《132函数的极值与导数（共78张）.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《132函数的极值与导数（共78张）.ppt（78页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1.3.2 函数的极值与导数一、函数极值的有关概念一、函数极值的有关概念1.1.极小值点与极小值：极小值点与极小值：(1)(1)函数特征函数特征: :函数函数y=f(x)y=f(x)在点在点x=ax=a的函数值的函数值f(a)f(a)比它在点比它在点x=ax=a附近其他点的函数值附近其他点的函数值_,_,且且f(a)=0.f(a)=0.都小都小(2)(2)导数符号导数符号: :在点在点x=ax=a附近的左侧附近的左侧f(x)_0,f(x)_0,右侧右侧f(x)_0.f(x)_0.(3)(3)结论：结论：_叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的极小值点的极小值点,_,_叫做函数叫做函数y=f
2、(x)y=f(x)的极小值的极小值. .点点a af(a)f(a)2.2.极大值点与极大值：极大值点与极大值：(1)(1)函数特征函数特征: :函数函数y=f(x)y=f(x)在点在点x=bx=b的函数值的函数值f(b)f(b)比它在点比它在点x=bx=b附近其他点的函数值都大附近其他点的函数值都大, ,且且f(b)=0.f(b)=0.(2)(2)导数符号导数符号: :在点在点x=bx=b附近的左侧附近的左侧f(x)_0,f(x)_0,右侧右侧f(x)_0.f(x)_0.(3)(3)结论：结论：_叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的极大值点的极大值点,_,_叫做函数叫做函数y=f(x)y
3、=f(x)的极大值的极大值. .点点b bf(b)f(b)3.3.极值的定义：极值的定义：(1)_(1)_与与_统称为极值统称为极值. .(2)(2)极值反映了函数在某一点附近的函数值的极值反映了函数在某一点附近的函数值的_,_,刻画刻画的是函数的的是函数的_._.极大值极大值极小值极小值大小情况大小情况局部性质局部性质思考：思考：函数的极值点与函数单调性有什么关系？函数的极值点与函数单调性有什么关系？提示：提示：极大值点是函数递增区间与递减区间的分界点，极小极大值点是函数递增区间与递减区间的分界点，极小值点是函数递减区间与递增区间的分界点值点是函数递减区间与递增区间的分界点. .二、函数在某
4、点取得极值的条件及求极值的方法二、函数在某点取得极值的条件及求极值的方法1.1.可导函数在某点取得极值的必要条件：可导函数在某点取得极值的必要条件：可导函数可导函数y=f(x)y=f(x)在点在点x=xx=x0 0处取得极值的必要条件是处取得极值的必要条件是_._.f(x)=0f(x)=02.2.求函数求函数y=f(x)y=f(x)的极值的方法：的极值的方法：解方程解方程f(xf(x0 0)=0)=0，当，当f(xf(x0 0)=0)=0时时(1)(1)如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧_，右侧，右侧_，那么，那么f(xf(x0 0) )是极大值是极大值. .(2)(2)如果在如果在
5、x x0 0附近的左侧附近的左侧_，右侧，右侧_，那么，那么f(xf(x0 0) )是极小值是极小值. . f(x)f(x)0 0f(x)f(x)0 0f f(x)(x)0 0f f(x)(x)0 0判断：判断：( (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)导数值为导数值为0 0的点一定是函数的极值点的点一定是函数的极值点.( ).( )(2)(2)在可导函数的极值点处，切线与在可导函数的极值点处，切线与x x轴平行轴平行.( ).( )(3)(3)函数函数 无极值无极值.( ).( )1f(x)x提示：提示：(1)(1)错误错误. .导数为零的点是该点为极值点的必要
