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1、 应用两个计数原理应注意的问题 (1)分类要做到分类要做到“ ”，分类后再对，分类后再对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数和，得到总数 (2)分步要做到分步要做到“ ”完成了所有步骤，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立分步后再计算每一步的方法数，最后根据立分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数乘，得到总数不重不漏不重不漏步骤完整步骤完整 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理的综合应用 用用0，
2、1，2，3，4这五个数字可以这五个数字可以组成多少个无重复数字的：组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码）银行存折的四位密码（2）四位数）四位数（3）四位奇数）四位奇数 题后感悟(1)对于组数问题，一般按特殊位对于组数问题，一般按特殊位置置(一般是末位和首位一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中由谁占领分类，分类中再按特殊位置再按特殊位置(或者特殊元素或者特殊元素)优先的方法分步优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解面求解 (2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善
3、于挖掘排数时，要有些条件是隐藏的，要善于挖掘排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则注意特殊元素、特殊位置优先的原则 8张卡片上写着张卡片上写着0,1,2，7共共8个数字，取其个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？的三位数？ 解析：解析：先排放百位从先排放百位从1,2，7共共7个数中个数中选一个有选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的数外，剩余的7个数个数(包括包括0)中选一个，有中选一个，有7种种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的剩
4、余的6个数中选一个，有个数中选一个，有6种选法由分步乘种选法由分步乘法计数原理，共可以组成法计数原理，共可以组成776294(个个)不不同的三位数同的三位数 用用5种不同颜色给图中的种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少种不同的涂色方案？不同，问有多少种不同的涂色方案？ 解题过程先分为两类：先分为两类： 第一类，当第一类，当D与与A不同色，则可分为四步完不同色，则可分为四步完成第一步涂成第一步涂A有有5种方法，第二步涂种方法，第二步涂B有有4种种方法，第三步涂方法，第三步涂C有有
5、3种方法，第四步涂种方法，第四步涂D有有2种 涂 法 ， 由 分 步 乘 法 计 数 原 理 ， 共 有种 涂 法 ， 由 分 步 乘 法 计 数 原 理 ， 共 有5432120种方法种方法 第二类，当第二类，当D与与A同色，分三步完成，第一步同色，分三步完成，第一步涂涂A和和D有有5种方法，第二步涂种方法，第二步涂B有有4种方法，第种方法，第三步涂三步涂C有有3种方法，由分步乘法计数原理共种方法，由分步乘法计数原理共有有54360(种种)，所以共有，所以共有12060180种不同的方案种不同的方案 题后感悟染色问题是考查计数方法的一种常见问题，由于这类问题常常涉及分类与分步，所以在高考题中
6、经常出现，处理这类问题的关键是要找准分类标准，像本题中A、D颜色是否相同对其他区域的涂色有影响 .如图，要给地图如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别四个区域分别涂上涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？颜色，不同的涂色方案有多少种？ 解析：按地图按地图A、B、C、D四个区域依次涂四个区域依次涂色，分四步完成：色，分四步完成： 第一步，涂第一步，涂A区域，有区域，有3种选择；种选择； 第二步，涂第二步，涂B区域，有区域，有2种选择；种选择； 第三步，涂第三步，
7、涂C区域，由于它与区域，由于它与A、B区域不同，区域不同，有有1种选择；种选择； 第四步，涂第四步，涂D区域，由于它与区域，由于它与B、C区域不同，区域不同，有有1种选择种选择 所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方案种数共有方案种数共有32116(种种) 3. 用红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入用红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？方法？ 解析：给各区域标记号给各区域标记号A、B、C、D、E，则，则A区域
8、区域有有4种不同的涂色方法，种不同的涂色方法，B区域有区域有3种，种，C区域有区域有2种，种，D区域有区域有2种，但种，但E区域的涂色依赖于区域的涂色依赖于B与与D涂色的颜涂色的颜色，如果色，如果B与与D颜色相同有颜色相同有2种，如果不相同，则只有种，如果不相同，则只有一种一种. 因此应先分类后分步因此应先分类后分步 第一类，第一类，B、D涂同色时，有涂同色时，有4321248种，种， 第二类，当第二类，当B、D不同色时，有不同色时，有4321124种，种， 故共有故共有482472种不同的涂色方法种不同的涂色方法 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种种蔬菜品种中选出蔬菜品种中
