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1、要点梳理要点梳理1.1.二次函数解析式的三种形式二次函数解析式的三种形式 (1)(1)一般式：一般式：f f（x x）= = . . (2) (2)顶点式：顶点式：f f( (x x)=)= . . (3) (3)零点式：零点式：f f( (x x)=)= . . 求二次函数解析式的方法：待定系数法求二次函数解析式的方法：待定系数法. .根据所根据所 给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式 中的一种来求中的一种来求. .2.5 2.5 二次函数二次函数基础知识基础知识 自主学习自主学习axax2 2+ +bxbx+ +c c( (a a0)0)a
2、a( (x x- -m m) )2 2+ +n n( (a a0)0)a a( (x x- -x x1 1)()(x x- -x x2 2) () (a a0)0)已知三个点的坐标时，宜用一般式已知三个点的坐标时，宜用一般式. .已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式（小）值有关时，常使用顶点式. .已知抛物线与已知抛物线与x x轴有两个交点，且横坐标已知时，轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求选用零点式求f f( (x x) )更方便更方便. .2.2.二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质 图象图象 函数性质
3、函数性质 a a0 0定定义义域域x xR R（个别题目有限制的，由解（个别题目有限制的，由解析式确定）析式确定） 值值域域 a a0 0 a a0 0 0 a a0 00时，时， 图象与图象与x x轴有两个交点轴有两个交点M M1 1( (x x1 1，0)0)、M M2 2( (x x2 2，0)0)， 4.4.三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二 次不等式）次不等式）. . 在高考中三个二次不仅是各种问题转化的最后在高考中三个二次不仅是各种问题转化的最后 的落脚点，而且单纯的三个二次问题间的相互的落脚点，而且单纯的三个二次问题间的相互 转化有时
4、技巧性也会很强转化有时技巧性也会很强. .|2121axxMM基础自测基础自测1.1.函数函数y y= =x x2 2+ +bxbx+ +c c（x x0 0，+）是单调函数的）是单调函数的 充要条件是充要条件是（ ） A.A.b b0 0 B.B.b b0 0 C. C.b b0 0D.D.b b0 0 解析解析 b b0.0.故选故选A.A.02bxA A2.2.方程方程a a2 2x x2 2+ +axax-2=0 (|-2=0 (|x x|1)|1)有解，则有解，则 （ ） A.|A.|a a|1 B.|1 B.|a a|2|2 C.| C.|a a|1 D.|1 D.a aR R 解
5、析解析 原方程可分解为原方程可分解为( (axax+2)(+2)(axax-1)=0,-1)=0, axax=-2=-2或或axax=1,=1,则有则有| |a a|2|2或或| |a a|1.|1.即即| |a a|1.|1.A3.3.一次函数一次函数y y= =axax+ +b b与二次函数与二次函数y y= =axax2 2+ +bxbx+ +c c在同一坐标在同一坐标 系中的图象大致是系中的图象大致是 （ ） 解析解析 选项选项A A中中, ,一次函数的斜率一次函数的斜率a a0,0,而二次函数而二次函数 开口向下，相互矛盾，排除开口向下，相互矛盾，排除A.A.同理排除同理排除D,D,
6、 y y= =axax2 2+ +bxbx+ +c c的对称轴为的对称轴为 当当a a0,0,b b00时，时， 排除排除B.B. 当当a a0,0,b b0 f f(3)(3) B. B.f f(3)(3)f f(2)(2) C. C.f f(3)=(3)=f f(2)(2) D. D.f f(3)(3)与与f f(2)(2)的大小关系不能确定的大小关系不能确定 解析解析 f f(4)=(4)=f f(1),(1), 选选C.C.),2()3252()3(,25fffx对称轴为C5.5.若二次函数若二次函数f f( (x x) )满足满足f f( (x x+1)-+1)-f f( (x x)
