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1、苏教版高中数学教材必修3 第2章 统计苏教版高中数学教材必修3 第2章 统计 在学校里，老师对学生经常这样说：在学校里，老师对学生经常这样说：“如果你的数如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大的问题学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大的问题” 确实，凭我们的学习经验可知，学生的物理成绩和确实，凭我们的学习经验可知，学生的物理成绩和数学成绩之间存在一种相关关系，当然，除此以外，还数学成绩之间存在一种相关关系，当然，除此以外，还存在其它影响物理成绩的因素，例如，是否喜欢物理，存在其它影响物理成绩的因素，例如，是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等等用在物理学习上的时间等等. .当我们
2、主要考虑数学成绩对当我们主要考虑数学成绩对物理成绩影响时，就是要考虑两者之间的相关关系物理成绩影响时，就是要考虑两者之间的相关关系. . 我们日常生活中存在许多相关关系的问题：我们日常生活中存在许多相关关系的问题： 1.商品销售收入与广告支出经费之间的关系；商品销售收入与广告支出经费之间的关系； 2.粮食产量与施肥量之间的关系；粮食产量与施肥量之间的关系； 3.人体脂肪和年龄之间的关系；人体脂肪和年龄之间的关系；苏教版高中数学教材必修3 第2章 统计 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与
3、当天气温天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：的对比表：气温气温2618131041杯数杯数202434385064 如果某天的气温是如果某天的气温是18，那么这一天的热茶销，那么这一天的热茶销量一定是量一定是24杯吗？当气温是杯吗？当气温是5时，你能根据这时，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？苏教版高中数学教材必修3 第2章 统计605040302010y3525155-5xOl作散点图；作散点图；气温气温2618131041杯数杯数202434385064散点散布在一条直线附近，故可散点散布在一条直线附近，故可以用一个线性函数来拟合数据！以
4、用一个线性函数来拟合数据！选择怎样的线性函数（直线）？选择怎样的线性函数（直线）？l选择能反映直线变化的两个点连线；选择能反映直线变化的两个点连线；l取一条直线，使位于直线两侧的点取一条直线，使位于直线两侧的点数基本相同；数基本相同；l多取几组点确定几条直线，分别计算其斜率和截距多取几组点确定几条直线，分别计算其斜率和截距的平均值，作为所求直线的斜率和截距；的平均值，作为所求直线的斜率和截距；l苏教版高中数学教材必修3 第2章 统计 上面这些方法虽然都有一定道理，但总让人感到上面这些方法虽然都有一定道理，但总让人感到可靠性不强可靠性不强.实际上，我们希望从整体上看，应该使实际上，我们希望从整体
5、上看，应该使得该直线与散点图中的点最接近得该直线与散点图中的点最接近. 如何衡量直线与散点图中的点的接近程度如何衡量直线与散点图中的点的接近程度?l考虑所有数据点到直线的距离的考虑所有数据点到直线的距离的 平方和；平方和；l考虑数据点和直线上和其横坐标相同的点距离的平考虑数据点和直线上和其横坐标相同的点距离的平方和；方和；用类似于估计总体平均数的思想：用类似于估计总体平均数的思想：化斜为直化斜为直距离计算不方便距离计算不方便苏教版高中数学教材必修3 第2章 统计Q(a，b)(26 b+a20)21286 b26a2140 ab3820 b460a1072(18 b+a24)2(13 b+a34
6、)2 (10 b+a38)2(4 b+a50)2(b+a64)2的的值值最最小小；时时，当当),(128623820140)1(baQab .),(12460140)2(的的值值最最小小时时，当当baQba .12460140,128623820140baab6477. 1 b5568.57 a5568.576477. 1 xy苏教版高中数学教材必修3 第2章 统计(a，b)是直线是直线 与各散点在垂直方向（纵与各散点在垂直方向（纵轴方向）上的距离的平方和，可以用来衡量直线轴方向）上的距离的平方和，可以用来衡量直线 与图中六个点的接近程度所以，设法与图中六个点的接近程度所以，设法取取a，b的值
