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1、解析几何中的定点定值问题解析几何中的定点定值问题定点定值定点定值问题的问题的结构特征结构特征定点定值问题的定点定值问题的考题分析考题分析定点定值定点定值问题的问题的处理方法处理方法定点定值定点定值问题的问题的命题策略命题策略 1 1定点定值的内涵定点定值的内涵 解析几何中，解析几何中，在在研究一些含研究一些含有参数的有参数的动态动态问题问题时，往往会有一些时，往往会有一些几何量不受几何量不受参数变化所参数变化所影响影响，这，这就构成了就构成了定点定值问题定点定值问题 定点定点问题的问题的本质本质也是也是定值定值问题，即坐标定问题，即坐标定2 2定点问题的类型定点问题的类型 （1 1）动动直线直
2、线过定点（过定点（2 2）动动曲线曲线过定点过定点3 3定值问题的类型定值问题的类型 （1 1）长度长度（包括弦长、距离等）（包括弦长、距离等） （2 2）面积面积（包括三角形、四边形、（包括三角形、四边形、多边形、多边形、圆等）圆等） （3 3）其它其它（包括角、斜率、数量积、参数）（包括角、斜率、数量积、参数） 以及以及以上以上各个量的和差积商各个量的和差积商等等 1定点定值考题的分布定点定值考题的分布 解析几何中的定点定值解析几何中的定点定值问题问题，一直一直是高考的是高考的热点热点问题，屡考不厌问题，屡考不厌在近在近5 5年年的的3232份份全国全国卷中，有卷中，有1717份份考查，考
3、查，占占53%53%，其中，其中定点定点7 7份份，定值定值7 7份份，既考定点又既考定点又考定值的考定值的3 3份份年份 试卷及题号 定点 定值备注2017(5)理20 椭圆，斜率和定值，直线过定点文理20椭圆，圆，直线过定点文20 圆，弦长为定值理20抛物线，圆过定点2018(4)文20 抛物线，斜率和为定值理19 椭圆，斜率和为定值文20 椭圆，线段差为定值，证明线段长成等差理20椭圆，线段差为定值，证明线段长成等差求公差年份试卷及题号定点 定值备注2019(4)文21 抛物线，圆，定点，线段差为定值理21 椭圆，角为定值（直角）文理21抛物线，直线过定点2020(3)文21理20椭圆，
4、数量积定值，直线过定点山东卷22 椭圆，定角，直线过定点，定圆2021新高考卷(B)21 双曲线，直线斜率之和为定值2定点定值考题的特点定点定值考题的特点（1 1）定点定点问题问题主要考查主要考查直线过定点直线过定点，只有一次，只有一次考考圆过定点；圆过定点；（2 2）定值问题定值问题考查丰富，主要是考查丰富，主要是线段长线段长、斜率斜率、角角等等为定为定值，或者是它们的值，或者是它们的和差积和差积为定值；为定值；（3 3）以解答题为主，多数在）以解答题为主，多数在椭圆椭圆中考查，中考查，其次是其次是抛物线，抛物线，双曲线只考一次，圆常和其它曲线一起考查，双曲线只考一次，圆常和其它曲线一起考查
5、，没有单独在没有单独在圆中考过圆中考过； （4 4）定点定值问题基本）定点定值问题基本不会重复不会重复考查已考过的考查已考过的同类型问题，所以要注意没有考查过的问题研究，同类型问题，所以要注意没有考查过的问题研究，如如曲线过定点曲线过定点问题，问题，面积定值面积定值问题，几何量问题，几何量比比为定为定值等等一些问题值等等一些问题 主要策略主要策略：在：在“变变化化” 中寻求中寻求“不变不变性性” 1 1常用常用方法方法 （1 1）直接法）直接法：解决问题的一般思路是：解决问题的一般思路是引入变量引入变量（设点或设直线等），（设点或设直线等），通过通过计算计算、推理推理、论证论证消去消去变量变量