7、=2)=2x x, ,且且f f(0)=1,(0)=1, 则则f f( (x x) )的表达式为（的表达式为（ ） A.A.f f( (x x)=-)=-x x2 2- -x x-1-1 B. B.f f( (x x)=-)=-x x2 2+ +x x-1-1 C. C.f f( (x x)=)=x x2 2- -x x-1-1 D. D.f f( (x x)=)=x x2 2- -x x+1+1 解析解析 方法一方法一 由由f f(0)=1,(0)=1,可得可得f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+1 +1 ( (a a0)0)，用排除法可选，用排除法可选D.D.方法二方法
8、二 由由f f(0)=1,(0)=1,可得可得f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+1 (+1 (a a0),0),故故f f( (x x+1)=+1)=a a( (x x+1)+1)2 2+ +b b( (x x+1)+1.+1)+1.f f( (x x+1)-+1)-f f( (x x)=2)=2axax+ +a a+ +b b, ,由已知：由已知：f f( (x x+1)-+1)-f f( (x x)=2)=2x x, ,即即2 2axax+ +a a+ +b b=2=2x x. . 1)(,11,0222xxxfbabaa答案答案 D题型一题型一 二次函数的解析式的求
9、法二次函数的解析式的求法 【例例1 1】已知二次函数已知二次函数f f( (x x) )满足满足f f(2)=-1,(2)=-1,f f(-1)=-1,(-1)=-1, 且且f f( (x x) )的最大值是的最大值是8 8，求此二次函数的解析式，求此二次函数的解析式. . 确定二次函数采用待定系数法，有三确定二次函数采用待定系数法，有三 种形式，可根据条件灵活运用种形式，可根据条件灵活运用. .题型分类题型分类 深度剖析深度剖析 思维启迪思维启迪 解解 方法一方法一 设设f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c ( (a a0),0),依题意有依题意有所求二次函数为
10、所求二次函数为y y=-4=-4x x2 2+4+4x x+7.+7.方法二方法二 设设f f( (x x)=)=a a( (x x- -m m) )2 2+ +n n. .f f(2)=(2)=f f(-1),(-1),抛物线对称轴为抛物线对称轴为 m m= = , 7, 4, 4, 844, 1, 1242cbaabaccbacba得解之.212) 1(2x.21又根据题意函数有最大值为又根据题意函数有最大值为n n=8=8，y y= =f f（x x）= = f f（2 2）=-1=-1， 解之，得解之，得a a=-4.=-4.方法三方法三 依题意知：依题意知：f f( (x x)+1=
11、0)+1=0的两根为的两根为x x1 1=2,=2,x x2 2=-1,=-1,故可设故可设f f( (x x)+1=)+1=a a( (x x-2)(-2)(x x+1),+1),即即f f( (x x)=)=axax2 2- -axax-2-2a a-1.-1.又函数有最大值又函数有最大值y ymaxmax=8,=8,即即 . 8)21(2xa, 18)212(2a. 7448)21(4)(22xxxxf, 84) 12(42aaaa解之，得解之，得a a=-4=-4或或a a=0(=0(舍去）舍去）. .函数解析式为函数解析式为f f( (x x)=-4)=-4x x2 2+4+4x x
12、+7.+7. 二次函数的解析式有三种形式：二次函数的解析式有三种形式：(1)(1)一般式：一般式：f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c ( (a a0)0)(2)(2)顶点式：顶点式：f f( (x x)=)=a a( (x x- -h h) )2 2+ +k k ( (a a0)0)(3)(3)两点式：两点式：f f( (x x)=)=a a( (x x- -x x1 1)()(x x- -x x2 2)()(a a0)0)具体用哪种形式，可根据具体情况而定具体用哪种形式，可根据具体情况而定. . 探究提高探究提高知能迁移知能迁移1 1 设二次函数设二次函数f
