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1、角角平分线的平分线的性质定理性质定理及及其逆定理其逆定理定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等条件：一个点在一个角的平分线上条件：一个点在一个角的平分线上结论：这个点到角的两边的距离相等结论：这个点到角的两边的距离相等已知：已知：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PD OA ，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E.求证：求证：PD=PE.AOBPED1234一一.角平分线的性质角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED121=
2、2 PD OA ，PE OBPD=PE.例例1: 已知：如图，已知：如图，E是是BAC平分线上的一点，平分线上的一点，EBAB，ECAC，B，C分别是垂足。你能分别是垂足。你能得到哪些结论？为什么？得到哪些结论？为什么？BAEC挑战自我挑战自我如如图图, ,在在ABCABC中中, ,已知已知AC=BC,C=90AC=BC,C=900 0,AD,AD 是是ABCABC的角平分线的角平分线,DEAB,DEAB,垂足为垂足为E.E.(1)如果如果CD4cm，AC的长的长(2)求证求证:ABACCD.EDABC定理的逆命题该怎么说？定理的逆命题该怎么说？ 在一个角的内部，且在一个角的内部，且 到角的两
3、边距离相到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。等的点，在这个角的平分线上。已知：如图，已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是垂足分别是D，E， PD=PE.求证：点求证：点P在在AOB的平分线上的平分线上OEBADP逆定理：逆定理：w逆定理逆定理: :在一个角的内部，在一个角的内部，到到一个角的一个角的两边两边距离相等的点距离相等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上. . 用符号语言表示为用符号语言表示为: :PDOA,PEOB,PDOA,PEOB, 且且PD=PEPD=PE点点P P在在AOBAOB的平分的平分线上线上( (或或OPOP是是AOB的平分线）的平分线）温馨提
4、示温馨提示: :这个结论又是经常用来证明这个结论又是经常用来证明点在直线点在直线上上( (或或直线经过直线经过某一某一点点) )的根据之一的根据之一. .OCBAPDE二二.角平分线性质定理的逆定理角平分线性质定理的逆定理 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理： 在在角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定角平分线的判定定理定理: 在一个角的内部，在一个角的内部，到到一个角的两边的距离相等的点，一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在这个角平分线上。4.角平分线的角平分线的性质定理性质定理是是证明角相等、线段相等证明角相等、线段相等
5、的新途径的新途径.角平分线的角平分线的逆定理逆定理是是证明点在直线上证明点在直线上(或直线经过某一点或直线经过某一点)的根据之一的根据之一.3.性质定理和逆定理的关系性质定理和逆定理的关系点在角平分线上点在角平分线上 点到角两边的距离相等点到角两边的距离相等总结归纳总结归纳基本应用基本应用填空：填空：(1). 1= 2,DCAC, DEAB _(_)(1). DCAC ,DEAB ,DC=DE_(_ _)ACDEB1212DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离
6、相等1: 已知：如图所示：已知：如图所示：PA，PC分别是分别是ABC外角外角MAC与与 NCA平分线，它们交于平分线，它们交于P，PDBM于于M，PFBN于于F求证：求证： 点点P在在MBN的平分线上的平分线上EBNCFPADM2、已知：如图，、已知：如图，B= C=90，M是是 BC的中点，的中点，DM平分平分 ADC 求证：求证：AM平分平分DAB。 E回味无穷w一一. .定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距角平分线上的点到这个角的两边距离相等离相等. . w二二. .逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角的两边距且到角的两边距离相等的点离相等的点, ,在这个角的平分
7、线上在这个角的平分线上. .小结 拓展三三.遇到角平分线的问题遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一可以通过角平分线上的一点向角的两边引垂线点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理以便充分运用角平分线定理小测1：w. .已知已知: :如图如图,C=90,C=900 0,B=30,B=300 0, , AD AD是是RtRtABCABC的角平分线的角平分线. .w 求证求证:BD:BD2CD.2CD. ABCDE（小测（小测2）已知：已知：MON中，中，MP平分平分OMN，OP平分平分MON，且，且PDMN，PEON，垂足分别为点，垂足分别为点D、E求证：点求证：点P在在MNO的平分线上
8、的平分线上EDPONMF三三.尺规作图尺规作图角平分线的作法角平分线的作法l已知已知:AOB,:AOB,如图如图. .l求作求作: :射线射线OC,OC,使使AOC=BOCAOC=BOCl作法作法: :l用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线. .ABOl1.1.以以O O为圆心，以任意长为半径画弧交为圆心，以任意长为半径画弧交OAOA、OBOB于点于点E E、D Dl2.2.分别以点分别以点D D和和E E为圆心为圆心, ,以大于以大于DE/2DE/2长为长为 半径作弧半径作弧, ,两弧在两弧在AOBAOB内交于点内交于点C Cl3.3.作射线作射线OC.OC.l则射线则射线OCOC就是就是AOBAOB的平分线的平分线. .ABOCDE例例2:如图，设如图，设ABC的角的角平分线平分线BM，CN相交于点相交于点P，你能证明点，你能证明点P在在BAC的平分线上吗？的平分线上吗？CABDFEPNM证明证明: :过点过点P P分别作分别作PDPDABAB，PFPFACAC，PEPEABAB，