6、条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件, ,而而不是充分条件不是充分条件. .例如例如y=xy=x3 3, ,当当x=0 x=0时，时，f(0)=0,f(0)=0,但不是极值点但不是极值点. .(2)(2)正确正确. .在可导函数的极值点处导数为零，所以在该点处的在可导函数的极值点处导数为零，所以在该点处的切线与切线与x x轴平行轴平行. .(3)(3)正确正确. .在定义域内在定义域内f(x)0,f(x)0,由极值的判断方法可知函数由极值的判断方法可知函数无极值无极值. .答案答案: :(1)(1) (2) (3) (2) (3)【知识点拨知识点拨】1.1.对极值概念的两点说明对极值概念的
7、两点说明(1)(1)函数的极值是一个局部性的概念函数的极值是一个局部性的概念, ,是仅对某一点的左右两是仅对某一点的左右两侧区域而言的侧区域而言的. .极值点是区间内部的点而不会是端点极值点是区间内部的点而不会是端点. .(2)(2)若若f(x)f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值, ,那么那么f(x)f(x)在某区间内一定不是在某区间内一定不是单调函数单调函数, ,即在区间上单调的函数没有极值即在区间上单调的函数没有极值. .2.2.函数极大值与极小值的关系函数极大值与极小值的关系函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比
8、极小值大定比极小值大, ,极小值不一定比极大值小极小值不一定比极大值小. .3.3.极值点与导数为零的关系极值点与导数为零的关系(1)(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即一定是极值点，即“点点x x0 0是可导函数是可导函数f(x)f(x)的极值点的极值点”是是“f(xf(x0 0)=0)=0”的充分不必要条件的充分不必要条件. .(2)(2)可导函数可导函数f(x)f(x)在点在点x x0 0处取得极值的充要条件是处取得极值的充要条件是f(xf(x0 0)=0)=0，且在且在x x0 0左侧和右侧左侧和右侧
9、f(x)f(x)的符号不同的符号不同. .(3)(3)如果在如果在x x0 0的两侧的两侧f(x)f(x)的符号相同，则的符号相同，则x x0 0不是不是f(x)f(x)的极值的极值点点. .4.4.极值点的分布规律极值点的分布规律(1)(1)函数函数f(x)f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值, ,它的极值点的分布是有规律它的极值点的分布是有规律的的, ,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点相邻两个极大值点之间必有一个极小值点, ,同样相邻两个同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点极小值点之间必有一个极大值点. .(2)(2)当函数当函数f(x)f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时
10、在某区间上连续且有有限个极值点时, ,函数函数f(x)f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的. .5.5.函数在极值点附近切线斜率的变化规律函数在极值点附近切线斜率的变化规律从曲线的切线角度看从曲线的切线角度看, ,曲线在极值点处切线的斜率为曲线在极值点处切线的斜率为0,0,并且并且, ,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正曲线在极大值点左侧切线的斜率为正, ,右侧为负右侧为负; ;曲线在极小曲线在极小值点左侧切线的斜率为负值点左侧切线的斜率为负, ,右侧为正右侧为正. . 类型类型 一一 求函数的极值点或极值求函数的极值点或极值 【典型例题典
11、型例题】1.(20121.(2012陕西高考陕西高考) )设函数设函数f(x)= +ln xf(x)= +ln x，则，则( )( )A.x= A.x= 为为f(x)f(x)的极大值点的极大值点B.x= B.x= 为为f(x)f(x)的极小值点的极小值点C.x=2C.x=2为为f(x)f(x)的极大值点的极大值点D.x=2D.x=2为为f(x)f(x)的极小值点的极小值点2x12122.(20132.(2013天津高二检测天津高二检测) )设函数设函数f(x)=axf(x)=ax3 3+ (2a-1)x+ (2a-1)x2 2-6x-6x(aR),(aR),(1)(1)当当a=1a=1时，求曲