13、f( (x x) )满足满足f f( (x x+2)=+2)=f f(2-(2-x x) )，且，且 f f（x x）=0=0的两实数根平方和为的两实数根平方和为1010，图象过点，图象过点(0,3),(0,3), 求求f f（x x）的解析式）的解析式. . 解解 设设f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c ( (a a0).0). 由由f f( (x x+2)=+2)=f f(2-(2-x x) )知，该函数图象关于直线知，该函数图象关于直线x x=2=2对称对称, , 即即b b=-4=-4a a. . 又又图象过（图象过（0 0，3 3）点，）点，c c=3
14、. =3. , 22ab b b2 2-2-2acac=10=10a a2 2. . 由由得得a a=1,=1,b b=-4,=-4,c c=3.=3.故故f f（x x）= =x x2 2-4-4x x+3. +3. 102)(2)(2212212221acabxxxxxx题型二题型二 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 【例例2 2】 已知函数已知函数 在区间在区间0,10,1 上的最大值是上的最大值是2 2，求实数，求实数a a的值的值. . 研究二次函数在给定区间上的最值问研究二次函数在给定区间上的最值问 题，要讨论对称轴与给定区间的关系题，要讨论对称轴与给定区间的关系. . 解
15、解 对称轴为对称轴为 2142aaxxy),2(41)2(22aaaxy.2ax 思维启迪思维启迪(1)(1)当当0 10 1，即，即00a a22时，时， 得得a a=3=3或或a a=-2,=-2,与与00a a22矛盾矛盾. .不合要求；不合要求；(2)(2)当当 00，即，即a a011，即，即a a22时，时，y y在在00，11上单调递增，上单调递增，有有y ymaxmax= =f f(1),(1),f f(1)=2 (1)=2 综上，得综上，得a a=-6=-6或或a a= = 2a, 2)2(41),2(4122maxaaaay由. 62214aa2a2a22141aa.310
16、 a.310探究提高探究提高 (1)(1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对要注意抛物线的对称轴所在的位置对函数最值的影响函数最值的影响. .(2)(2)解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为次函数化为y y= =a a( (x x- -m m) )2 2+ +n n的形式，得顶点（的形式，得顶点（m m，n n）或）或对称轴方程对称轴方程x x= =m m，分三个类型：，分三个类型：顶点固定，区间固定；顶点固定，区间固定；顶点含参数，区间固定；顶点含参数，区间固定；顶点固定，区间变动顶点固定，区间变动. . 知能迁移知能迁移2 2 已知函
17、数已知函数f f( (x x)=-)=-x x2 2+8+8x x, ,求函数求函数f f( (x x) )在区间在区间 t t, ,t t+1+1上的最大值上的最大值h h( (t t).). 解解 f f（x x）=-=-x x2 2+8+8x x=-(=-(x x-4)-4)2 2+16+16 当当t t+14,+14,即即t t344时，时，f f( (x x) )在在 t t, ,t t+1+1上单调递减上单调递减. . 此时此时h h( (t t)=)=f f( (t t)=-)=-t t2 2+8+8t t. . 综上可知综上可知.)4(8)43(16)3(76)(22ttttt
18、ttth题型三题型三 二次函数的综合应用二次函数的综合应用 【例例3 3】 （1414分）已知二次函数分）已知二次函数y y= =f f( (x x) )的图象与的图象与x x轴轴 交于交于A A，B B两点，且两点，且 它在它在y y轴上的截距轴上的截距 为为4,4,又对任意的又对任意的x x都有都有f f( (x x+1)=+1)=f f(1-(1-x x).). （1 1）求二次函数的表达式；）求二次函数的表达式； （2 2）若二次函数的图象都在直线）若二次函数的图象都在直线l l: :y y= =x x+ +c c的下方，的下方， 求求c c的取值范围的取值范围. . 先根据性质特征：
19、关于先根据性质特征：关于x x=1=1对称，可设对称，可设 为顶点式再待定系数为顶点式再待定系数. ., 32|AB思维启迪思维启迪解题示范解题示范解解 （1 1）方法一方法一 f f（x x+1+1）= =f f（1-1-x x），），y y= =f f（x x）的对称轴为）的对称轴为x x=1=1， 2 2分分又又f f( (x x) )为二次函数，为二次函数，可设可设f f( (x x)=)=a a( (x x-1)-1)2 2+ +k k ( (a a0),0),又当又当x x=0=0时，时，y y=4,=4,a a+ +k k=4,=4,得得f f( (x x)=)=a a( (x
