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1、第2课时 等差数列的性质1.1.理解等差数列、等差中项的概念，会用定义判定一个数理解等差数列、等差中项的概念，会用定义判定一个数 列是否是等差数列；列是否是等差数列；( (重点）重点）2.2.进一步加深对等差数列通项公式的理解、认识和应用；进一步加深对等差数列通项公式的理解、认识和应用；（难点）（难点）3.3.掌握等差数列的有关性质掌握等差数列的有关性质N（一一）等等差差数数列列的的概概念念 一一般般地地，如如果果一一个个数数列列从从第第2 2项项起起，每每一一项项与与它它的的前前一一项项的的差差等等差差数数等等于于同同一一个个常常数数，那那么么这这个个数数列列就就做做列列叫叫 *1.()nn
2、aadn （二二）等等差差中中项项的的概概念念由由三三个个数数 ， ， 组组成成的的等等差差数数列列可可以以看看成成最最简简单单的的等等差差数数列列，这这时时， 叫叫做做 与与 的的等等差差中中项项.aAbAab（三三）等等差差数数列列的的通通项项公公式式推推导导方方法法：迭迭加加法法. .推推广广的的通通项项公公式式：. .1(1)()nnmaandaanm d N等等差差数数列列的的性性质质 在在等等差差数数列列中中， 若若 则则 特特别别地地：若若则则思思考考：若若， 则则成成立立吗吗？*1., , ,2 ,2.33nmnpqmnppqnmamnpq m n p qaaaamnpaaap
3、qnmaaaa答：答：成立成立 若若是是公公差差为为 的的等等差差数数列列 则则和和也也是是等等差差数数列列. .2212.,nnnadaa 思考：思考：在上述两个数列中，首项和公差各是多少？在上述两个数列中，首项和公差各是多少？ 数数列列的的首首项项是是公公差差是是 数数列列结结论论项项差差：的的首首是是公公是是22211,2 ;,2 .nnaadaad 例例1 1 某市出租车的计价标准为某市出租车的计价标准为1.21.2元元/km/km，起步价为，起步价为1010元，元，即最初的即最初的4 km4 km（不含（不含4 4千米）计费千米）计费1010元元. .如果某人乘坐该如果某人乘坐该市的
4、出租车去往市的出租车去往14 km14 km处的目的地，且一路畅通，等候时处的目的地，且一路畅通，等候时间为间为0 0，需要支付多少车费，需要支付多少车费? ? 根根据据题题意意，当当该该市市出出租租车车的的行行程程大大于于或或等等于于4 km4 km时时，每每增增加加1 km1 km，乘乘客客需需要要支支付付1.21.2元元. .所所以以，我我们们可可以以建建立立一一个个等等差差数数列列来来计计算算车车费费. .令令表表示示 km km处处的的车车费费，公公差差d= .2d= .2：. .那那么么解解111.2,41naa 当当出出租租车车行行至至 处处时时，, ,此此时时需需要要支支付付车
5、车费费( (元元).).答答：需需要要支支付付车车费费元元. .1114 km1111.2(111) 1.223.223.2na 1方方法法技技巧巧. .建建立立等等差差数数列列的的数数学学模模型型；2.2.解解得得模模型型的的结结果果. .变式训练变式训练：梯子的最高一级宽：梯子的最高一级宽33 cm33 cm，最低一级宽，最低一级宽110 cm110 cm，中间，中间还有还有1010级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽. .解解: : 由题意知，建立一个等差数列由题意知，建立一个等差数列aan n 来计算中间各级来计算中间各级的宽，由已知条件
6、，有的宽，由已知条件，有a a1 1=33,a=33,a1212=110=110，n=12 , n=12 , 又又a a1212=a=a1 1+(12+(12- -1)d1)d，即即110110333311d11d，所以，所以 d=7d=7， 因此，因此，a a2 2=33+7=40=33+7=40，a a3 3=40+7=47=40+7=47， ，a a1111=96+7=103.=96+7=103.答：梯子中间各级的宽从上到下依次是答：梯子中间各级的宽从上到下依次是40 cm40 cm、47 cm47 cm、54 cm54 cm、61 cm61 cm、68 cm68 cm、75 cm75
7、cm、82 cm82 cm、89 cm89 cm、96 cm96 cm、103 cm.103 cm. 例例2 2 已已知知数数列列的的通通项项公公式式为为，其其中中， 为为常常数数，那那么么这这个个数数列列一一定定是是等等差差数数列列吗吗？napnqpqna 判判定定是是不不是是等等差差数数列列，可可以以利利用用等等差差数数列列的的定定义义，也也就就是是看看是是不不是是一一个个与与 无无关关的的常常数数分分析析：. .11nnnaaann 11(1)1().nnnnnnaaanaapnqp nqpnqpnpqpna 取取数数列列中中的的任任意意相相邻邻两两项项与与, ,求求差差得得-=-=它它