9、选出3种，分别种在不同种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法植，求有多少种不同的种植方法 解题过程解题过程方法一方法一(直接法直接法)：若黄瓜种在第：若黄瓜种在第一块土地上，则有一块土地上，则有3216种不同种植方种不同种植方法法 同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3216种故不同的种植方法共有种故不同的种植方法共有6318种种 方法二方法二(间接法间接法)：从：从4种蔬菜中选出种蔬菜中选出3种，种在种，种在三块地上，有三块地上，有43224种，其中不种黄瓜种，其中不种黄瓜有有3
10、216种，故共有不同种植方法种，故共有不同种植方法24618种种 题后感悟题后感悟对于同一个事件的处理，往往可对于同一个事件的处理，往往可以采用不同的处理方法，从而得到不同的解法，以采用不同的处理方法，从而得到不同的解法，但结果肯定是相同的，用这种方法可以起到很但结果肯定是相同的，用这种方法可以起到很好的检验效果好的检验效果 按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分问题的基本思想方法，区分“分类分类”与与“分步分步”的关键，是验证你提供的某一种方法是否完成的关键，是验证你提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成
11、了这了这件事情，分类中的每一种方法都完成了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步事情，只是向事情的完成迈进了一步 4.如图，用如图，用6种不同的作物把图中种不同的作物把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能种植同一种作四块区域分开，若相邻区域不能种植同一种作物，则不同的种法共有物，则不同的种法共有() A400种种 B460种种 C480种种 D496种种 解析：解析：从从A开始，有开始，有6种方法，种方法，B有有5种，种，C有有4种，种，D、A种相同作物种相同作物1种，种，D、A不同不同作物作物3种，种， 不
12、同种法有不同种法有654(13)480种故种故选选C. 答案：答案：C 某校学生会由高一年级某校学生会由高一年级5人，高二年级人，高二年级6人，高三年级人，高三年级4人组成人组成 (1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？的选法？ (2)若每年级选若每年级选1人为校学生会常委成员，有多人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？少种不同的选法？ (3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？织的两项活动，有多少种不同的选法？ 规范解答(1)分三类：第一类，从高一年级分三类：第一类，从高一
13、年级选一人，有选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选种选择；第二类，从高二年级选一人，有一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一种选择；第三类，从高三年级选一人，有人，有4种选择由分类加法计数原理，共有种选择由分类加法计数原理，共有56415(种种)选法选法.4分分 (2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种种选择由分步乘法计数原理，共有选择由分步乘法计数原理，共有564120(种种)选法选法.8分
14、分 (3)分三类：高一、高二各一人，共有分三类：高一、高二各一人，共有5630(种种)选法；高一、高三各一人，共有选法；高一、高三各一人，共有5420(种种)选法；高二、高三各一人，共有选法；高二、高三各一人，共有6424(种种)选法；由分类加法计数原理，共有选法；由分类加法计数原理，共有30202474(种种)选法选法.12分分 题后感悟使用两个原理解题的本质使用两个原理解题的本质 应用两个计数原理应注意的问题 (1)分类要做到分类要做到“ ”，分类后再对，分类后再对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数和，得到总数 (2)分步要做到分步
15、要做到“ ”完成了所有步骤，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立分步后再计算每一步的方法数，最后根据立分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数乘，得到总数不重不漏不重不漏步骤完整步骤完整 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理的综合应用 5.有一项活动，需在有一项活动，需在3名老师，名老师，8名男同学和名男同学和5名女同学中选人参加名女同学中选人参加 (1)若只需一人参加，有多少种不同方法？若只需一人参加，有多少种不同方法？ (2)若需老师、男同学、女同学
16、各一人参加，若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？有多少种不同选法？ (3)若需一名老师，一名学生参加，有多少种若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？不同选法？ 解析：(1)有三类选人的方法：有三类选人的方法：3名老师中选一人，名老师中选一人，有有3种方法；种方法；8名男同学中选一人，有名男同学中选一人，有8种方法，种方法，5名名女同学中选一人，有女同学中选一人，有5种方法种方法 由分类加法计数原理，共有由分类加法计数原理，共有38516(种种)选法选法 (2)分三步选人：第一步选老师，有分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步种方法；第二步选男同学，有选男同学，有
