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1、菱形的判定菱形的判定平舆县第二初级中学平舆县第二初级中学:赵黎明赵黎明学习目标：学习目标：1、理解并掌握菱形的判定方法。、理解并掌握菱形的判定方法。2、能判定一个四边形（或平行四边形）是菱形。、能判定一个四边形（或平行四边形）是菱形。3、进一步熟悉联想、类比、猜想等数学方法。、进一步熟悉联想、类比、猜想等数学方法。4、培养爱动手、敢干尝试、猜想的好习惯。、培养爱动手、敢干尝试、猜想的好习惯。平行四边形平行四边形任意四边形任意四边形1，两组对边分别平行（定义），两组对边分别平行（定义）2，两组对边分别相等，两组对边分别相等3，一组对边平行且相等，一组对边平行且相等4，两组对角分别相等，两组对角分
2、别相等5，对角线互相平分，对角线互相平分复习：平行四边形的判定方法复习：平行四边形的判定方法平行四边形的定义是平行四边形的一个判定方法平行四边形的定义是平行四边形的一个判定方法菱形的判定菱形的判定类比类比:菱形的定义：菱形的定义：“有一组邻边相等的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形叫叫菱形菱形” 即如图：即如图：如果如果 平行四边形平行四边形ABCD 中，中，AB=BC那么：平行四边形那么：平行四边形ABCD是菱形是菱形 ABCD菱形的判定方法菱形的判定方法1：有一组邻边相等的平行四边形：有一组邻边相等的平行四边形是是菱形菱形也是菱形的一个判定方法也是菱形的一个判定方法, 于是于是 得到：得
3、到：想一想：前面学习平行四边形及想一想：前面学习平行四边形及矩形的判定方法时，就是从它矩形的判定方法时，就是从它们的性质受到的启示，那么菱们的性质受到的启示，那么菱形有哪些性质呢？形有哪些性质呢？菱形的性质菱形的性质 对角线：对角线： 边：边： 角：角：四条边都相等四条边都相等每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角两条对角线互相垂直平分两条对角线互相垂直平分对角线互相垂直的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗是菱形吗?如图:如果 中， ACBD 于点O 那么 ABCD是菱形ABCDO ABCD 证明证明: ABCD BO=OD (平行四边形对角线互相平分平行四边形对角线互相平分)
4、 又又ACBD AB=AD (线段垂直平分线上的点到线段两端点线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的距离相等)ABCD是菱形是菱形 ( 有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形) 菱形的判定方法菱形的判定方法2:对角线互相对角线互相垂直的平行四边形是菱形垂直的平行四边形是菱形能否证明其正确呢能否证明其正确呢? 分析一下分析一下: 四条边都相等的四边形是菱形吗四条边都相等的四边形是菱形吗?ABCD如图如图: 如果如果: AB=BC=CD=AD 那么那么: 四边形四边形ABCD是菱形是菱形菱形的判定方法菱形的判定方法3：四条边都相等的四边形是菱形：四条边都相等的四边形
5、是菱形证明证明:AB=CD，BC=AD，四边形四边形ABCD是平行四边形（两组是平行四边形（两组 对边分别相等的四边形是平行四边形）对边分别相等的四边形是平行四边形）又又在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，AB=BC，四边形四边形ABCD是菱形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）如何证明上述命题是正确的呢？分析一下：菱形的判定方法菱形的判定方法4：每条对角线平：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形分一组对角的四边形是菱形如图：如果如图：如果 AC平分平分BAD和和 BCD, BD平分平分ABC和和ADC 那么：四边形那么：四边形ABCD是菱形是菱形
6、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形吗？每条对角线平分一组对角的四边形是菱形吗？这是一个正确的结论，其正确性留给有兴趣的同学课后完成这是一个正确的结论，其正确性留给有兴趣的同学课后完成BOACD1，两组对边分别平行（定义），两组对边分别平行（定义） 2，两组对边分别相等，两组对边分别相等 3，一组对边平行且相等，一组对边平行且相等 4，两组对角分别相等，两组对角分别相等 5，对角线互相平分，对角线互相平分2，对角线互相垂直，对角线互相垂直1，一组邻边相等（菱形的定义），一组邻边相等（菱形的定义）3，四条边都相等，四条边都相等4，每条对角线平，每条对角线平分一组对角分一组对角任意四边形任意四边形
7、平行四边形平行四边形菱形菱形归纳一下归纳一下:例例 已知已知:矩形矩形ABCD的对角线的对角线AC的垂直平分的垂直平分线与边线与边AD、BC分别交于点分别交于点E、F，求证求证:四边形四边形AFCE是菱形是菱形 证明证明 四边形四边形ABCD是矩形，是矩形， AEFC（ ） 12（ ） EF平分平分AC， AOOC又又 AOECOF90， AOE COF（ ），）， EOFO， 四边形四边形AFCE是平行四边形（是平行四边形（ ） 又又EFAC， 四边形四边形AFCE是菱形（是菱形（ ） P116练习练习2 将一张矩形的纸对折再对折，然后将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，