20、x-1)-1)2 2- -a a+4, +4, 令令f f( (x x)=0,)=0,得得a a( (x x-1)-1)2 2= =a a-4.-4. 6 6分分即即f f( (x x)=-2()=-2(x x-1)-1)2 2+6=-2+6=-2x x2 2+4+4x x+4.+4. 8 8分分.42|,41aaABaax. 2, 32|aAB方法二方法二 令二次函数令二次函数y y= =f f( (x x) )的图象与的图象与x x轴交于轴交于A A（x x1 1，0 0），），B B（x x2 2，0 0），（），（x x2 2 x x1 1）, ,f f（x x+1+1）= =f f（
21、1-1-x x），），x x1 1+ +x x2 2=2=2，x x2 2- -x x1 1= = ，得，得 3 3分分设二次函数设二次函数又又f f(0)=4,(0)=4,则则a a=-2.=-2.即即f f( (x x)=-2()=-2(x x-1)-1)2 2+6=-2+6=-2x x2 2+4+4x x+4.+4. 8 8分分(2)(2)由条件知由条件知-2-2x x2 2+4+4x x+4+400对对x xR R恒成立恒成立. . 1212分分 1414分分, 32|AB32. 31, 3121xx).31 ()31 ()(xxaxf,841, 0)4(89cc得).,841( 的取
22、值范围是c探究提高探究提高 （1 1）求二次函数的解析式问题，一般都）求二次函数的解析式问题，一般都采用待定系数法，就是根据条件先确定什么形式采用待定系数法，就是根据条件先确定什么形式. .如如一般式、顶点式、两点式等一般式、顶点式、两点式等. .（2 2）在研究二次函数图象在直线上方或下方，通常）在研究二次函数图象在直线上方或下方，通常是构造不等式，这也是数形结合的一个重要方面是构造不等式，这也是数形结合的一个重要方面. . 知能迁移知能迁移3 3 已知二次函数已知二次函数f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx( (a a、b b为常为常 数且数且a a0)0)满足条件：满足
23、条件：f f(-(-x x+5)=+5)=f f( (x x-3),-3),且方程且方程 f f( (x x)=)=x x有等根有等根. . （1 1）求）求f f( (x x) )的解析式；的解析式； （2 2）设）设g g( (x x)=)=f f( (x x)+)+txtx( (t tR R) )，试求，试求g g( (x x) )在区间在区间 -1,1-1,1上的最小值；上的最小值； （3 3）是否存在实数）是否存在实数m m、n n( (m m n n) )，使，使f f( (x x) )的定义域的定义域 和值域分别是和值域分别是m m，n n和和3 3m m,3,3n n? ?如果
24、存在，如果存在， 求出求出m m、n n的值，若不存在，请说明理由的值，若不存在，请说明理由. .解解 （1 1）f f(-(-x x+5)=+5)=f f( (x x-3),-3),f f( (x x) )的对称轴的对称轴又又f f( (x x)=)=x x有等根，有等根，axax2 2+(+(b b-1)-1)x x=0=0有等根有等根. ., 1235xxx.21)(, 1,210) 1(, 1222xxxfbabab（2 2） 其对称轴为其对称轴为x x= =t t+1,+1,函数函数图象是开口向下的抛物线，故求最小值只需讨论区图象是开口向下的抛物线，故求最小值只需讨论区间两个端点间两
25、个端点-1-1与与1 1离对称轴的距离离对称轴的距离. .,) 1(21)(2xtxxg当当t t+10+10，即，即t t-1-1时，时， 为最小值；为最小值；当当t t+10+10，即，即t t-1-1时，时， 为最小值为最小值. .（3 3）假设存在这样的）假设存在这样的m m、n n满足条件，满足条件，故二次函数故二次函数f f( (x x) )在区间在区间m m, ,n n上是增函数，上是增函数，m m n n,m m=-4,=-4,n n=0.=0.tg23) 1(tg21) 1 (221)(xxf, 161,213,21) 1(212nnxx即. 04, 043)(,3)(或或从
