定与b无关.24故选 B【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值21【2017 年高考全国卷理数】函数f (x)在(,)单调递减，且为奇函数若f (1) 1，则满足1 f (x2) 1的x的取值范围是A2,2C0,4【答案】D
21、【解析】因为f (x)为奇函数且在(,)单调递减， 要使1 f (x) 1成立，则x满足1 x1，从而由1 x21得1 x3，即满足1 f (x2) 1的x的取值范围为1,3.故选 D.B1,1D1,3【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若f (x)在 R R 上为单调递增的奇函数，且f (x1) f (x2) 0，则x1 x2 0，反之亦成立.xx22【2017 年高考北京理数】已知函数f (x) 3 ( )，则f (x)13A是奇函数，且在R R 上是增函数C是奇函数，且在R R 上是减函数【答案】AB是偶函数，且在R R 上是
22、增函数D是偶函数，且在R R 上是减函数1【解析】fx 33xxx1x3x fx，所以该函数是奇函数，并且y 3是增函数，3x1y 是减函数，根据增函数减函数=增函数，可知该函数是增函数.3故选 A.【名师点睛】本题属于基础题型，根据fx与fx的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数 +增函数=增函数，增函数减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.23【2017 年高考天津理数】已知奇函数f (x)在 R R 上是增函数，g(x) xf (x
23、)若a g(log25.1)，b g(20.8)，c g(3)，则 a，b，c 的大小关系为Aa b cCb a c【答案】C【解析】因为f (x)是奇函数且在R R上是增函数，所以当x 0时，f (x) 0，从而g(x) xf (x)是R R上的偶函数，且在0,)上是增函数，Bc b aDb c aa g(log25.1) g(log25.1)，20.8 2，又45.18，则2 log25.1 3，所以0 20.8 log25.1 3，g(20.8) g(log25.1) g(3)，所以b a c.故选C【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，
24、借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式24【2017 年高考山东理数】已知当x0,1时，函数y (mx1)2的图象与y 一个交点，则正实数m的取值范围是A(0,1U2 3,)C(0,2U2 3,)【答案】B2(m1) ,1【解析】 当0 m 1时，1，y (mx1)在x0,1时单调递减， 且y (mx1) ，mx m的图象有且只有B(0,1U3,)D(0,2U3,)122y x m在x0,1时单调递增，且y x mm,1m，此时有且仅有一个交点；当m 1时，01 11，y (mx1)2在,1上
25、单调递增，所以要有且仅有一个交点，需mm(m1)21 m m 3.故选 B.【名师点睛】已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；（3） 数形结合法： 先对解析式变形， 在同一平面直角坐标系中， 画出函数的图象， 然后数形结合求解25【2017 年高考山东理数】若a b 0，且ab1，则下列不等式成立的是Aa1blog2abb2a1b log2abab2Bb1logab a22ab1bab2CaDlog2ab a【答案】B【解析】因为a b
26、0，且ab1，所以a 1,0b 1,所以b1,log2(ab) log22 ab 1，a21b2a a11 ab a log2(ab)，bb所以选 B.【名师点睛】比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.26【2019 年高考全国卷理数】设函数f (x)的定义域为 R ，满足f (x1) 2 f (x)，且当x(0,1时，8f (x) x(x1)若对任意x(,m，都有f (x) ，则 m 的取值范围是997A,B,
27、43C,25D,38【答案】B【解析】f (x1) 2 f (x)， f (x) 2 f (x 1)x(0,1时，f (x) x(x 1),0；x(1,2时，x1(0,1，f (x) 2 f (x 1) 2(x 1)(x 2)141,0；2x(2,3时，x1(1,2，f (x) 2f (x1) 4(x2)(x3)1,0，如图：878当x(2,3时，由4(x2)(x3) 解得x1，x2，93378若对任意x(,m，都有f (x) ，则m .937,m.则的取值范围是3故选 B.【名师点睛】本题考查了函数与方程，二次函数.解题的关键是能够得到x(2,3时函数的解析式，8并求出函数值为时对应的自变量
28、的值.9x,x 027【2019 年高考浙江】 已知a,bR， 函数f (x) 131 若函数y f (x)axb2x (a1)x ax,x 023恰有 3 个零点，则Aa1，b1，b0【答案】C【解析】当0 时，yf（）abab（1a）b0，得=1，则 yf（）ab 最多有一个零点；当0 时，yf（）ab=133Ba0Da1，b0（a+1）2+aab=21133（a+1）2b，21y x2(a 1)x，当 a+10，即 a1 时，y0，yf（）ab 在0，+）上单调递增，则 yf（）ab 最多有一个零点，不合题意；当 a+10，即 a1 时，令 y0 得(a+1，+） ，此时函数单调递增，令