8、是是一一个个与与解解无无：关关的的常常数数. .所所以以是是等等差差数数列列. .证明等差数列的方法：证明等差数列的方法：1.1.利用定义利用定义; ;2.2.利用等差中项的性质利用等差中项的性质; ;3.3.利用通项公式是一次函数的性质利用通项公式是一次函数的性质. .例例4 4 在等差数列在等差数列aan n 中，中，(1)(1)已知已知 a a6 6+a+a9 9+a+a1212+a+a1515=20=20，求，求a a1 1+a+a2020. .(2)(2)已知已知a a3 3+a+a1111=10=10，求，求a a6 6+a+a7 7+a+a8 8. .解：解：由由a a1 1+a
9、+a20 20 =a=a6 6+a+a1515= a= a9 9+a+a12 12 及及a a6 6+a+a9 9+a+a1212+a+a1515=20=20，可得，可得a a1 1+a+a2020=10.=10.解：解：a a3 3+a+a11 11 =a=a6 6+a+a8 8 =2a=2a7 7 ，又又a a3 3+a+a1111=10=10， a a6 6+a+a7 7+a+a8 8= = （a a3 3+a+a1111）=15.=15.32熟记性质熟记性质(3)(3)已知已知 a a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7=56=56，a a4 4a a7 7=187=187
10、，求，求a a1414及公差及公差d.d.解解: :a a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7=56=56，aa4 4+a+a7 7=28=28， 又又a a4 4a a7 7=187=187， 联立解得联立解得a a4 4=17=17，a a7 7=11=11， a a4 4=11=11，a a7 7=17=17， 或或d= -2d= -2或或2, 2, 从而从而a a1414= -3= -3或或31.31.1.1.等差数列等差数列aan n 的前三项依次为的前三项依次为a-6a-6，2a-52a-5，-3a+2-3a+2，则，则 a a等于（等于（ ) )A. -1 B. 1
11、C.-2 D. 2A. -1 B. 1 C.-2 D. 2B B2(2a-5)=(-3a+2) +(a-6).2(2a-5)=(-3a+2) +(a-6).提示提示: :2. 2. （20122012福建高考）等差数列福建高考）等差数列aan n 中，中， 则则数列数列aan n 的公差为（的公差为（ ) )15410,7aaaA A1 1B B2 2C C3 3D D4 4B B提示提示: :1533432=10,=52aaaaaa ，, ,d d= =4. 4. 在等差数列在等差数列aan n 中中, ,(1)(1)若若a a5959=70=70，a a8080=112=112，求，求a
12、a101101；(2)(2)若若a ap p= q= q，a aq q= p ( pq )= p ( pq )，求，求a ap+qp+q. .d=2,d=2,a a101101=154=154d=-1,d=-1,a ap+qp+q =0=03.3.在数列在数列aan n 中中a a1 1=1=1，a an n= a= an+1n+1+4+4，则，则a a1010=_. =_. 提示：提示： d=ad=an+1n+1-a-an n=-4.=-4.-35-35（一）等差数列的基本性质（一）等差数列的基本性质1.1.在等差数列在等差数列aan n 中，若中，若m+n=p+qm+n=p+q，则，则a
13、am m+a+an n=a=ap p+a+aq q.(m,n,p,qN.(m,n,p,qN* *) )2.2.等差中项：如果等差中项：如果a a，A A，b b成等差数列，那么成等差数列，那么A A叫做叫做a a与与b b的等差中项的等差中项. .3.3.等差数列中项数成等差数列的项构成等差数列等差数列中项数成等差数列的项构成等差数列. .4.4.两个等差数列两个等差数列aan n,b,bn n 的和、差还是等差数列的和、差还是等差数列, ,即即aan nb bn n 也是等差数列，也是等差数列，papan n 、aan n+c+c也是等差数列也是等差数列. .（二）等差数列的证明（二）等差数列的证明1.1.利用定义利用定义; ;2.2.利用等差中项的性质利用等差中项的性质; ;3.3.利用通项公式是一次函数的性质利用通项公式是一次函数的性质. .要追求真理，认识真理，更要依赖真理，这是人性中的最高品德。 培根