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1、第一讲第一讲 函数的图象和性质函数的图象和性质主讲人：郭淼红主讲人：郭淼红江苏省海门中学江苏省海门中学一、基础梳理：一、基础梳理：1 1函数的概念函数的概念（1 1）一般地，设）一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按是两个非空的数集，如果按某种对应法则某种对应法则f, ,对于集合对于集合A中的每一个元素中的每一个元素x, ,在集在集合合B中都有惟一的元素中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫和它对应，这样的对应叫做从做从A A到到B B的一个的一个函数函数，通常记为，通常记为y=f(x), 其中所有其中所有的输入值的输入值x组成的集合组成的集合A叫做函数叫做函数y=f(x)定义域定义域；对
2、；对于于A中的每一个中的每一个x值，都有一个输出值值，都有一个输出值y与之对应，与之对应，将所有输出值将所有输出值y组成的集合称为函数的组成的集合称为函数的值域值域定义定义一个函数，函数的值域一个函数，函数的值域C与与B的关系是：的关系是： BC 1 1函数的概念函数的概念（2 2）函数的三要素：）函数的三要素：定义域、值域、定义域、值域、对应法则对应法则（两个函数当且仅当它们的三（两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应法则相同的两个函数是同一义域和对应法则相同的两个函数是同一函数）；函数）；2. 2. 函数的性质函数的性质（1
3、1）定义域：定义域：能使函数式有意义的实数能使函数式有意义的实数x x的的集合称为函数的定义域确定函数定义域时，集合称为函数的定义域确定函数定义域时，常从以下几个方面考虑：常从以下几个方面考虑：分式的分母不等分式的分母不等于于0 0；偶次根式中被开方式大于等于偶次根式中被开方式大于等于0 0；对数式的真数大于零，底数大于对数式的真数大于零，底数大于0 0且不等于且不等于1 1；指数为指数为0 0时，底数不等于时，底数不等于0.0.2. 2. 函数的性质函数的性质（2 2）值域值域：在函数在函数yf(x)中，与自变量中，与自变量x的值对应的的值对应的y的值叫做函数值，函数值的的值叫做函数值，函数
4、值的集合叫做函数的值域值域的求法较多，集合叫做函数的值域值域的求法较多，如：如：判别式法、三角代换法、反解法、不判别式法、三角代换法、反解法、不等式法、单调性法、图象法、数形结合法等式法、单调性法、图象法、数形结合法及导数法及导数法值域往往与实际问题中的最优值域往往与实际问题中的最优问题相关联问题相关联2. 2. 函数的性质函数的性质（3 3）奇偶性：奇偶性：如果对于函数如果对于函数yf(x)定义域内定义域内的任意一个的任意一个x，都有，都有f(x)f(x)(或或f(x)f(x)，那么函数，那么函数f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数( (或偶函或偶函数数) )在此定义中可以看出，只有当函数在此定
5、义中可以看出，只有当函数定义定义域域在数轴上所表示的区间在数轴上所表示的区间关于原点对称关于原点对称时，时，这个函数才可能具有奇偶性，然后再作判这个函数才可能具有奇偶性，然后再作判断断奇函数图像关于原点对称，偶函数图像奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于关于y轴对称轴对称. .2. 2. 函数的性质函数的性质（4 4）单调性单调性：一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域的定义域为为A A，区间，区间I IA A，如果对于区间，如果对于区间I I内的任意两个内的任意两个值值 ， ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就，那么就说说y=f(x)在区间在区间I I上是单调增函数，上是单调增函
6、数，I I称为称为y=f(x)的的单调增区间；当单调增区间；当 0)的图象，的图象，可由可由y=f(x)的图象向左的图象向左(+)或向右或向右(-)平移平移a个单位得到；个单位得到；y=f(x)b(b0)的图象，的图象，可由可由y=f(x)的图象向上的图象向上(+)或向下或向下(-)平移平移b个单位得到个单位得到3. 3. 函数的图像函数的图像（2）利用）利用图象变换法图象变换法作图，主要有：作图，主要有：对称变换：对称变换：y=f(x)与与y=f(-x)的图象关于的图象关于y y轴对称；轴对称；与与y= -f(x)的图象关于的图象关于x x轴对称；与轴对称；与y= -f(-x)的图象关的图象
7、关于原点对称；于原点对称；翻折变换：翻折变换： y=|f(xy=|f(x)|)|的图象可由的图象可由y=f(xy=f(x) )的图的图象在象在x x轴下方的部分以轴下方的部分以x x轴为对称轴翻折，其余部轴为对称轴翻折，其余部分不变得到；分不变得到；y=f(|xy=f(|x|)|)的图象可将的图象可将y=f(x)(x0)y=f(x)(x0)的部分作出的部分作出, ,x0 x0 x0时，时，f(xf(x)1.)1.求证：求证：y=f(x)是是R上的上的增函数；增函数；（2 2）若）若f(4)=5,f(4)=5,解不等式解不等式f(3mf(3m2 2-m-2)3-m-2)3解解：（：（1）设）设x
