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1、本节内容2.2abab动脑筋动脑筋判断一个命题是不是真命题需要讲道理，判断一个命题是不是真命题需要讲道理，讲道理的过程叫证明。讲道理的过程叫证明。如何证明？如何证明？从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个推理的过程叫作证明。个推理的过程叫作证明。怎样判断一个命题是不是真命题？怎样判断一个命题是不是真命题？如图，线段如图，线段a、b一样长吗？一样长吗？图中两个正方形哪个大？图中两个正方形哪个大？ 观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，观察、操作、实验是人们认识事物的
2、重要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论而且人们可以从中猜测发现出一些结论.w直观是重要的直观是重要的, ,但它有时也会骗人但它有时也会骗人. .通过观察通过观察, ,先猜想结论先猜想结论, ,再动手验证再动手验证: :1.1.如图如图, ,一组直线一组直线a, ,b, ,c, ,d是否都互相平行是否都互相平行? ?abcdabcd动脑筋动脑筋2.2.当当n= =0, ,1, ,2, ,3, ,4时时, ,代数式代数式n2-3n+7的值分别是的值分别是 7, ,5, ,5, ,7, ,11, ,它们都是素数它们都是素数, ,那么那么, ,命题命题“对于自然数对于自然数n,n,代数式代数式n
3、2 2- -3n+ +7的值都是素数的值都是素数”是真命题吗是真命题吗? ? 做一做做一做采用剪拼或度量的方法，采用剪拼或度量的方法，猜测猜测“三角形的外角和三角形的外角和” ” 等于多少度等于多少度. .从剪拼或度量可以猜测三从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于角形的三个外角之和等于360 ，但是剪拼时难以，但是剪拼时难以真正拼成一个周角，真正拼成一个周角， 只只是接近周角；分别度量这是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可三个角后再相加，结果可能接近能接近360，但不能很，但不能很准确地都得准确地都得360 另外，由于不同形状的三角形另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不
4、可能用剪拼或有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角们只能猜测任何一个三角形的外角和都为和都为360此时猜测出的命题此时猜测出的命题仅仅是一种猜想，仅仅是一种猜想， 未必都是真命未必都是真命题要确定这个命题是真命题，还题要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明需要通过推理的方法加以证明. .第一步：第一步：根据题意，画出图形；根据题意，画出图形；证明命题证明命题“三角形的外角和为三角形的外角和为360”是真是真命题命题.动脑筋动脑筋第二步：第二步： 结合图形，写出结合图形，写出已知求证；已知求证；已知：
5、已知： BAF， CBD和和ACE分别是分别是ABC的三个外角的三个外角. .求证：求证： BAF + +CBD + +ACE = = 360.第三步：第三步： 写出写出证明证明过程，并且过程，并且步步有依据。步步有依据。证明证明: :如图，如图，BAF=2+3，BAF+CBD+ACE=2( (1+2+3)()(等式的性质等式的性质).).CBD=1+3， ACE=1+2（三角形外角定理三角形外角定理），1+2+3=180( (三角形内角和定三角形内角和定理理) )， BAF+CBD+ACE=2180=360.经过刚才三站的经过刚才三站的“证明证明”之旅，你能说出完之旅，你能说出完整的几何命题
6、证明需要整的几何命题证明需要哪几个步骤哪几个步骤吗？吗？（1 1）根据题意，画出图形。）根据题意，画出图形。（2 2）结合图形，写出已知求证）结合图形，写出已知求证（3 3）写出证明过程，并且步步有依据。）写出证明过程，并且步步有依据。结论结论依据依据(定义定义)(定理定理)(推论推论)(基本事实基本事实)（真命题）（真命题）条件条件结论结论数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立步步的推理，最后证实这个命
7、题的结论成立. 证明的每一步都必须要有根据证明的每一步都必须要有根据.推理推理例例1 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，B=C，点，点D在线段在线段BA的延长线上，射线的延长线上，射线AE平分平分DAC.求证：求证：AEBC.举举例例证明：证明：DAC =B +C（三角形外角定理三角形外角定理），B=C（已知已知）， DAC=2B（等式的性质等式的性质）. .又又AE平分平分DAC（已知已知），DAC=2DAE（角平分线的定义角平分线的定义）DAE=B（等量代换等量代换）. .AEBC（同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行）例例2 已知：已知：A，B，C是是ABC的内角的内角.