7、，使的值，使Q(a，b)达到最小值这种方法叫达到最小值这种方法叫做做最小二乘法最小二乘法abxy abxy 苏教版高中数学教材必修3 第2章 统计请归纳最小二乘法的基本算法步骤请归纳最小二乘法的基本算法步骤!lS1 求离差的平方和求离差的平方和Q(a,b)并展开；并展开；lS2 将将Q(a,b) 整理为关于整理为关于b的二次函数的二次函数: Q(a,b) mb2+nb+k；lS3 当当b 时，时， Q(a,b) 取得最小值；取得最小值；mn2 lS4 将将Q(a,b) 整理为关于整理为关于a的二次函数的二次函数: Q(a,b) ma2+na+k；lS5 当当a 时，时， Q(a,b) 取得最小
8、值；取得最小值；mn 2lS6 联立关于联立关于a,b的二元一次方程组，解的二元一次方程组，解a,b .苏教版高中数学教材必修3 第2章 统计lS1 求离差的平方和求离差的平方和Q(a,b)并展开；并展开；2222211)()()(Qabxyabxyabxynn niiniiiniibybxaybx121212)()( 2QlS2 将将Q(a,b) 整理为关于整理为关于b的二次函数的二次函数lS3 当当b 时，时， Q(a,b) 取得最小值；取得最小值；mn2 niiniiixxayb121)(.1211 niininiiiixxaxy苏教版高中数学教材必修3 第2章 统计 niiiiniib
9、xybxyana1212)()(2QlS4 将将Q(a,b) 整理为关于整理为关于a的二次函数的二次函数:lS5 当当a 时，时， Q(a,b) 取得最小值；取得最小值；mn 2nxbynbxyaniniiiniii 111)(苏教版高中数学教材必修3 第2章 统计lS6 联立关于联立关于a,b的二元一次方程组，解的二元一次方程组，解a,b . .;111211nxbyaxxaxybniniiiniininiiii.)()(1112 niiiniiniiyxaxbx.)(11 niiniiynabx苏教版高中数学教材必修3 第2章 统计 niiniiniiiniiniiynabxyxaxbx1
10、11112.)(;)()( .,)()(1212111xbyaxxnyxyxnbniniiiniiniiniii苏教版高中数学教材必修3 第2章 统计xx1x2x3xnyy1y2y3yn2222211)()()(Qabxyabxyabxynn a,b的值使的值使Q取得最小值时，就称取得最小值时，就称 为拟合为拟合这这n对数据的对数据的线性回归方程线性回归方程，将该方程所表示的直线，将该方程所表示的直线称为称为回归直线回归直线abxy 苏教版高中数学教材必修3 第2章 统计例例 求三点（求三点（3，10），（），（7，20），），（11，24）的线性回归方程）的线性回归方程解解（1）作出散点图：
11、）作出散点图：;21117331 iix;5424201031 iiy;179121499312 iix.4342641403031 iiiyx.75. 575. 1 xy;75. 1211793542143432 b.75. 575. 1321354 a苏教版高中数学教材必修3 第2章 统计l很明显，用多项式拟合比用线性拟合好，图中的很明显，用多项式拟合比用线性拟合好，图中的R2就是用来描述这一特征的就是用来描述这一特征的!苏教版高中数学教材必修3 第2章 统计 就是两个线性关系，它们相关程度也有区别，此就是两个线性关系，它们相关程度也有区别，此时描述它们相关程度的时描述它们相关程度的r定义为：定义为： niniiiniiiyyxxyyxxr12121)()()(这个数值这个数值r称为称为 与与x的样本相关系数，简称的样本相关系数，简称相关系相关系数数当当r 0时，时， 与与x正相关正相关；当；当r 0时，时， 与与x负相负相关关可以证明可以证明r1r越接近越接近1，线性相关程，线性相关程度越高；度越高；r越接近于越接近于0，线性相关程度越低，线性相关程度越低y y y )(1221221 niiniiniiiynyxnxyxnyx