8、你发现沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？说说你的这是一个什么样的图形呢？说说你的理由理由.理由一：是菱形，因为这个四理由一：是菱形，因为这个四 边形的边形的“四条边都相等四条边都相等” （重合）。（重合）。理由三：是菱形，因为这个四边形的理由三：是菱形，因为这个四边形的 “每一条对角线平分一组对每一条对角线平分一组对角角”。理由二：是菱形，因为理由二：是菱形，因为 这个四边形的这个四边形的“对角对角 线相互垂直平分线相互垂直平分”。1、下列说法正确的是（、下列说法正确的是（ ）A、邻角相等的四边形是菱形、邻角相等的四边形是菱形B、有一组邻边相等的四边形是菱形、有一组邻边相
9、等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的四边形是菱形、对角线互相垂直的四边形是菱形D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D2、如图，在四边形、如图，在四边形ABCD是平行四边形，对角线是平行四边形，对角线AC、BD相交于点相交于点O，且，且AO=3，BO=4，AB=5。求证：四边形求证：四边形ABCD是菱形。是菱形。ABCDO证明：证明： AO=3，BO=4，AB=5AB2=AO2+BO2OAB是直角三角形是直角三角形ACBD又又四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形四边形四边形ABCD是菱形是菱形(对角线互相垂直的平行对角线互相垂直的平行 四边形是菱形四
10、边形是菱形)3.判断对错：判断对错：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。）对角线互相垂直的四边形是菱形。 （ ） （2）对角线垂直且平分的四边形是菱形。）对角线垂直且平分的四边形是菱形。 （ ）（3）对角线垂直的矩形是菱形。）对角线垂直的矩形是菱形。 （ ）（4）对角线垂直且相等的四边形是菱形。）对角线垂直且相等的四边形是菱形。 （ ）（5）有一条对角线平分一组对角的四边形）有一条对角线平分一组对角的四边形 是菱形。是菱形。 （ ）ABCDP116习题习题20.3 1 如图，如图，AD是是ABC的一条角平分线，的一条角平分线，DEAC交交AB于点于点E，DFAB交交AC于点于点F.求证四边形求
11、证四边形AEDF是菱形是菱形.证明：证明： DEACDEAC交交ABAB于点于点E E，DFABDFAB交交ACAC于于点点F F四边形四边形AEDFAEDF是平行四边形且是平行四边形且EDA=DAFEDA=DAF AD AD是是ABCABC的一条角平分线的一条角平分线EAD=DAFEAD=DAFEDA=EADEDA=EADEA=EDEA=ED（等角对等边）（等角对等边）四边形四边形AEDFAEDF是菱形是菱形.(.(有一组邻边相等的平有一组邻边相等的平行四边形是菱形）行四边形是菱形）2 如图，如图，ABC中，中，ABAC，点，点D是是BC的中点，的中点，DEAC于于E，DGAB于于G，EKA
12、B于于K，GHAC于于H，EK和和GH相交于点相交于点F求证：求证： 四边形四边形DEFG是菱形是菱形证明：证明： DEAC于于E， GHAC于于H DEGH DGAB于于G, EKAB于于K DGEK四边形四边形DEFG是平行四边形是平行四边形 ABACB=C 点点D是是BC的中点的中点BD=CD DGAB于于G, DEAC于于EBGD=CED=90度度在在BGD和和CED中，中， BGD=CED， B=C，BD=CD BGD CED(AAS) DG=DE四边形四边形DEFG是菱形是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形）有一组邻边相等的平行四边形是菱形）3 3 如图，菱形如图，菱形ABCD
13、ABCD的周长为的周长为2p2p，对角线，对角线ACAC、BDBD交于交于O O，ACACBDBDq q，求菱形，求菱形ABCDABCD的面积。的面积。（提示：（提示： 利用两数和的平方公式利用两数和的平方公式 (a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2与勾股定理）与勾股定理）解：(AC+BD)2=AC2+2AC 2 2-(AC2+BD2) 24-(AC24+BD24) 24-（AC2）2+（BD2）2 2+（BD2）2 =（AB2）2 24-(AB2)2=q24-p24=q2-p24本节课你学到了什么？本节课你学到了什么？2，对角线互相垂直，对角线互相垂直1，一组
14、邻边相等（菱形的定义），一组邻边相等（菱形的定义）3，四条边都相等，四条边都相等4，每条对角线平分一组对角，每条对角线平分一组对角任意四边形任意四边形平行四边形平行四边形菱形菱形一、在知识和能力方面：一、在知识和能力方面：学会了菱形的判定方法，并能运用它判定一个四边形是菱形。学会了菱形的判定方法，并能运用它判定一个四边形是菱形。 二、在思想方法上：二、在思想方法上：1、联想对平行四边形、矩形的判定方法的研究，类比得、联想对平行四边形、矩形的判定方法的研究，类比得到菱形的判定方法，到菱形的判定方法，2、由菱形的性质，通过猜想、验证得出菱形的判定方法。、由菱形的性质，通过猜想、验证得出菱形的判定方法。 三、在行为习惯上：三、在行为习惯上：培养了与别人交流、沟通及自己动手的习惯。培养了与别人交流、沟通及自己动手的习惯。作业：作业：一、习题一、习题20.3 1 、 2 、 3。二、预习二、预习20.4 正方形的判定正方形的判定