8、求证：求证：A，B，C中至少有一个角大于或等于中至少有一个角大于或等于60. 分析分析 这个命题的结论是这个命题的结论是“至少有一个至少有一个”，也就是说可能出现也就是说可能出现“有一个有一个”、“有两个有两个”、“有三个有三个”这三种情况这三种情况. 如果直接来证明，将如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.证明证明 假设假设A，B，C 中中没有一个角大于或等于没有一个角大于或等于60即即A60，B60，C60，则则A+B+C180.这与这与“三角形的内角和等于三角形的内角和等于180”矛盾，矛盾，所以假设不正确所以假设不正确.因此
9、，因此，A， B， C中至少有一个角大于或等于中至少有一个角大于或等于60. 像这样，当直接证明一个命题为真有困难像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为这种证明方法称为反证法反证法. 反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论否定结论，导出矛盾，肯定结论”.反证
10、法的步骤：假设结论的反面成立逻辑推理得出矛盾肯定原结论正确结论结论( (1 1) ). .证明命题：一个角的两边分别平行于另一个角的证明命题：一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，则这两个角相等。两边，且方向相同，则这两个角相等。CBACBA已知已知：如图，：如图，ABAB,BCBC.求证求证：B= = B 证明证明： ABAB （ ） B = （ ） BCBC （ ） B = （ ） B = B ( )已已 知知两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等 已已 知知两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等 等量代换等量代换 练习练习1. 在括号内填上理由在括号内填上理由.(
11、2).(2).已知：如图，已知：如图，A+B= 180.求证：求证：C+D= 180.证明：证明：A+B= 180（已知已知）， ADBC（ ）. . C+D= 180（ ）. .同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补2. 已知：如图，直线已知：如图，直线AB，CD被直线被直线MN所截，所截，1=2. 求证：求证：2=3，3+4=180.证明：证明： 1=2， 2 =3（两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等）3+4=180（两直线平行两直线平行, , 同旁内角互补同旁内角互补）. . ABCD（同位角相等，两直线平行同位角相等
12、，两直线平行）3. 已知：如图，已知：如图，AB与与CD 相交于点相交于点E. 求证：求证：A+C=B+D.证明：证明： AB与与CD 相交于点相交于点E ， AEC=BED （对顶角相等对顶角相等），又又 A+C +AEC =B+D +BED =180（三角形内角和等于三角形内角和等于180），A+C=B+D.4.已知：如图有如图有a、b、c三条直线，且三条直线，且a/c, ,b/c. . 求证：求证：a/bAabc证明：假设证明：假设a与与b不平行，不平行，则可设它们相交于点则可设它们相交于点A。那么过点那么过点A 就有两条直线就有两条直线a、b分别与直线分别与直线c平行，平行，这与这与“
13、过直线外一点有且只有一条直线与已知直过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行线平行”矛盾矛盾, ,故假设不成立。故假设不成立。 a/b. .已知：已知：如图，如图，AB、CD被直线被直线EF所截，且所截，且ABCD，EG、FH分别是分别是AEF和和 EFD的平分线；的平分线；求证：求证：EGFH1) 1)两条平行线的一对内错角的平分线互相平行两条平行线的一对内错角的平分线互相平行. .ABCDEFGH2) 2)垂直于同一直线的两直线平行；垂直于同一直线的两直线平行；3)内错角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；abc1233)abc122)2、3题请画出图形，写出已知、求证。题请画出图形，写出已知、求证。1、证明下述命题。、证明下述命题。证明与图形有关的命题时，一般有以下步证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：骤：第一步第一步第二步第二步第三步第三步画出图形画出图形写出已知、求证写出已知、求证写出证明的过程写出证明的过程根据题意根据题意根据命题的条件根据命题的条件和结论，结合图形和结论，结合图形通过分析，通过分析，找出证明的途径找出证明的途径小结小结 拓展拓展思考思考:B=D成立，图中会有哪些成立，图中会有哪些 使得使得B=D成成立的条件立的条件.ABCDEF作业：作业：P59 A 6、7 B 8、9