29、 y0 得0，a+1） ，此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.根据题意，函数 yf（）ab 恰有 3 个零点函数 yf（）ab 在（，0）上有一个零点，在0，+）上有 2 个零点，如图：b 010 且1，132(a1) a1 (a1) b 023解得 b0，1a0，b6（a+1）3，则 a1，bf（0）对任意的（0，2都成立，则 f（）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_【答案】f (x) (x)（答案不唯一）322【解析】对于f (x) (x)，其图象的对称轴为x 3223，2则 f（）f（0）对任意的（0，2都成立，但 f（）在0，2上不是单调函数.【名师点睛】解题本题需掌握
30、充分必要条件和函数的性质，举出反例即可.42 【 2018 年 高 考 江 苏 】 函 数fx满 足fx4 fxxR， 且 在 区 间2,2上 ，xcos,0 x 2,2fx则ff15的值为_1x,2 x 0,2【答案】22【解析】由fx4 fx得函数fx的周期为 4，所以f15 f161 f1 111,22因此f1 cosf15 f242.2【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现ffa的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值， 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上， 然后求出相应自变量的值，切记代入检验
31、，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.43【2017 年高考江苏】某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是【答案】30【解析】总费用为4x当且仅当x 6009006 4(x) 42 900 240，xx900，即x 30时等号成立x【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误44【2018 年高考江苏】若函数在
32、有且只有一个零点，则在1,1 上的最大值与最小值的和为_【答案】3【解析】由f x 6x22ax 0得x 0或x a，3a 0,3 a f 0，3因为函数fx在0,上有且仅有一个零点且f0=1，所以32 a a 因此2a1 0,解得a 3.33从而函数fx在1,0上单调递增，在0,1上单调递减，所以fxmax f0,fxmin minf1, f1 f1，则fxmax fxmin f0+f114 3.故答案为3.【名师点睛】对于函数零点的个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数的取值条件从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函
33、数的单调性、周期性等x4,x 45【2018 年高考浙江】已知 R ，函数 f()=2，当 =2 时，不等式 f()0 的解集是x 4x3,x _若函数 f()恰有 2 个零点，则 的取值范围是_【答案】(1,4)；1,3 U4,x 2x 2【解析】由题意得或2，所以2 x4或1 x2，即1 x4，故不等式x4 0 x 4x3 0f ()0.若,1 x 2 2在区间(0，9上，关于的方程f (x) g(x)有 8 个不同的实数根，则的取值范围是.12【答案】,34【解析】作出函数f (x)，g(x)的图象，如图：由图可知，函数f (x) 1(x1)2的图象与g(x) 1(1 x 2,3 x 4
34、,5 x 6,7 x 8)的2图象仅有 2 个交点，即在区间(0，9上，关于的方程f (x) g(x)有 2 个不同的实数根，要使关于x的方程f (x) g(x)有 8 个不同的实数根，则f (x) 1(x1)2,x(0,2与g(x) k(x2),x(0,1的图象有 2 个不同的交点，由(1,0)到直线kx y2k 0的距离为 1，可得|3k |1，解得k 2(k 0)，k2141两点(2,0),(1,1)连线的斜率k ，312 k ，3412综上可知，满足f (x) g(x)在(0,9上有 8个不同的实数根的的取值范围为，.34【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程
35、，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数f (x)，g(x)的图象，数形结合求解是解题的关键因素.2x 2axa, x 0,47 【2018 年高考天津理数】已知a 0，函数fx2若关于x的方程fx axx 2ax2a,x 0.恰有 2 个互异的实数解，则a的取值范围是_.【答案】4， 8【解析】分类讨论：当x 0时，方程fx ax即x2 2ax a ax，整理可得：x ax1，很明显x 1不是方2x2程的实数解，则a ；x1当x 0时，方程fx ax即x2 2ax 2a ax，整理可得：x ax2，很明显x 2不是2x2方程的实数解，则a .x2x2,x 0 x
36、21x24x1 x12 x24，则原问题令gx，其中，2x1x1x2x2x,x 0 x2等价于函数gx与函数y a有两个不同的交点， 求a的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数gx的图象， 同时绘制函数y a的图象如图所示， 考查临界条件， 结合a 0观察可得，实数a的取值范围是4,8.【名师点睛】本题的核心是考查函数的零点问题，由题意分类讨论x 0和x 0两种情况，然后绘制函数图象，数形结合即可求得最终结果.函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令 f()0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且