12、线时，求曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(-1,f(-1)(-1,f(-1)处的切线方程处的切线方程. .(2)(2)当当a= a= 时，求时，求f(x)f(x)的极大值和极小值的极大值和极小值. .3213【解题探究解题探究】1.1.函数函数f(x)f(x)在在x=ax=a处取得极小值的条件是什么处取得极小值的条件是什么? ?2.2.如何求曲线如何求曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(-1,f(-1)(-1,f(-1)处的切线斜率处的切线斜率? ?导数为导数为0 0的点一定是极值点吗的点一定是极值点吗? ?探究提示：探究提示：1.f(a)=01.f(a)=0且在点且在点x=ax=a附近
13、的左侧附近的左侧f(x)f(x)0,0,右侧右侧f(x)f(x)0.0.2.(1)2.(1)切线斜率为切线斜率为k=f(-1).k=f(-1).(2)(2)不一定不一定, ,若导数为若导数为0 0的点的左右两侧导数符号相同的点的左右两侧导数符号相同, ,则该点则该点不是极值点不是极值点. .【解析解析】1.1.选选D.D.因为因为f(x)= +ln xf(x)= +ln x，所以所以 令令f(x)=0f(x)=0，即，即解得解得x=2.x=2.当当x x2 2时，时，f(x)f(x)0 0；当；当x x2 2时，时，f(x)f(x)0 0，所以所以x=2x=2为为f(x)f(x)的极小值点的极
14、小值点. .2x221f (x)xx ，2221x20 xxx ，2.(1)2.(1)当当a=1a=1时，时， f(x)=3xf(x)=3x2 2+3x-6,+3x-6,k=f(-1)=3-3-6=-6, k=f(-1)=3-3-6=-6, 所以所以即即12x+2y-1=012x+2y-1=0为所求切线的方程为所求切线的方程. .323f(x)xx6x,213f( 1),213y6(x1),2 (2)(2)当当a= a= 时，时，f(x)=xf(x)=x2 2-x-6.-x-6.令令f(x)=0f(x)=0得得x=-2x=-2或或x=3.x=3.当当x x变化时变化时,f(x),f(x),f(
15、x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表: :x x(-,-2)(-,-2)-2-2(-2,3)(-2,3)3 3(3,+)(3,+)f(x)f(x)+ +0 0- -0 0+ +f(x)f(x)单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增133211f(x)xx6x,32223272所以所以f(x)f(x)在在(-,-2)(-,-2)递增，在递增，在(-2,3)(-2,3)递减，递减，在在(3(3，+)+)递增，所以递增，所以f(x)f(x)的极大值为的极大值为f(-2)= ,f(-2)= ,f(x)f(x)的极小值为的极小值为f(3)= .f(3)= .223272【拓展提升拓展
16、提升】1.1.利用导数研究可导函数极值的一般思路利用导数研究可导函数极值的一般思路(1)(1)确定定义域确定定义域. .(2)(2)求导数求导数f(x).f(x).(3)(3)若求极值，则先求方程若求极值，则先求方程f(x)f(x)0 0的根，再检验的根，再检验f(x)f(x)在方程根左右值的符号，求出极值在方程根左右值的符号，求出极值. .当根中有参数时要注意分当根中有参数时要注意分类讨论类讨论. .若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)f(x)0 0根的大小或存在情况，从而求解根的大小或存在情况，从而求解. .2.2.函数函数f(x)=
17、axf(x)=ax3 3+bx+bx2 2+cx+d(a0)+cx+d(a0)的极值点的个数讨论的极值点的个数讨论函数函数f(x)f(x)的导数为的导数为f(x)=3axf(x)=3ax2 2+2bx+c,+2bx+c,令令3ax3ax2 2+2bx+c=0,=4b+2bx+c=0,=4b2 2-12ac.-12ac.(1)(1)0,0,函数函数f(x)f(x)有两个极值点有两个极值点. .(2)0,(2)0,函数函数f(x)f(x)无极值点无极值点. .【变式训练变式训练】求函数求函数f(x)= xf(x)= x3 3-4x+4-4x+4的极值的极值. .【解析解析】因为因为f(x)= f(
