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1、第第19讲讲全等三角形全等三角形 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 全等图形及全等三角形全等图形及全等三角形 全等图形全等图形能够完全重合的两个图形就是能够完全重合的两个图形就是_全等图形的形状和全等图形的形状和_完全相同完全相同全等三全等三角形角形能够完全重合的两个三角形就是全等三能够完全重合的两个三角形就是全等三角形角形说明说明完全重合有两层含义：完全重合有两层含义：(1)(1)图形的形状相同；图形的形状相同；(2)(2)图形的大小相图形的大小相等等全等图形全等图形 大小大小第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 全等三角形的性质全等三角形的性质 性质性质
2、1 1全等三角形的对应边全等三角形的对应边_性质性质2 2全等三角形的对应角全等三角形的对应角_性质性质3 3全等三角形的对应边上的高全等三角形的对应边上的高_性质性质4 4全等三角形的对应边上的中线全等三角形的对应边上的中线_性质性质5 5 全等三角形的对应角平分线全等三角形的对应角平分线_相等相等 相等相等 相等相等 相等相等 相等相等 考点考点3 3 全等三角形的判定全等三角形的判定 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦基本基本判判定方定方法法1.三条边对应相等的两个三角形全等三条边对应相等的两个三角形全等(简记为简记为SSS)2.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全两个角和它们的夹边对应
3、相等的两个三角形全等等(简记为简记为_ )3.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等角形全等(简记为简记为_ )4.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等等(简记为简记为_ )5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等(简记为简记为_ )ASA AAS SAS HL 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦拓展延拓展延伸伸满足下列条件的三角形是全等三角形：满足下列条件的三角形是全等三角形：(1)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；有两边和其中一边上
4、的中线对应相等的两个三角形全等；(2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；(3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等；有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等；(4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；(5)有两边和其中一边上的高对应相等的锐角有两边和其中一边上的高对应相等的锐角(或钝角或钝角)三角形三角形全等；全等；(6)有两边和第三边上的高对应相等的锐角有两边和第三边上的高对应相等的锐角(或钝角或钝角)三角形全三角形全等等总结总结判定三角形全等，无
5、论哪种方法，都要有三组元素对应相等，判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等且其中最少要有一组对应边相等考点考点4 4 利用利用“尺规尺规”作三角形的类型作三角形的类型 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦1已知三角形的三边，求作三角形已知三角形的三边，求作三角形2已知三角形的两边及其夹角，求作三角已知三角形的两边及其夹角，求作三角形形3已知三角形的两角及其夹边，求作三角已知三角形的两角及其夹边，求作三角形形4已知三角形的两角及其其中一角的对边，已知三角形的两角及其其中一角的对边，求作三角形求作三角形5已知直角三角形一条直角边和斜边，求已知直角三角形一条直角
6、边和斜边，求作三角形作三角形考点考点5 5 角平分线的性质与判定角平分线的性质与判定 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦性质性质角平分线上的点到角两边的角平分线上的点到角两边的_相相等等判定判定角的内部到角两边的距离相等的点在角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的这个角的_上上距离距离 平分线平分线 第第19讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一全等三角形性质与判定的综合应用类型之一全等三角形性质与判定的综合应用命题角度：命题角度：1. 利用利用SSS、ASA、AAS、SAS、HL判定三角形全等；判定三角形全等；2. 利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题利用全等三角形的
