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1、简化解析几何运算技巧专题专题：简化解析几何运算的5个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需冗杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的经过，到达“望题兴叹的地步十分是高考经过中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面为此，从下面几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题经过，优化思维经过以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上典例如图，F1，F2是椭圆C1：x24y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是
2、C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A2B3C32D62解析由已知，得F1(3，0)，F2(3，0)，设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得?|AF1|AF2|4，|AF2|AF1|2a，|AF1|2|AF2|212，解得a22，故a2所以双曲线C2的离心率e3262答案D方法点拨此题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，进而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量对点演练抛物线y24mx(m0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(m,0)，则|PF|PA|的最小
3、值为_解析：设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|xPm，又|PA|2(xPm)2y2P(xPm)24mxP，则?|PF|PA|2(xPm)2(xPm)24mxP114mxP(xPm)2114mxP(2xPm)212(当且仅当xPm时取等号)，所以|PF|PA|22，所以|PF|PA|的最小值为22答案：22对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，经常能够用代点法求解典例已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的标准方程为()Ax2
4、45y2361Bx236y2271Cx227y2181Dx218y291解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，y1y22，?x21a2y21b21，x22a2y22b21，得(x1x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)b20，所以kABy1y2x1x2b2(x1x2)a2(y1y2)b2a2又kAB013112，所以b2a212又9c2a2b2，解得b29，a218，所以椭圆E的方程为x218y291答案D方法点拨此题设出A，B两点的坐标，却不需求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次建立几何量之间的关系，进而快速解决问题对点演练
5、过点M(1,1)作斜率为12的直线与椭圆C：x2a2y2b21(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则?x21a2y21b21，x22a2y22b21，(x1x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)b20，y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2y1y2x1x212，x1x22，y1y22，b2a212，a22b2又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，ca22即椭圆C的离心率e22答案：22某些涉及线段长度关系的问题能够通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但可以以利用一元二次方程，使相关
6、的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系后者往往计算量小，解题经过简捷典例(2016全国甲卷)已知椭圆E：x2ty231的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围解设M(x1，y1)，则由题意知y10(1)当t4时，E的方程为x24y231，A(2,0)由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4因而直线AM的方程为yx2将xy2代入x24y231，得7y212y0解得y0或y127，所以y1127因而AMN的面积S
7、AMN21212712714449(2)由题意知t3，k0，A(t，0)将直线AM的方程yk(xt)代入x2ty231，得(3tk2)x22ttk2xt2k23t0由x1(t)t2k23t3tk2，得x1t(3tk2)3tk2，故|AM|x1t|1k26t(1k2)3tk2由题设，直线AN的方程为y1k(xt)，故同理可得|AN|6kt(1k2)3k2t由2|AM|AN|，得23tk2k3k2t，即(k32)t3k(2k1)当k32时上式不成立，因而t3k(2k1)k32t3等价于k32k2k2k32(k2)(k21)k320，k320，解得32利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵敏
8、运用曲线是解析几何中重要的解题方法和技巧之一典例已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程是y3x，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为()Ax236y21081Bx29y2271Cx2108y2361Dx227y291解析由双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程是y3x，可设双曲线的方程为x2y23(0)由于双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点在抛物线y224x的准线上，所以F(6,0)是双曲线的左焦点，即336，9，所以双曲线的方程为x29y2271答案B方法点拨此题利用共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决避免了复杂的判
9、定、可能的分类讨论、冗杂的解方程组，事半功倍对点演练圆心在直线xy40上，且经过两圆x2y26x40和x2y26y280的交点的圆的方程为()Ax2y2x7y320Bx2y2x7y160Cx2y24x4y90Dx2y24x4y80解析：选A设经过两圆的交点的圆的方程为x2y26x4(x2y26y28)0，即x2y261x61y42810，其圆心坐标为?31，31，又圆心在直线xy40上，所以313140，解得7，故所求圆的方程为x2y2x7y320换元引参是一种重要的数学方法，十分是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够互相联络起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，到
10、达事半功倍常见的参数能够选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等在换元经过中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件典例设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点若|AP|OA|，证实直线OP的斜率k知足|k|3解法一：依题意，直线OP的方程为ykx，设点P的坐标为(x0，y0)由条件，得?y0kx0，x20a2y20b21.消去y0并整理，得x20a2b2k2a2b2由|AP|OA|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2x20a2，整理得(1k2)x202ax00而x00，于是x02a1k2，代
11、入，整理得(1k2)24k2?ab24又ab0，故(1k2)24k24，即k214，因而k23，所以|k|3法二：依题意，直线OP的方程为ykx，可设点P的坐标为(x0，kx0)由点P在椭圆上，得x20a2k2x20b21由于ab0，kx00，所以x20a2k2x20a21，即(1k2)x20a2由|AP|OA|及A(a,0)，得(x0a)2k2x20a2，整理得(1k2)x202ax00，于是x02a1k2，代入，得(1k2)4a2(1k2)2a2，解得k23，所以|k|3法三：设P(acos，bsin)(02)，则线段OP的中点Q的坐标为?a2cos，b2sin|AP|OA|?AQOP?k
12、AQk1又A(a,0)，所以kAQbsin2aacos，即bsinakAQcos2akAQ进而可得|2akAQ|b2a2k2AQa1k2AQ，解得|kAQ|33故|k|1|kAQ|3方法点拨求解此题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联络，降低运算量对点演练(2016长春市质量检测)椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为12，点P为椭圆上一动点，F1PF2面积的最大值为3(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连接A1A，A1B并延长分别交直线x4于R，Q两点，问RF2QF2能否为定值？若是，求出此定值；
13、若不是，请讲明理由解：(1)已知椭圆的离心率为12，不妨设ct，a2t，则b3t，其中t0，当F1PF2面积取最大值时，点P为短轴端点，因而122t3t3，解得t1，则椭圆的方程为x24y231(2)由(1)可知F2(1,0)，A1(2,0)设直线AB的方程为xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立?xmy1，x24y231，可得(3m24)y26my90，则y1y26m43m2，y1y2943m2，直线AA1的方程为yy1x12(x2)，直线BA1的方程为yy2x22(x2)，则R?4，6y1x12，Q?4，6y2x22，F2R?3，6y1x12，F2Q?3，6y2x22，则F2RF2Q96y1x126y2x226y1my136y2my23936y1y2m2y1y23m(y1y2)99将两式代入上式，整理得F2RF2Q0，即F2RF2Q为定值0