26、而有nmnnfmmf思想方法思想方法 感悟提高感悟提高方法与技巧方法与技巧1.1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法数形结合是讨论二次函数问题的基本方法. .特别特别 是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合 图形寻找思路图形寻找思路. .2.2.含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是 分类讨论分类讨论. .比如讨论二次函数的对称轴与给定区比如讨论二次函数的对称轴与给定区 间的位置关系，又例如牵涉二次不等式需讨论间的位置关系，又例如牵涉二次不等式需讨论 根的大小等根的大小等. .3.3.求二次函数解析式的方法有
27、：（求二次函数解析式的方法有：（1 1）一般式：）一般式： y y= =axax2 2+ +bxbx+ +c c（a a00）;(2);(2)顶点式：顶点式：y y= =a a( (x x- -h h) )2 2+ +k k; ; (3) (3)两点式：两点式：y y= =a a( (x x- -x x1 1)()(x x- -x x2 2).).4.4.关于二次函数关于二次函数y y= =f f( (x x) )对称轴的判断方法：对称轴的判断方法： （1 1）对于二次函数）对于二次函数y y= =f f( (x x) )对定义域内所有对定义域内所有x x, ,都有都有 f f( (x x1
28、1)=)=f f( (x x2 2),),那么函数那么函数y y= =f(xf(x) )图象的对称轴方程为图象的对称轴方程为: : (2) (2)对于二次函数对于二次函数y y= =f f( (x x) )对定义域内所有对定义域内所有x x, ,都有都有 f f( (a a+ +x x)=)=f f( (a a- -x x) )成立，那么函数成立，那么函数y y= =f f( (x x) )图象的对称图象的对称 轴方程为：轴方程为：x x= =a a( (a a为常数为常数).). （3 3）对于二次函数）对于二次函数y y= =f f( (x x) )对定义域内所有对定义域内所有x x, ,
29、都有都有 f f( (x x+2+2a a)=)=f f( (x x) )，那么函数，那么函数y y= =f f( (x x) )图象的对称轴方图象的对称轴方程程 为为: :x x= =a a( (a a为常数为常数).).221xxx注意：（注意：（2 2）（）（3 3）中，）中，f f（a a+ +x x）= =f f( (a a- -x x) )与与f f( (x x+2+2a a)=)=f f( (x x) )是等价的是等价的. .（4 4）利用配方法求二次函数）利用配方法求二次函数y y= =axax2 2+ +bxbx+ +c c ( (a a0)0)对称对称轴方程为轴方程为(5)
30、(5)利用方程根法求对称轴方程利用方程根法求对称轴方程. .若二次函数若二次函数y y= =f f( (x x）对应方程为对应方程为f f( (x x)=0)=0两根为两根为x x1 1、x x2 2, ,那么函数那么函数y y= =f f( (x x) )图图象的对称轴方程为：象的对称轴方程为：;2abx.221xxx失误与防范失误与防范1.1.求二次函数的单调区间时要经过配方法，要熟求二次函数的单调区间时要经过配方法，要熟 练准确利用配方法练准确利用配方法. .2.2.对于函数对于函数y y= =axax2 2+ +bxbx+ +c c要认为它是二次函数，就必要认为它是二次函数，就必 须认
31、定须认定a a00，当题目条件中未说明，当题目条件中未说明a a00时，就要时，就要 讨论讨论a a=0=0和和a a00两种情况两种情况. .3.3.对于二次函数对于二次函数y y= =axax2 2+ +bxbx+ +c c ( (a a0)0)给定了定义域为给定了定义域为 一个区间一个区间k k1 1，k k2 2时，利用配方法求函数的最值时，利用配方法求函数的最值 是极其危险的，一般要讨论函数图象的是极其危险的，一般要讨论函数图象的 对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四 种情况：种情况：abac442 对于这种情况，也可以利用导数法求对于
32、这种情况，也可以利用导数法求 函数在闭区间的最值方法求最值函数在闭区间的最值方法求最值. .这两种方法运这两种方法运 算量相当算量相当. .4.4.注意判别式作用，正确利用判别式注意判别式作用，正确利用判别式. .;22;22;22212111kabkkkkabkkab;22kab定时检测定时检测一、选择题一、选择题1.1.已知二次函数已知二次函数y y= =x x2 2-2-2axax+1+1在区间（在区间（2 2，3 3）内是单调）内是单调 函数，则实数函数，则实数a a的取值范围是的取值范围是 （ ） A.A.a a22或或a a33B.2B.2a a33 C. C.a a-3-3或或a