18、x)= x x3 3-4x+4,-4x+4,所以所以f(x)=xf(x)=x2 2-4=(x-2)(x+2).-4=(x-2)(x+2).令令f(x)=0,f(x)=0,解得解得x=2x=2或或x=-2.x=-2.当当x x变化时变化时,f(x),f(x),f(x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表: :x x(-,-2)(-,-2)-2-2(-2,2)(-2,2)2 2(2,+)(2,+)f(x)f(x)+ +0 0- -0 0+ +f(x)f(x)单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增132834313因此因此, ,当当x=-2x=-2时时,f(x),f(x)有极大值有极
19、大值, ,且极大值为且极大值为f(-2)= ;f(-2)= ;当当x=2x=2时时,f(x),f(x)有极小值有极小值, ,且极小值为且极小值为f(2)= .f(2)= .28343类型类型 二二 已知函数的极值求参数范围已知函数的极值求参数范围 【典型例题典型例题】1.1.设设aRaR，若函数，若函数y ye ex xaxax，xRxR有大于零的极值点，有大于零的极值点，则则( )( )A.aA.a-1-1B.aB.a-1-1C. C. D. D. 1ae1ae2.2.若函数若函数f(x)=xf(x)=x3 3-6bx+3b-6bx+3b在在(0(0，1)1)内有极小值，则实数内有极小值，则
20、实数b b的取的取值范围是值范围是_._.3.3.设函数设函数f(x)=2xf(x)=2x3 3-3(a+1)x-3(a+1)x2 2+6ax+8+6ax+8其中其中aRaR，(1)(1)若若f(x)f(x)在在x=3x=3处取得极值，求常数处取得极值，求常数a a的值的值. .(2)(2)若若f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上为增函数，求上为增函数，求a a的取值范围的取值范围. .【解题探究解题探究】1.1.函数取得极值的必要条件是什么？函数取得极值的必要条件是什么？2.2.函数在某一区间内有极值与函数在这一区间上的单调性有函数在某一区间内有极值与函数在这一区间上的单调性有何关系？
21、何关系？3.3.若函数若函数f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上为增函数，函数上为增函数，函数f(x)f(x)满足什么条件？满足什么条件？探究提示：探究提示：1.1.函数函数f(x)f(x)在某点取得极值的必要条件是该点的导数为在某点取得极值的必要条件是该点的导数为0.0.2.2.函数在某一区间上有极值说明函数在这一区间上既有递增函数在某一区间上有极值说明函数在这一区间上既有递增区间又有递减区间区间又有递减区间. .3.3.若函数若函数f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上为增函数，则函数上为增函数，则函数f(x)0f(x)0在在(-,0)(-,0)上恒成立上恒成立. .【解析解析】
22、1.1.选选A.yA.ye ex xa a0 0，e ex xa a，x xln(ln(a)a)，因为因为x x0 0，所以，所以ln(ln(a)a)0 0且且a a0.0.所以所以a a1 1，即，即a a1.1.2.f(x)=3x2.f(x)=3x2 2-6b,-6b,因为因为f(x)f(x)在在(0,1)(0,1)内有极小值，内有极小值，所以，函数所以，函数f(x)f(x)应满足条件，应满足条件， 即即 解得解得0b .0b .答案：答案：(0, )(0, )f (0) 0,f (1) 0,6b0,36b0,12123.(1)3.(1)由题意由题意f(x)=6xf(x)=6x2 2-6(
