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1、1、正弦定理：、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（其中：（其中：R为为ABC的外接圆半径）的外接圆半径）3、正弦定理的变形：、正弦定理的变形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2RcCRbBRaA2sin,2sin,2sincbaCBA:sin:sin:sin2、三角形面积公式：、三角形面积公式：CabBcaAbcSABCsin21sin21sin21 2sinsinsinabcRABC 复习回顾复习回顾CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222 变形变形abcbaCcabacBbcacbA2cos2cos2cos222222222 余
2、弦定理：余弦定理：在在 中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：经常用到，要记熟并灵活地加以运用：ABC; CBACBACBAcos)cos(,sin)sin( 2sin2cos,2cos2sinCBACBA 高度高度角度角度距离距离有关三角形计算有关三角形计算经纬仪，测量水平角和竖直角的经纬仪，测量水平角和竖直角的仪器仪器。是根据测角原理设计的。目前最常用是根据测角原理设计的。目前最常用的是的是光学经纬仪光学经纬仪。光学经纬仪光学经纬仪:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在(1)测量距离.(2)测量高度
3、.)3( 测量角度:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在(1)测量距离.实例讲解实例讲解例1:如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m， BAC=51，ACB=75.求A、B两点的距离(精确到0.1m).分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？个定理比较适当？问题问题4：
4、运用该定理解题还需要那些边和：运用该定理解题还需要那些边和角呢？角呢？解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得ABCACACBABsinsin)(7 .6554sin75sin55)7551180sin(75sin55sinsin55sinsinmABCACBABCACBACAB答：答：A,B两点间的距离为两点间的距离为65.7米。米。例例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。设计一种测量两点间的距离的方法。分析：分析：用例用例1的方法，可以计算出河的的方法，可以计算出河的这一岸的一点这一岸的一点C到对岸两点的距离，再到对岸两点的
5、距离，再测出测出BCA的大小，借助于余弦定理的大小，借助于余弦定理可以计算出可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并并且在且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在ADC和和BDC中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得)sin()sin()(180sin)sin(aaAC)sin(sin)(180sinsinaaBC计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在ABC中，应用余弦定理计中，应用余弦定理计算出算出AB两点间的距离两点间的距离cos222BCACBCACA
6、B思考思考? ?如何测量地球与月亮之间如何测量地球与月亮之间的距离的距离?AB 背景背景资料资料早在早在1671年年,两位法国天文学家为了测量地两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角午线的柏林与好望角,测量计算出测量计算出,的大小的大小和两地之间的距离和两地之间的距离,从而算出了地球与月球从而算出了地球与月球之间的距离约为之间的距离约为385400km.练习练习1.一艘船以一艘船以32.2n mile / hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的的方向，方向，
7、30min后航行到后航行到B处，在处，在B处看灯塔处看灯塔在船的北偏东在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？艘船可以继续沿正北方向航行吗？11545sin2016.1sin207.787()sin45sin45,sin657.06()6.5ASBSBASABSBn mileSABhhSBn milehn mile 解：在中，由正弦定理得设点 到直线的距离为则此船可以继续沿正北方向航行答：此船可以继续沿正北方向航行练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计
8、算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？ 在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB练习练习2自
9、动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夹角夹角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：顶杆答：顶杆BCBC
10、约长约长1.89m。 CAB22222 2cos 1.951.402 1.95 1.40 cos66 20 3.571 1.89(m)BCABACAB ACABC :多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在(2)测量高度.例例3 AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑物为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能直角三角形的知识，只要能测出一点测出一点C到