7、性质解决线段或角之间的关系与计算问题例例1 2012重庆重庆 已知：如图已知：如图191，ABAE，12，B E，求证：，求证：BCED.图图191第第19讲讲 归类示例归类示例第第19讲讲 归类示例归类示例 1 1解决全等三角形问题的一般思路：先用全等三解决全等三角形问题的一般思路：先用全等三角形的性质及其他知识，寻求判定一对三角形全等的条角形的性质及其他知识，寻求判定一对三角形全等的条件；再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问件；再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题即由已知条件题即由已知条件( (包含全等三角形包含全等三角形) )判定新三角形全等、判定新三角形全等、相应的线段或角的
8、关系；相应的线段或角的关系； 2 2轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等；轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等； 3 3利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件，利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件，例如对顶角相等、互余、互补等例如对顶角相等、互余、互补等 类型之二全等三角形开放性问题类型之二全等三角形开放性问题 命题角度：命题角度：1. 1. 三角形全等的条件开放性问题；三角形全等的条件开放性问题；2. 2. 三角形全等的结论开放性问题三角形全等的结论开放性问题第第19讲讲 归类示例归类示例图图192 例例2 2012义乌义乌 如图如图192，在，在ABC中，点中，点D是是BC的的中
9、点，作射线中点，作射线AD，在线段，在线段AD及其延长线上分别取点及其延长线上分别取点E、F，连接，连接CE、BF.添加一个条件，使得添加一个条件，使得BDF CDE，并，并加以证明你添加的条件是加以证明你添加的条件是_(不添加辅助线不添加辅助线)DEDF 第第19讲讲 归类示例归类示例第第19讲讲 归类示例归类示例由于判定全等三角形的方法很多，所以题目中常给出由于判定全等三角形的方法很多，所以题目中常给出( (有有些是推出些是推出) )两个条件，让同学们再添加一个条件，得出全两个条件，让同学们再添加一个条件，得出全等，再去解决其他问题这种题型可充分考查学生对全等，再去解决其他问题这种题型可充
10、分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度等三角形的掌握的牢固与灵活程度 类型之三类型之三 利用全等三角形设计测量方案利用全等三角形设计测量方案 例例3 3 20122012柳州柳州 如图如图193，小强利用全等三角形的知，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端识测量池塘两端M、N的距离，如果的距离，如果PQO NMO，则，则只需测出其长度的线段是只需测出其长度的线段是()APO BPQ CMO DMQ第第19讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：全等三角形的判定全等三角形的判定 图图193B 第第19讲讲 归类示例归类示例 解析解析 要想利用要想利用PQOPQONMONMO求得求得MNM
11、N的长的长，只需求得线段，只需求得线段PQPQ的长，故选的长，故选B.B. 类型之四角平分线类型之四角平分线 例例4 4 (1)班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角(如图如图194所示所示)设计了如下方案：设计了如下方案：()AOB是一个任意角，将角尺的是一个任意角，将角尺的直角顶点直角顶点P介于射线介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与刻度与M、N重合，即重合，即PMPN，过角尺顶点，过角尺顶点P的射线的射线OP就是就是AOB的平分线的平分线()AOB是一个任意角，在边是一个任意角，在边OA、OB上分上分别
12、取别取OMON，将角尺的直角顶点，将角尺的直角顶点P介于射线介于射线OA、OB之间，移之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即重合，即PMPN，过角，过角尺顶点尺顶点P的射线的射线OP就是就是AOB的平分线的平分线 第第19讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：(1)角平分线的性质；角平分线的性质；(2)角平分线的判定角平分线的判定第第19讲讲 归类示例归类示例(1)方案方案()、方案、方案()是否可行？若可行，请证是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；明；若不可行，请说明理由；(2)在方案在方案()PMPN的情况下，继续移动角尺的情况下，继续移动角尺，同时使，同时使PMOA，PNOB.此方案是否可行？请此方案是否可行？请说明理由说明理由图图194第第19讲讲 归类示例归类示例第第19讲讲 归类示例归类示例(2)当当AOB是直角时，方案是直角时，方案()可行可行四边形内角和为四边形内角和为360，又若，又若PMOA，PNOB，则，则OMPONP90，MPN90，AOB90.若若PMOA，PNOB，且且PMPN，OP为为AOB的平分线的平分线当当AOB不为直角时，此方案不可行不为直角时，此方案不可行因四边形内角和为因四边形内角和为360，若，若AOB不为直角，不为直角，则则PM、PN不可能垂直不可能垂直OA、OB.