17、8种方法；第三步选女同学，有种方法；第三步选女同学，有5种方种方法由分步乘法计数原理，共有法由分步乘法计数原理，共有385120(种种)选选法法 (3)可分两类，每一类又分两步第一类，选一名老可分两类，每一类又分两步第一类，选一名老师再选一名男同学，有师再选一名男同学，有3824(种种)选法；第二类，选法；第二类，选一名老师再选一名女同学，共有选一名老师再选一名女同学，共有3515(种种)选选法法 由分类加法计数原理，共有由分类加法计数原理，共有241539(种种)选法选法 1两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用 对于某些问题，有时既要用分类计数原理，又对于某些问题，有时既要用分类计数
18、原理，又要用分步计数原理，重视两个原理的灵活运用，要用分步计数原理，重视两个原理的灵活运用，并注意以下几点：并注意以下几点： (1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理解题目中所讲的要理解题目中所讲的“事情事情”是什么，完成这是什么，完成这件事情的含义和标准是什么件事情的含义和标准是什么小结：小结： (2)明确完成这件事情需要明确完成这件事情需要“分类分类”还是还是“分分步步”，还是既要，还是既要“分类分类”又要又要“分步分步”，并搞，并搞清清“分类分类”或或“分步分步”的具体标准是什么的具体标准是什么 (3)在分析过程中，如能借助一些图形、示意在分析过
19、程中，如能借助一些图形、示意图、表格帮助分析，可以使问题更加直观、清图、表格帮助分析，可以使问题更加直观、清楚楚 2两个计数原理的使用方法两个计数原理的使用方法 (1)合理分类，准确分步合理分类，准确分步 处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是题首先弄清楚是“分类分类”还是还是“分步分步”，接下，接下来要搞清楚来要搞清楚“分类分类”或者或者“分步分步”的具体标准的具体标准是什么分类时需要满足两个条件：是什么分类时需要满足两个条件：类与类类与类之间要互斥之间要互斥(保证不重复保证不重复)；总数要完备总数要完备(保证保证不遗漏不遗漏)也就是要
20、确定一个合理的分类标也就是要确定一个合理的分类标准分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，准分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性确保连续性 (2)特殊优先，一般在后特殊优先，一般在后 解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想的主次思想 (3)分类讨论，数形结合，转化与化归分类讨论，数形结合，转化与化
21、归 分类讨论就是把一个复杂的问题，通过正确划分类讨论就是把一个复杂的问题，通过正确划分，转化为若干个小问题予以击破，这是解决分，转化为若干个小问题予以击破，这是解决计数问题的基本思想计数问题的基本思想 数形结合，转化与化归也是化难为易，化抽象数形结合，转化与化归也是化难为易，化抽象为具体，化陌生为熟悉，化未知为已知的重要为具体，化陌生为熟悉，化未知为已知的重要思想方法，对解决计数问题至关重要思想方法，对解决计数问题至关重要 有有4种不同的作物可供选择种植在如图所种不同的作物可供选择种植在如图所示的示的4块试验田中，每块种植一种作物，相块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田邻的试验田(有公共
22、边有公共边)不能种植同一种作物，不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？共有多少种不同的种植方法？ 【错解】第一步，种植第一步，种植A试验田有试验田有4种方法；种方法； 第二步，种植第二步，种植B试验田有试验田有3种方法；种方法； 第三步，种植第三步，种植C试验田有试验田有3种方法；种方法； 第四步，种植第四步，种植D试验田有试验田有2种方法；种方法； 由分步乘法计数原理知，共有由分步乘法计数原理知，共有N433272种种植方法种种植方法 【错因错因】若按若按A、B、C、D的顺序依次种植的顺序依次种植作物，会导致作物，会导致D试验田的种植数受试验田的种植数受C试验田的试验田的影响，情况复
23、杂实际上种植影响，情况复杂实际上种植C、D两块试验两块试验田再作为一步，用分类加法计数原理求解田再作为一步，用分类加法计数原理求解 【正解】方法一：方法一：第一步，第二步与错解相第一步，第二步与错解相同同 第三步，若第三步，若C试验田种植的作物与试验田种植的作物与B试验田相试验田相同，则同，则D试验田有试验田有3种方法，此时有种方法，此时有133种种种植方法种植方法 若若C试验田种植的作物与试验田种植的作物与B试验田不同，则试验田不同，则C试试验田有验田有2种种植方法，种种植方法，D也有也有2种种植方法，共种种植方法，共有有224种种植方法种种植方法 由分类加法计数原理知，有由分类加法计数原理
24、知，有347种方法种方法 第四步，由分步乘法计数原理有第四步，由分步乘法计数原理有N43784种不同的种植方法种不同的种植方法 方法二：方法二：(1)若若A、D种植同种作物，则种植同种作物，则A、D有有4种不同的种法，种不同的种法，B有有3种种植方法，种种植方法，C也有也有3种种种植方法，由分步乘法计数原理，共有种植方法，由分步乘法计数原理，共有43336种种植方法种种植方法 (2)若若A、D种植不同作物，则种植不同作物，则A有有4种种植方法，种种植方法，D有有3种种植方法，种种植方法，B有有2种种植方法，种种植方法，C有有2种种种植方法，由分步乘法计数原理，共有种植方法，由分步乘法计数原理，共有432248种种植方法种种植方法 综上所述，由分类加法计数原理，共有综上所述，由分类加法计数原理，共有N364884种种植方法种种植方法.