23、a+1)x+6a.-6(a+1)x+6a.因为函数因为函数f(x)f(x)在在x=3x=3处处取得极值，所以取得极值，所以f(3)=0f(3)=0，解得，解得a=3.a=3.经检验知经检验知a=3a=3时，时，x=3x=3为为f(x)f(x)的极值点的极值点. .(2)(2)方法一：方法一：f(x)=6xf(x)=6x2 2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).当当a a1 1时，时，f(x)f(x)在在(-,1),(a,+)(-,1),(a,+)上递增，上递增，符合条件符合条件. .当当a=1a=1时，时，f(x)=6(x-1)f(x
24、)=6(x-1)2 200恒成立，恒成立，f(x)f(x)在在(-,+)(-,+)上递增上递增. .当当a a1 1时，时，f(x)f(x)在在(-,a)(-,a)，(1(1，+)+)上递增，上递增，要保证要保证f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上递增，则上递增，则0a0a1.1.综上所述，综上所述，a0a0时，时，f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上递增上递增. .方法二：因为方法二：因为f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上递增，上递增，所以所以f(x)0f(x)0在在x(-,0)x(-,0)上恒成立上恒成立, ,也就是也就是6(x-a)(x-1)06(x-a)(x-1)0
25、在在x(-,0)x(-,0)上恒成立上恒成立. .即即x(x-1)a(x-1)x(x-1)a(x-1)在在x(-,0)x(-,0)上恒成立上恒成立. .因为因为x x0,0,所以所以x-1x-10,0,所以所以xa.xa.从而从而a0.a0.【拓展提升拓展提升】已知函数极值点或极值求参数的两个注意点已知函数极值点或极值求参数的两个注意点(1)(1)常根据极值点处导数为常根据极值点处导数为0 0和极值的两个条件列方程组，利和极值的两个条件列方程组，利用待定系数法求解用待定系数法求解. . (2)(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所
26、以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性用待定系数法求解后必须验证根的合理性. .【变式训练变式训练】已知关于已知关于x x的函数的函数如果函数如果函数f(x)f(x)在在x x1 1处取得极值处取得极值 则则b b_，c c_._.321f(x)xbxcxbc3，43 ，【解析解析】f(x)f(x)x x2 22bx2bxc c，由，由f(x)f(x)在在x x1 1处取得极值处取得极值 可得可得解得解得 或或若若b b1 1，c c1 1，则，则f(x)f(x)x x2 22x2x1 1(x(x1)1)2 200，此时此时f(x)f(x)没有极值；没有极值；43 ，f (1)1 2bc01
27、4f(1)bcbc33 ， ，b 1c1，b1c3.，若若b b1 1，c c3 3，则，则f(x)f(x)x x2 22x2x3 3(x(x3)(x3)(x1)1)， 当当3x13x0f(x)0，当，当x1x1时，时，f(x)0f(x)0.-12ac0.2.2.三次函数单调性与极值三次函数单调性与极值( (设设x x1 1x x2 2) )(1)(1)当当00时，若时，若a a0 0时，则时，则f(x)f(x)在在R R上是增函数；若上是增函数；若a a0 0时，则时，则f(x)f(x)在在R R上是减函数上是减函数. .(2)(2)当当0 0时，时，若若a a0 0时，则时，则f(x)f(
28、x)的增区间为的增区间为(-,x(-,x1 1) )和和(x(x2 2,+),+)，减区间，减区间为为(x(x1 1,x,x2 2),f(x),f(x1 1) )为极大值，为极大值，f(xf(x2 2) )为极小值；为极小值；若若a a0 0时，则时，则f(x)f(x)的减区间为的减区间为(-,x(-,x1 1) )和和(x(x2 2,+),+)，增区间，增区间为为(x(x1 1,x,x2 2) )，f(xf(x1 1) )为极小值，为极小值，f(xf(x2 2) )为极大值为极大值.(.(如图所示如图所示) )0000a0a0a0a0,+4)0,所以所以x x1 1x x2 2= =1,=