37、 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.48【2017 年高考浙江】已知aR R，函数f (x) | x围是_【答案】(, 4a|a在区间1，4上的最大值是 5，则的取值范x92【解析】x1,4,x44,5，分类讨论：x44a 2a x，xx9，舍去；2当a 5时，fx a x函数的最大值为2a4 5,a 当a 4时，fx x44aa x 5，此时命题成立；xx当4 a 5时，fxmax max 4a a, 5a a，则：
38、994a a 5a a4a a 5a aa a 或，解得或224a a 55a a 5综上可得，实数a的取值范围是,29【名师点睛】本题利用基本不等式，由x1,4，得x44,5，通过对解析式中绝对值符号的处x理，进行有效的分类讨论：a 5；a 4；4 a 5，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论49【2017 年高考江苏】已知函数f (x) x 2xe 3x1，其中 e 是自然对数的底数若f (a1)xef (2a2) 0，则实数a的取值范围是【答案】1, 【解析】因为f (x) x 2x3121ex f (x)，所以函数f (x)是奇函数，xe因
39、为f (x) 3x22exex3x222 exex 0，所以数f (x)在R R上单调递增，又f (a1) f (2a ) 0，即f (2a ) f (1a)，22所以2a21a，即2a2 a 1 0，解得1 a 1，212故实数a的取值范围为1, 【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为f (g(x) f (h(x)的形式，然后根据函数f (x)的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在函数f (x)的定义域内50 【2017 年高考全国卷理数】设函数f (x) 是_.【答案】x1，x 01，则满足f (x) f (x) 1的的取
40、值范围x22 ，x 01,41 ，21 3 2x；22【解析】令gx fx fx 当x 0时，gx fx fx当0 x 1时，gx fx21 1fx 2x x；22当x 1时，gx fx21 fx22 2 2x1，32x,x 02111写成分段函数的形式：gx fx fx2x x,0 x ，2221x12 2 2,x 2函数gx在区间,0,0,三段区间内均单调递增，22且g1 1 11 01,2 01,422 2 2011，可知的取值范围是1,.4【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求
41、值.（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.x2, xD,51【2017 年高考江苏】设f (x)是定义在R R上且周期为 1 的函数，在区间0,1)上，f (x) x,xD,其中集合D x x 【答案】8【解析】由于f (x)0,1)，则需考虑1 x10的情况，在此范围内，xQ Q且xD时，设x n1，nN N*，则方程f (x)lgx 0的解的个数是_nq, p,qN N*, p 2，且p,q互质，pn,m,nN N*,m 2，且m,n互质，m若lg xQ Q，则由
42、lg x(0,1)，可设lgx 因此10nmqmqn，则10 ()，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg xQ Q，pp因此lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期xD的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD的部分，且x 1处(lg x) 111，则在x 1附近仅有一个交点，xln10ln10因此方程f (x)lgx 0的解的个数为 8【名师点睛】 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题， 可利用函数的值域或最值， 结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图
43、象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等52【2017 年高考山东理数】若函数e f (x)（e 2.71828L是自然对数的底数）在f (x)的定义域上单调递增，则称函数f (x)具有 M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为.f (x) 2【答案】【解析】exf (x) ex2x ( )x在 R R 上单调递增，故f (x) 2具有性质；exf (x) ex3x ( )x在 R R 上单调递减，故f (x) 3不具有性质；x3e f (x) e x，令g(x) e x，则g(x) e x 3e x x e (x3)，当x 3时，xx3x3x22x
44、xxf (x) 3xf (x) x3f (x) x 22e2xe3xg(x) 0，当x3时，g(x) 0，exf (x) exx3在(,3)上单调递减，在(3,)上单调递增，故f (x) x不具有性质；e f (x) e (x 2)，令g(x) e (x 2)，则g(x) e (x 2)2xe e (x1) 1 0，则xx2x2x2xx23exf (x) ex(x22)在 R R 上单调递增，故f (x) x22具有性质【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向，它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可