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1、2.2.2 椭圆的几何性质2 椭圆的标准方程椭圆的标准方程)0(1)1 (2222babyax)0(1)2(2222baaybx1. 1. 椭圆的定义：平面内到两定点距离之和椭圆的定义：平面内到两定点距离之和(2(2a) )大于定长大于定长(2(2c) )的点的轨迹的点的轨迹(2(2a2 2c).).通过研究通过研究 曲线的方程曲线的方程,可以知道可以知道曲线的性质曲线的性质.)0( 12222babyax问题1你能找出上述方程中你能找出上述方程中x，y的取值的取值范围吗范围吗?由上式知122ax122by所以 axabyb探索新知一、椭圆的范围一、椭圆的范围 oxy由由12222byax即即
2、byax和说明：椭圆位于直线说明：椭圆位于直线x=a和和y=b所围成的所围成的矩形之中矩形之中112222byax和问题问题2 2以以x代换代换x，以，以y代换代换y，方程改变吗方程改变吗?同时以同时以x代换代换x，以，以y代换代换y，方程改变吗方程改变吗?问题问题3 3 若点若点P(x，y)在椭圆上在椭圆上,点点(x，y)与椭圆与椭圆有什么关系有什么关系? 点点(x，y)与椭圆有什么关系与椭圆有什么关系?点点(x，y)与椭圆又有什么关系与椭圆又有什么关系?问题问题4 4 这说明椭圆具备什么性质呢这说明椭圆具备什么性质呢? ?想一想? ?二、对称性二、对称性椭圆的对称性椭圆的对称性yxOP（x
3、，y）P1（x，y）P2（x，y）从图形上看，从图形上看，椭圆关于椭圆关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称椭圆是椭圆是轴对称轴对称图象，也是图象，也是中心中心对称对称图形图形x轴和轴和y轴轴是它的对称轴，是它的对称轴，坐标原点坐标原点是它的对称中心是它的对称中心结论结论 通过上面的分析,我们得到判断曲线是否对称的方法：以以x代换代换x, ,若方程不变若方程不变, ,则曲线关于则曲线关于y轴对称；轴对称；若以若以- -y代换代换y, ,方程不变方程不变, ,曲线关于曲线关于x轴对称轴对称; ;同时以同时以 x代换代换x, ,以以 y代换代换y, ,方程不变方程不变, ,则方程关于则方程关于坐
4、标原点对称坐标原点对称. . 在下列方程所表示的曲线中在下列方程所表示的曲线中, ,关于关于x轴和轴和y轴都对称的是轴都对称的是( ( ) ) A. x 24y B. x 22 x yy 0 C. x 24y25x D.9x 2y24看一看三、顶点三、顶点如图,设椭圆的方程为 同学们计算一下椭圆与坐标轴的交点坐标.答案：A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)线段A1A2叫做椭圆的长轴线段B1B2叫做椭圆的短轴22221(0)xyabab在椭圆的标准方程中,椭圆与坐标轴的交点叫椭圆的顶点A1A2B2B1xyOA1A2B2B1F2F1OxyB2F2 =aOF2 =cOB
5、2 =b 直角三角形直角三角形OB2F2,它反应了它反应了椭圆三个基本量之间的关系椭圆三个基本量之间的关系,所以所以叫做椭圆的叫做椭圆的特征三角形特征三角形.例例1求椭圆求椭圆 的长轴和短轴的长、离心的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并画出它的图形率、焦点和顶点的坐标，并画出它的图形.解：a=5 ,b=3c=4925192522yx所以,焦点坐标为(4，0)，(4，0)顶点坐标为(5，0)，(5，0)，(0，3)，(0，3)2a=10，2b=6注意：注意：长轴长轴=2a短轴短轴=2b例例2 2 求符合下列条件的求符合下列条件的椭圆的标准方程椭圆的标准方程(焦点在焦点在x轴上）：轴上）
6、：（1）焦点与长轴较接近的端点的距离为 ，焦点与短轴两端点的连线互相垂直；（2）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0）105我们来总结一下椭椭圆圆的的几几何何性性质质1 范围范围2 对称性对称性3 顶点顶点4 离心率离心率一、一、二、二、 性质的简单应用性质的简单应用三、曲线对称性的判定方法三、曲线对称性的判定方法归纳小结一、复习导引一、复习导引 求下列椭圆的长轴长、短轴长、顶求下列椭圆的长轴长、短轴长、顶点坐标和焦点坐标：点坐标和焦点坐标： （1）9x2+16y2=144； （2）4x2+3y2=12.二、学生活动二、学生活动 焦点在焦点在y轴上的椭
7、圆轴上的椭圆(ab0)，其范围、顶点、对称轴、对，其范围、顶点、对称轴、对称中心、长轴位置及长度、短轴位置称中心、长轴位置及长度、短轴位置及长度？及长度？12222bxay问题情境问题情境 取一条一定长的细绳，把它的两端取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画板的固定在画板的F1和和F2两点，当绳长大于两点，当绳长大于F1和和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆若细绳的长度固定不变，将一个椭圆若细绳的长度固定不变，将焦距分别增大和缩小，想象椭圆的焦距分别增大和缩小，想象椭圆的“扁扁”的程度的变
8、化规律的程度的变化规律椭圆的离心率椭圆的离心率 oxyace 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率叫做椭圆的离心率（1）离心率的取值范围：离心率的取值范围：因为因为 a c 0，所以，所以1 e 0（2）离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，从而，从而 b就越小，椭圆就越扁就越小，椭圆就越扁e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 0，从而，从而 b就越大，椭圆就越圆就越大，椭圆就越圆特例：特例：e =0，则，则 a = b，则，则 c=0，两个焦点重合，椭圆，两个焦点重合，椭圆 方程变为圆
9、方程变为圆ace 叫做椭圆的离心率.所以：e的取值范围: 0e c 0，ca椭圆更扁ca0椭圆更圆椭圆方程椭圆方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率)(012222 babyax)(012222 baaybx aaxbbyaaxbby对称轴：对称轴：x 轴轴 ，y轴轴对称中心对称中心 ：坐标原点：坐标原点对称轴：对称轴： x 轴，轴，y轴轴对称中心：坐标原点对称中心：坐标原点(a,0) (0,b)(0,a) (b,0)ace 0e1 ()椭圆的几何性质椭圆的几何性质例例1求椭圆求椭圆 的离心率的离心率解解：a5 ，b3,C4925192522yx例例2 2 求求焦距为焦距为8 8，离心率
10、为，离心率为0.80.8的椭圆的标准方程的椭圆的标准方程 例例3 3 已知椭圆已知椭圆 的离心率为的离心率为 ，求实数求实数m 的值的值 1422myx23巩固练习巩固练习1若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为其离心率为 2若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为成正三角形，则其离心率为 3若椭圆的若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为等分，则其离心率为 我们来总结一下椭椭圆圆的的几几何何性性质质1 范围范围2 对称性对称性3 顶点顶点4 离心率离心率一、一、二、二、 性质的简单应用性质的简单应用归纳小结