29、=1,所以所以a=9.a=9.2a18(2)(2)因为因为f(x)f(x)是关于是关于x x的一元二次函数的一元二次函数, ,开口向上开口向上, ,又因为又因为=36(a=36(a2 2+4)0,+4)0,所以所以f(x)=0f(x)=0一定有两个不等的实数根一定有两个不等的实数根x x1 1,x,x2 2, ,所以所以f(x)f(x)的递增区间为的递增区间为(-,x(-,x1 1),(x),(x2 2,+),+),递减区间为递减区间为(x(x1 1,x,x2 2),),故不存在实数故不存在实数a a使得使得f(x)f(x)在在(-,+)(-,+)上是单调函数上是单调函数. .1.1.已知已知
30、f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R，f(x)f(x)的导函的导函数数f(x)f(x)的图象如图所示，则的图象如图所示，则( )( )A.f(x)A.f(x)在在x x1 1处取得极小值处取得极小值B.f(x)B.f(x)在在x x1 1处取得极大值处取得极大值C.f(x)C.f(x)是是R R上的增函数上的增函数D.f(x)D.f(x)是是( (，1)1)上的减函数，上的减函数，(1(1，) )上的增函数上的增函数【解析解析】选选C.C.由图象易知由图象易知f(x)0f(x)0在在R R上恒成立，所以上恒成立，所以f(x)f(x)在在R R上是增函数上是增函数. .2.2.设函数设函数
31、f(x)=xef(x)=xex x, ,则则( () )A.x=1A.x=1为为f(x)f(x)的极大值点的极大值点B.x=1B.x=1为为f(x)f(x)的极小值点的极小值点C.x=-1C.x=-1为为f(x)f(x)的极大值点的极大值点D.x=-1D.x=-1为为f(x)f(x)的极小值点的极小值点【解析解析】选选A.A.因为因为f(x)=ef(x)=ex x-xe-xex x=e=ex x(1-x),(1-x),令令f(x)=0,f(x)=0,得得x=1.x=1.又又x1x0,x1,f(x)0,x1时时,f(x)0,f(x)0,所以所以x=1x=1是函数是函数f(x)f(x)的极的极大值
32、点大值点. .3.3.若函数若函数 在在x=1x=1处取极值，则处取极值，则a=( )a=( )A.1A.1B.3B.3C.2C.2D.4D.4【解析解析】选选B. B. 得得a=3.a=3.2xaf(x)x122222x(x1)(xa)x2xa3af (x),f (1)0,(x1)(x1)44.4.设函数设函数f(x)=axf(x)=ax3 3+bx+bx2 2+cx+cx在在x=1x=1和和x=-1x=-1处均有极值，处均有极值，且且f(-1)=-1f(-1)=-1，则，则a+b+c=_.a+b+c=_.【解析解析】因为因为f(x)=axf(x)=ax3 3+bx+bx2 2+cx,+cx
33、,所以所以f(x)=3axf(x)=3ax2 2+2bx+c,+2bx+c,则则 解得解得 所以所以a+b+c=1.a+b+c=1.答案：答案：1 1f (1)0,f ( 1)0,f( 1)1, 1a,2b0,3c.2 5.5.函数函数y=sin x+cos xy=sin x+cos x在在0 0，上的极大值为上的极大值为_._.【解析解析】因为因为y=cos x-sin x,xy=cos x-sin x,x0,0,，令，令y=0,y=0,即即cos x-sin x=0,cos x-sin x=0,得得x= .x= .当当xx0, 0, 时，时，y0,y0,当当x( ,x( ,时时, y0,
34、y0,所以函数所以函数y=sin x+cos xy=sin x+cos x在在x= x= 处取极大值，极大值为处取极大值，极大值为答案：答案：4444y2.26.6.求函数求函数f(x)= +3ln xf(x)= +3ln x的极值的极值. .【解析解析】函数函数f(x)= +3ln xf(x)= +3ln x的定义域是的定义域是(0,+),(0,+), 令令f(x)=0f(x)=0得得x=1.x=1.当当x x变化时，变化时，f(x),f(x)f(x),f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此当因此当x=1x=1时，时，f(x)f(x)有极小值，并且有极小值，并且f(1)=3,f(1)=3,无极大值无极大值. .3x3x22333(x1)f (x),xxx x x(0,1)(0,1)1 1(1,+)(1,+)f(x)f(x)- -0 0+ +f(x)f(x)极小值极小值3 3