6、, ,从而从而得到定点定值得到定点定值难难点是点是参数选择参数选择的策略和的策略和几何量的几何量的有效转化有效转化策略策略 主要有以下两种路径主要有以下两种路径：直接法直接法：一一设设二二用用三三消消变量变量（选择适当的动点坐标（选择适当的动点坐标或动线中系数为变量或动线中系数为变量）函数函数（把要证明为定值的量把要证明为定值的量表示成上述变量的函数表示成上述变量的函数）方程方程（把要证明为定值的量把要证明为定值的量和和上述变量表示成方程上述变量表示成方程）定值定值（得到的得到的方程对于方程对于变量变量恒成立恒成立从而得到定值）从而得到定值）（把得到的函数化简，把得到的函数化简，消去变量得到定
7、值消去变量得到定值）定点时常用定点时常用定值时常用定值时常用（2 2）间接法间接法：特值引路，特值引路，先先找找后证后证找找 ：从特殊从特殊元素元素入手入手找到定值找到定值证证：再证明这个值与变量无关再证明这个值与变量无关 间接法间接法是是探求探求定点定值常用定点定值常用的的方法方法，不不但能但能求求出定值出定值，而且还而且还可以可以提供目标提供目标和和思路，思路，客观题客观题可直接得到答案可直接得到答案 “ “特殊特殊元素元素”是指：特殊是指：特殊点点、特殊特殊值值、特殊、特殊直线直线、特殊特殊图形图形、特殊特殊位置位置（极端极端、极限极限），），例如斜率不存例如斜率不存在的直线在的直线、通
8、过两条特殊直线交点得到定点、通过两条特殊直线交点得到定点等等 善于善于退，退，足够地足够地退，退到原始退，退到原始而不失重要的地方，而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍是学好数学的一个诀窍-华罗庚华罗庚 （3 3）几何法）几何法：运用圆锥曲线运用圆锥曲线的的几何几何定义定义和和几何几何特征特征（平面几何方法）求解定点定值问题（平面几何方法）求解定点定值问题 2.2.运算技巧运算技巧 解析几何考查解析几何考查关键能力关键能力的核心的核心是是求解运算能力求解运算能力，永远躲不过的是永远躲不过的是计算关计算关，一般计算较繁，而且不同解一般计算较繁，而且不同解法之间的繁简差异较大法之间的繁简差异较大
9、 定点定值问题的运算既有解析几何运算的一般性，定点定值问题的运算既有解析几何运算的一般性，也有特殊性，其也有特殊性，其运算的运算的目标目标和和方向方向比较比较明确明确，只要掌，只要掌握一些必要的技巧，还是能够快速地算出结果的握一些必要的技巧，还是能够快速地算出结果的 （1 1）在运算过程中，尽量在运算过程中，尽量减少减少所求表达式中所求表达式中变变量量的个数，以便向定值靠拢的个数，以便向定值靠拢，变量多虽然容易列出关，变量多虽然容易列出关系式，但会造成消元困难系式，但会造成消元困难； （2 2）巧妙利用变量间的关系，尽量做到巧妙利用变量间的关系，尽量做到“设而设而不求不求”、整体代入整体代入（
10、如韦达定理）（如韦达定理）、等式的、等式的恒成立恒成立、特殊值代入特殊值代入等等方法方法简化运算简化运算； （3 3）注意注意对偶运算对偶运算、同构思想同构思想的运用，减少运的运用，减少运算量；算量； （4 4）注意一些注意一些经典经典模型的常见识处理方法与技模型的常见识处理方法与技巧巧如如“手电筒手电筒”模型模型的的齐次化齐次化与与算两次算两次方法等方法等 1 1基于基于高等数学高等数学知识和圆锥曲线中已有的定点知识和圆锥曲线中已有的定点定值的定值的相关结论相关结论 （1 1）阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆 （2 2）极点极线极点极线 （3 3）二级结论）二级结论 2 2运用运用数学软件（几何画板、数学软件（几何画板、GeoGebraGeoGebra）通过通过变量控制探究定点定值变量控制探究定点定值