33、 a-2-2D.-3D.-3a a-2-2 解析解析 本题考查二次函数图象及其性质，由于本题考查二次函数图象及其性质，由于 二次函数的开口向上，对称轴为二次函数的开口向上，对称轴为x x= =a a，若使其在，若使其在 区间（区间（2 2，3 3）内是单调函数，则需所给区间在）内是单调函数，则需所给区间在 对称轴的同一侧，即对称轴的同一侧，即a a22或或a a3.3.A2.2.已知已知2 2x x2 2-3-3x x00，那么函数，那么函数f f( (x x)=)=x x2 2+ +x x+1 +1 （ ） A.A.有最小值有最小值 但无最大值但无最大值 B.B.有最小值有最小值 有最大值有
34、最大值1 1 C. C.有最小值有最小值1 1，有最大值，有最大值 D.D.无最小值，也无最大值无最小值，也无最大值 解析解析 由由2 2x x2 2-3-3x x00得得 故选故选C.C.,43,43419,230 x.41912349)23()(, 1)0()(,23, 0)(,43)21()(maxmin2fxffxfxfxxf上单调递增在C3.3.如果如果f f( (x x)=)=x x2 2+ +bxbx+ +c c对任意实数对任意实数t t都有都有f f( (t t+2)=+2)=f f(2-(2-t t) )， 那么那么 （ ） A.A.f f(2)(2)f f(1)(1)f f
35、(4)(4)B.B.f f(1)(1)f f(2)(2)f f(4)(4) C. C.f f(2)(2)f f(4)(4)f f(1)(1)D.D.f f(4)(4)f f(2)(2)f f(1)(1) 解析解析 由由f f( (t t+2)=+2)=f f(2-(2-t t) )知知f f( (x x) )的对称轴为：的对称轴为：x x=2,=2, f f( (x x) )在在2,+2,+）上单调递增，）上单调递增， f f(2)(2)f f(3)(3)f f(4),(4), 又又f f(1)=(1)=f f(2(22-1)=2-1)=f f(3),(3), f f(2)(2)f f(1)(
36、1)0,+20, m m=0=0符合题意符合题意. . 若若m m00，在，在x x00)0；在；在x x00时，时，g g( (x x)0,)0, 需要需要f f( (x x)=2)=2x x2 2+(4-+(4-m m) )x x+4-+4-m m00在在0 0，+）上）上 恒成立恒成立. .m m000，在，在x x00时，时，g g( (x x)0;)0;在在x x00时，时，g g( (x x)0,)0,需使需使f f( (x x)=2)=2x x2 2+(4-+(4-m m) )x x+4-+4-m m00在（在（-，0 0上恒上恒成立，成立，综上可知，综上可知，m m4.0,10
37、,12,2,则则 实数实数m m的取值范围是的取值范围是 . . 解析解析 方法一方法一.1, 1,mm).25, 2(,21211,)2 , 1 (1)2 , 1 (mmm即上是增函数在且又方法二方法二 设设f f( (x x)=)=x x2 2- -mxmx+1,+1,=1=1且且112,2,001.1.由图可知，由图可知，f f（1 1）f f(2)=(2-(2)=(2-m m)(5-2)(5-2m m)0,)0,0,b bR R, ,c cR R). ). （1 1）若函数）若函数f f( (x x) )的最小值的最小值f f(-1)=0,(-1)=0,且且c c=1,=1, （2 2
38、）若）若a a=1,=1,c c=0,=0,且且| |f f( (x x)|1)|1在区间在区间(0,1(0,1恒成恒成 立，试求立，试求b b的取值范围的取值范围. . 解解 （1 1）由已知）由已知c c=1,=1,a a- -b b+ +c c=0,=0,且且 解得解得a a=1,=1,b b=2.=2.f f( (x x)=()=(x x+1)+1)2 2. .;)2()2(, 0),(, 0),()(的值求FFxxfxxfxF, 12ab. 0,) 1(, 0,) 1()(22xxxxxFF F(2)+(2)+F F(-2)=(2+1)(-2)=(2+1)2 2+ +-(-2+1)-
