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1、2016高考数学专题-导数讲义doc_2016高考数学专题-导数讲义doc2016高考数学专题-导数讲义doc导数知识要点一、导数与积分1.导数设函数)(xfy=在0xx=处附近有定义，当自变量在0xx=处有增量x?时，则函数)(xfY=相应地有增量)()(00xfxxfy-?+=?，假如0?x时，y?与x?的比xy?有极限即xy?无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy=在0xx处的导数，记作)(0/xf或0/xxy=即xxfxxfxyxfxx?-?+=?=?)()(limlim)(00000/注：当x?趋近于0时，x趋近于0x0000/)()(lim)()(lim)(0xxx
2、fxfxxfxxfxfxxox-=?-?+=?2.导函数假如函数)(xfy=在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数)(/xf，进而构成了一个新的函数)(/xf。称这个函数)(/xf为函数)(xfy=在开区间内的导函数，简称导数，可以记作)(/xf或/y即)(/xf/yxxfxxfxyxx?-?+=?)()(limlim00注：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数)(xfy=在点0x处的导数就是导函数)(/xf在点0x的函数值。3.导数的几何意义函数)
3、(xf在0xx=处的导数就是曲线)(xfy=在点)(,(00xfx处的切线的斜率，因而，假如)(xfy=在点0x可导，则曲线)(xfy=在点)(,00xfx处的切线方程为2016高考数学专题-导数讲义doc2016高考数学专题-导数讲义doc)()(00/0xxxfxfy-=-。例.求曲线)2ln(+=xy在点P0,1-处的切线方程例.经过原点0,0作函数233)(xxxf+=的图像的切线，则切线方程为4.几种常见函数的导数0=CC为常数1)(-=nnnxxRnxxcos)(sin=xxsin)(cos-=xx1)(ln=xxee=)(aaaxxln)(=axxaln1)(log=5.运算法则
4、1导数的运算法则)(vuvu=)(.)()()(.)()(2121xfxfxfyxfxfxfynn+=?+=?)()(cvcvvccvuvvuuv=+=?+=c为常数)0(2-=?vvuvvuvu2复合函数的求导法则)(xufy=的导数xuxuyy=例.31292)(23-+-=xxxxf6.定积分1概念假如函数)(xf在区间ba,上连续，用分点bxxxxxxanii=-1210将区间ba,等分成n个小区间，在每个小区间iixx,1-上任取一点),2,1(nii=，作和式2016高考数学专题-导数讲义doc2016高考数学专题-导数讲义doc)()(11ininiifnabxf=-=?，当n时
5、，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数)(xf在区间ba,上的定积分，记作dxxfba?)(，即)(lim)(1ininbafnabdxxf?=-=这里a和b分别叫做积分的下限和上限，区间ba,叫做积分区间，函数)(xf叫做被积函数，x叫做积分变量，dxxf)(叫做被积式.注：定积分数值只与被积函数及积分区间ba,有关,与积分变量记号无关?=bababaduufdttfdxxf)()()(2性质dxxfkdxxkfbaba?=)()(k为常数?=bababadxxfdxxfdxxfxf)()()()(2121dxxfxfdxxfbabca?=+)()()(cbca3微积分基本定理一般的，
6、假如)(xf是区间ba,上的连续函数，并且)()(xfxF=，那么)()()(aFbFdxxfba-=?，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式，为了方便，经常把)()(aFbF-记作baxF)(，即)()()()(aFbFxFdxxfbaba-=?.例计算下列定积分的值?-215)1(dxxdxx?-222cos4常见定积分的公式banbanxndxx111+=?1-nbabaCxdxC=?C为常数2016高考数学专题-导数讲义doc2016高考数学专题-导数讲义docbabaxdxxcossin-=?babaxdxxsincos=?babaxdxxln1=?baxbaxedx
7、e=?5利用定积分求平面图形的面积画图象：在直角坐标系内画出大致图象确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定被积函数与积分的上下限用牛顿-莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分例.如图，阴影部分的面积是A32B329-C332D335二、导数的应用1.函数的单调性设函数)(xfy=在区间),(ba内可导，导函数)(xf在区间),(ba内知足0)(xf，则)(xfy=为增函数；0)(xf，则)(xfy=为减函数设函数)(xfy=在区间),(ba内可导，导函数)(xf在区间),(ba的任意子区间内都不恒等于0，则0)(xf，则)(xfy=为增函数；0)(