11、建筑物的顶部到建筑物的顶部A的距离的距离CA,并测出由点并测出由点C观察观察A的仰角，就可以计算的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出法借助解三角形的知识测出CA的长的长。.,1的方法物高度设计一种测量建筑为建筑物的最高点不可到达的一个建筑物是底部、例ABABABBEAHGDC)sin(sinaAChahAChAEAB)sin(sinsinsin解：选择一条水平基线解：选择一条水平基线HG,使使H,G,B三点在同一条直线上。由三点在同一条直线上。由在在H,G两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A的的仰角分别是仰角分别是，CD=a,测角仪测角仪
12、器的高是器的高是h.那么，在那么，在ACD中，中，根据正弦定理可得根据正弦定理可得例例3 AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑物为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法例例4 在山顶铁塔上在山顶铁塔上B处测得地面上处测得地面上一点一点A的俯角的俯角5440，在塔底，在塔底C处测得处测得A处的俯角处的俯角501。已知铁塔已知铁塔BC部分的高为部分的高为27.3m，求出山高求出山高CD(精确到精确到1m)分析：根据已知条件，应该设分析：根据已知条件，应该设法计算出法计算出AB或或AC的长的长解：在解：在ABC中，中，
13、BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，根据正弦定理，)90sin()sin(ABBC)(177)1504054sin(4054sin150cos3 .27)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度约为答：山的高度约为150米。米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得处时测得公路南侧远处一山顶公路南侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5k
14、m后到后到达达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山，求此山的高度的高度CD.分析：要测出高分析：要测出高CD,只要只要测出高所在的直角三角形测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以长。根据已知条件，可以计算出计算出BC的长。的长。例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得处时测得公路南侧远处一山顶公路南侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到后到达达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，
15、仰角的方向上，仰角8，求此山，求此山的高度的高度CD.解：在解：在ABC中，中，A=15, C=25-15=10.根据正弦定理，根据正弦定理，CABABCsinsin).(4524. 710sin15sin5sinsinkmCAABBCCD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度约为答：山的高度约为1047米。米。:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在.)3( 测量角度).01. 0,1 . 0(,.0 .5432,5 .6775,. 6000nmileCACnmileBBnmileA确到距离精角度精确到需要航行多少距离航行此船应该沿怎样的方向出发到达航行直接从如果下次后到
16、达海岛的方向航行东沿北偏出发然后从后到达海岛航行的方向沿北偏东出发一艘海轮从如图例例例6 一艘海轮从一艘海轮从A出发，沿北偏东出发，沿北偏东75的方向航行的方向航行67.5n mile后到达海岛后到达海岛B,然后从然后从B出发，沿北偏东出发，沿北偏东32的方向航行的方向航行54.0n mile后到达海岛后到达海岛C.如果下次航行直接从如果下次航行直接从A出发到达出发到达C,此船应该此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1,距距离精确到离精确到0.01n mile）?解：在解：在 ABC中，中，ABC1807532137，根据余弦
17、定理，根据余弦定理，15.113137cos0 .545 .6720 .545 .67cos22222ABCBCABBCABAC3. 3.5m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端离堤足1.2m的地面上，另一端沿堤上2.8m的地方，求地对地面的倾斜角。63.77练习练习: 在山顶铁塔上在山顶铁塔上B处测得地面处测得地面上一点上一点A的俯角的俯角 60 ，在塔底，在塔底C处测得处测得A处的俯角处的俯角30。已。已知铁塔知铁塔BC部分的高为部分的高为28m，求出，求出山高山高CD.分析：根据已知条件，应该设分析：根据已知条件，应该设法计算出法计算出AB或或AC的长的长解：在解：在ABC中，中，BCA=90
18、+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根根据正弦定理，据正弦定理，)90sin()sin(ABBCDABC )(42)3060sin(60sin30cos28)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC=42-28=14(m)答：山的高度约为答：山的高度约为14米。米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，课堂小结课堂小结1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。2、在分析
19、问题解决问题的过程中关键要、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意分析题意，分清已知分清已知 与所求与所求，根据题意，根据题意画出示意图画出示意图，并正确运用正弦定理和余，并正确运用正弦定理和余 弦定理解题。弦定理解题。3、在解实际问题的过程中，贯穿了、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模数学建模的思想，其流程的思想，其流程 图可表示为：图可表示为：实际问题实际问题数学模型数学模型实际问题的解实际问题的解数学模型的解数学模型的解画图形画图形解三角形解三角形检验（答）检验（答）P19 1.2A 1、 3、 9解斜三角形应用题的一般步骤：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解际意义，从而得出实际问题的解