39、(-2+1)2 2=8.=8.（2 2）f f( (x x)=)=x x2 2+ +bxbx，原命题等价于，原命题等价于-1-1x x2 2+ +bxbx11在在(0,1(0,1上恒成立，上恒成立，. 02, 21, 01. 1 , 0(11bxxxxxxbxxb的最大值为的最小值为又上恒成立在且即11.11.已知已知a a、b b、c c、d d是不全为零的实数，函数是不全为零的实数，函数 f f( (x x)=)=bxbx2 2+ +cxcx+ +d d, ,g g( (x x)=)=axax3 3+ +bxbx2 2+ +cxcx+ +d d, ,方程方程f f( (x x)=0)=0有
40、有实实 数根，且数根，且f f( (x x)=0)=0的实数根都是的实数根都是g g( (f f( (x x)=0)=0的根，反的根，反 之，之，g g( (f f( (x x)=0)=0的实数根都是的实数根都是f f( (x x)=0)=0的根的根. . （1 1）求）求d d的值；的值； （2 2）若）若a a=0=0，求，求c c的取值范围的取值范围. . 解解 （1 1）设）设r r为为f f( (x x)=0)=0的一个根，即的一个根，即f f( (r r)=0,)=0, 则由题意得则由题意得g g( (f f( (r r)=0)=0，于是，于是, ,g g(0)=(0)=g g(
41、(f f( (r r)=0,)=0, 即即g g(0)=(0)=d d=0.=0.所以，所以，d d=0.=0.（2 2）由题意及）由题意及(1)(1)知知f f( (x x)=)=bxbx2 2+ +cxcx, ,g g( (x x)=)=axax3 3+ +bxbx2 2+ +cxcx. .由由a a=0=0得得b b, ,c c是不全为零的实数，是不全为零的实数，且且g g( (x x)=)=bxbx2 2+ +cxcx= =x x( (bxbx+ +c c),),则则g g( (f f( (x x)=)=x x( (bxbx+ +c c) )bxbx( (bxbx+ +c c)+)+c
42、 c= =x x( (bxbx+ +c c)()(b b2 2x x2 2+ +bcxbcx+ +c c).).方程方程f f( (x x)=0)=0就是就是x x( (bxbx+ +c c)=0.)=0. 方程方程g g( (f f( (x x)=0)=0就是就是x x( (bxbx+ +c c)()(b b2 2x x2 2+ +bcxbcx+ +c c)=0. )=0. ()()当当c c=0=0，b b00时，方程时，方程的根都是的根都是x x=0=0符合符合题意题意. .()()当当c c0,0,b b=0=0时，方程时，方程的根都是的根都是x x=0=0符合符合题意题意. .()(
43、)当当c c0,0,b b00时，方程时，方程的根为的根为也都是也都是的根，但不是方程的根，但不是方程b b2 2x x2 2+ +bcxbcx+ +c c=0=0的实数根的实数根. .由题意方程由题意方程b b2 2x x2 2+ +bcxbcx+ +c c=0=0无实数根，无实数根，=(=(bcbc) )2 2-4-4b b2 2c c0,0,得得00c c4.4.综上所述：综上所述：c c的取值范围为的取值范围为0 0，4 4）. ., 021bcxx12.12.已知函数已知函数f f( (x x)=)=x x2 2, ,g g( (x x)=)=x x-1.-1. (1) (1)若存在
44、若存在x xR R使使f f( (x x)b bg g( (x x) )，求实数，求实数b b的取值范的取值范 围；围； (2)(2)设设F F（x x）= =f f( (x x)-)-mgmg( (x x)+1-)+1-m m- -m m2 2, ,且且| |F F( (x x)|)|在在 0 0，1 1上单调递增，求实数上单调递增，求实数m m的取值范围的取值范围. . 解解 （1 1）存在）存在x xR R, ,f f( (x x)bgbg( (x x) ) 存在存在x xR R, ,x x2 2- -bxbx + +b b0 (-00 b b04. 4. (2)(2)F F（x x）=
45、 =x x2 2- -mxmx+1-+1-m m2 2, ,=m m2 2-4(1-4(1-m m2 2）=5=5m m2 2-4.-4.当当00，即，即 时，则必需时，则必需当当0,0,即即 时时, ,设方程设方程F F( (x x)=0)=0的根为的根为x x1 1, ,x x2 2( (x x1 1 x x2 2). ). 552552m. 055255255202mmm552552mm或若若 1,1,则则x x1 10,0,若若 0,0,则则x x2 20,0,综上所述：综上所述：-1-1m m00或或m m2. 2. 2m; 201)0(122mmFm即2m;552101)0(022mmFm即