8、1,x2为实数，且为实数，且x1x2,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)= )= f(xf(x1 1)-f(x)-f(x1 1+x+x2 2-x-x1 1) ) =f(x=f(x1 1)-f(x)-f(x1 1)-f(x)-f(x2 2-x-x1 1)+1)+1所以函数所以函数y=f(x)在在R上是增函数上是增函数. =1-f(x=1-f(x2 2-x-x1 1) ) 因为因为x x1 1x1,)1, 所以所以1-f(x1-f(x2 2-x-x1 1)0)0即即f(xf(x1 1)f(x)0 x0时，时，f(xf(x)1.)1.求证：求证：y=f(x)是是R上的上的增函数；增函
9、数；（2 2）若）若f(4)=5,f(4)=5,解不等式解不等式f(3mf(3m2 2-m-2)3-m-2)3解解：（：（2） 因为因为f(4)=5f(4)=5，所以，所以f(2)=3f(2)=3又由又由(1)知函数知函数y=f(x)在在R上是增函数上是增函数. 因为因为f(3mf(3m2 2-m-2)3=f(2)-m-2)3=f(2) 所以所以3m3m2 2-m-22-m-22 所以不等式的解集为所以不等式的解集为 )34, 1(例题例题3 3：已知：已知0a1，f(ax)x . .(1)(1)求求f(x)的解析式，并求出的解析式，并求出f(x)的定义域；的定义域；(2)(2)判断并证明判断
10、并证明f(x)在在 上的单调性上的单调性x1),1a例题例题3 3：已知：已知0a0且且t11),tttfaalog1log)(1( )log,log=+aaf xxx(2)f(x)(2)f(x)在在 上是单调递减函数上是单调递减函数),1a证明：证明： x1, ,x2 2 ，且，且x1 x2, , ),1a)log1(loglog1log)()(则112212xxxxxfxfaaaa)loglog11 (log2112xxxxaaa0a1， ，2111xxa, 112xx，1log1xa，1log2xa，0log12xxa, 1loglog21xxaa, 0)()(12xfxf)()(即12
11、xfxff(xf(x) )在在 上是单调递减函数上是单调递减函数),1a(2)f(x)(2)f(x)在在 上是单调递减函数上是单调递减函数),1a证法二：证法二：xaxaxxfa2/logln1ln1)()log11 (ln12xaxa)log1log(ln122xxaxaaf(xf(x) )在在 上是单调递减函数上是单调递减函数),1a0a1，11ax，1logxa0)(/xf例题例题4 4：已知函数：已知函数f(x)= 是定义在是定义在R R上的上的 奇函数，其值域为奇函数，其值域为 .(1).(1)试求试求a,ba,b的值；的值；(2)(2)函数函数y=g(xy=g(x)( )( )满足
12、：当满足：当时时，g(x)=f(x),g(x+3)=g(x)lnmg(x)=f(x),g(x+3)=g(x)lnm( )(i)( )(i)求求g(xg(x) )在在 上的解析式；（上的解析式；（iiii）若函数）若函数g(xg(x) )在在 上的值域是闭区间，试探求上的值域是闭区间，试探求m m的取值范围，并说明理由的取值范围，并说明理由. .bxax241,413 , 0 x1mRx)6 , 3), 0 解解:(1)因为因为f(xf(x) )是奇函数，所以是奇函数，所以f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) ),)(2bxxxf所以可知可知a=0,a=0, 0)(0 xfx时，xbxxf
13、x1)(0时，)0 ,21)(0,21, 0()(0bxfxbxfx时，时，当，得，值域为定义域为又0,4141- )(bRxf, 4, 42bb所以所以. 4, 0ba所以例题例题4 4：已知函数：已知函数f(x)= 是定义在是定义在R R上的上的 奇函数，其值域为奇函数，其值域为 .(1).(1)试求试求a,ba,b的值；的值；(2)(2)函数函数y=g(xy=g(x)( )( )满足：当满足：当时时，g(x)=f(x),g(x+3)=g(x)lnmg(x)=f(x),g(x+3)=g(x)lnm( )(i)( )(i)求求g(xg(x) )在在 上的解析式；（上的解析式；（iiii）若函数）若函数g(xg(x) )在在 上的值域是闭区间，试探求上的值域是闭区间，试探求m m的取值范围，并说明理由的取值范围，并说明理由. .bxax241,41) 3 , 0 x1mRx)6 , 3), 0 解解:(2)（iiii）若函数）若函数g(xg(x) )在在 上的值域是闭区间，上的值域是闭区间，试探求试探求m m的取值范围，并说明理由的取值范围，并说明理由. .), 0 解解:(2)（iiii）若函数）若函数g(xg(x) )在在 上的值域是闭区间，上的值域是闭区间，试探求试探求m m的取值范围，并说明理由的取值范围，并说明理由. .), 0 解解:(2)解解:(2)