8、xf，则)(xfy=为减函数2016高考数学专题-导数讲义doc2016高考数学专题-导数讲义doc注：0)(xf是)(xf递增的充分条件，但不是必要条件，如32xy=在),(+-上并不是都有0)(xf，有一个点例外即x=0时0)0(=f，同样0)(xf是fx递减的充分非必要条件.一般地，假如)(xf在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正或负，那么fx在该区间上仍然是单调增加或单调减少的.例1、判定下列函数的单调性及单调区间1xxxfln23)(2-=21ln)(-=xxxf32)1(2)(xexxfx-=42)(-=xexfx5)20)(cos1(sin)(+=xxxxf例2、已知函数常
9、数Raxxaxxf+=,0)(2.若函数)(xf在)+，2上单调递增，求a的取值范围.变式训练：已知函数13)(23+-+=xxaxxf在R上是减函数，求a的取值范围例3、设函数)1ln()1()(+-=xaaxxf，其中1-a，求)(xf的单调区间变式训练：已知函数1,ln)1(21)(2-+-=axaaxxxf，试判定函数单调性2016高考数学专题-导数讲义doc2016高考数学专题-导数讲义doc例4、当0x时，证实不等式xex221x时，证实不等式)1ln(xx+2.函数的极值1定义设函数)(xf在点0x附近有定义，假如对0x附近的所有点，都有)()(0xfxf，则)(0xf是函数)(
10、xf的一个极大值，记作)(0极大值xfy=；假如对0x附近的所有点，都有)()(0xfxf，则)(0xf是函数)(xf的一个极小值，记作)(0极小值xfy=.极大值与极小值统称为极值.在定义中，获得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。注意下面几点：极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比拟是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值能够不止一个。极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下列图所示，1x函数的极值点一定出如今区间的内
11、部，区间的端点不能成为极值点。而使函数获得最大值、最小值的点可能在区间的内部，可以能在区间的端点。由上图能够看出，在函数获得极值处，假如曲线有切线的话，则切线是水平的，进而有2016高考数学专题-导数讲义doc2016高考数学专题-导数讲义doc)(=xf。但反过来不一定。如函数3xy=，在0=x处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设x使0)(=xf，那么x在什么情况下是的极值点呢？如上左图所示，若x是)(xf的极大值点，则x两侧附近点的函数值必须小于)(xf。因此，x的左侧附近)(xf只能是增函数，即0)(xf。x的右侧附近)(xf
12、只能是减函数，即0)(xf，进而我们得出结论：若x知足0)(=xf，且在x的两侧)(xf的导数异号，则x是)(xf的极值点，)(xf是极值，并且假如)(xf在x两侧知足“左正右负，则x是)(xf的极大值点，)(xf是极大值；假如)(xf在x两侧知足“左负右正，则x是)(xf的极小值点，)(xf是极小值。例.求函数44313+-=xxy的极值。2判定)(xf是极值的方法当函数)(xf在点x处连续时，假如在x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，那么)(xf是极大值；假如在x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，那么)(xf是极小值.注：若点x是可导函数)(xf的极值点，则)(xf=0.但反过来不
13、一定成立.对于可导函数，其一点x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数3)(xxfy=，0=x使)(xf=0，但0=x不是极值点.2016高考数学专题-导数讲义doc2016高考数学专题-导数讲义doc例如：函数|)(xxfy=，在点0=x处不可导，但点0=x是极小值点3求极值步骤：确定函数的定义域；求导数；求方程/y=0的根，这些根也称为可能极值点；检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)例1、求下列函数的极值1672+-=xxy2xxy273-=例2、已知函数xbxaxxf3)(23-+=在1=x的时候取极值，讨论)1()1(-ff和是函数的极
14、大还是极小值例3、已知函数)0(3)(3+-=abaxxxf1若曲线)(xfy=在点，)2(2f处与直线8=y相切，求ba,的值2求函数)(xf的单调区间和极值3函数的最值1在闭区间ba,上连续的函数)(xf在ba,上必有最大值与最小值；2求最值步骤：设函数)(xf在ba,上连续，在()ba,内可导求)(xf在()ba,内的极值；将)(xf的各个极值与)(af、)(bf比拟，其中最大的一个是)(xf的最大值，最小的2016高考数学专题-导数讲义doc2016高考数学专题-导数讲义doc一个是)(xf的最小值.注：闭区间ba,上的连续函数一定有最值；开区间),(ba内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可以能没有一个.在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目的函数；假如函数在区间内只要一个极值点，那么根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比拟.例1、函数452+-=xxy在区间1,1-上的最大值与最小值