8-非线性系统理论.ppt

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1、8.1 8.1 引言引言8.2 8.2 典型非线性特性的数学描述及其对系典型非线性特性的数学描述及其对系统性能的影响统性能的影响8.3 8.3 描述函数法描述函数法8.4 8.4 相平面法相平面法 8.1.1 非线性系统特点非线性系统特点8.1.2 研究非线性系统的意义与方法研究非线性系统的意义与方法非线性系统与线性控制系统相比，具有一非线性系统与线性控制系统相比，具有一系列新的特点系列新的特点 1. 1. 线性系统满足叠加原理，而非线性控制线性系统满足叠加原理，而非线性控制系统不满足叠加原理。系统不满足叠加原理。滤波器滤波器 I滤波器滤波器 II非线性器件非线性器件 I非线性器件非线性器件

2、IIX1+X2Y1Y2 图图81 带滤波器的非线性系统带滤波器的非线性系统 2.2. 非线性系统的稳定性不仅取决于控制系非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件以及外加输入有关系。始条件以及外加输入有关系。例：对于一由非线性微分方程例：对于一由非线性微分方程 X = - x( 1 x ) (8-1). 描述的非线性系统，显然有两个平衡点，描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即即x1=0和和x2=1。将上式改写为将上式改写为dtxxdx)1(设设t0时，系统的初态为时，系统的初态为x0。积分上式可得积分上式可得ttexxextx

3、0001)(8-2) x(t)t1ln00 xx10 图图82 一阶非线性系统一阶非线性系统 3.3. 非线性系统可能存在自激振荡现象非线性系统可能存在自激振荡现象4.4. 非线性系统在正弦信号作用下，其输出非线性系统在正弦信号作用下，其输出存在极其复杂的情况：存在极其复杂的情况： （1）跳跃谐振和多值响应）跳跃谐振和多值响应 如图如图8 83 3所示的非线性弹簧输出的幅频特性所示的非线性弹簧输出的幅频特性。 )(A2 2.123445. 图图83 跳跃谐振与多值响应跳跃谐振与多值响应 (2)分频振荡和倍频振荡分频振荡和倍频振荡 非线性系统在正弦信号作用下，其稳态非线性系统在正弦信号作用下，其

4、稳态分量除产生同频率振荡外，还可能产生倍分量除产生同频率振荡外，还可能产生倍频振荡和分频振荡。如图频振荡和分频振荡。如图84所示波形。所示波形。输入信号输入信号倍频信号倍频信号分频信号分频信号ttt图图84 倍频振荡与分频振荡倍频振荡与分频振荡 1. 研究非线性系统的意义研究非线性系统的意义 1）实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。线性系统理论无法解释非线性因素所产生不

5、一致。线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响。的影响。 2）非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响。影响。 2. 研究非线性系统的方法研究非线性系统的方法 1）相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的方法。析非线性系统特性的方法。 2）描述函数法是受线性系统频率法启发，而发描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性

6、化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。的推广。 3 3）计算机求解法是利用计算机运算能力和高速计算机求解法是利用计算机运算能力和高速度对非线性微分方程的一种数值解法。度对非线性微分方程的一种数值解法。 2. 研究非线性系统的方法研究非线性系统的方法8.2.1 饱和特性饱和特性 8.2.2 死区特性死区特性 8.2.3 间隙间隙 8.2.4 继电特性继电特性 在电子放大器中常见的一种非线性，如在电子放大器中常见的一种非线性，如图图85所示，所示， 饱和装置的输入特饱和装置的输入特性的数学描述如下：性的数学描述如下： )()()(0tsigne

7、ketketx00)()(eteete(8-1)xekbe0-e0 图图85 饱和特性饱和特性 死区特性也称为不灵敏区，如图死区特性也称为不灵敏区，如图8-68-6所示。所示。其其数学描述数学描述如下：如下： )()(0)(0tsigneetektx00)()(eteeteX(t)e(t)e0-e0k 图图86 死区特性死区特性(8-3)如图如图8-7所示，它的所示，它的数学描述数学描述如下：如下：)()()()(00tbsigneeteketektxX(t)0X(t)0,ee0; e(t)-e0e0,ee0; e0,e0, ee0eme0e0, -meee0e0, -e0e0, e-mee0

8、, e a时，饱和特性输出时，饱和特性输出x(t)为为tKAKatKAtxsinsin)(ttt0(8-15)式中，式中，Aa1sin由于输出波形为奇函数，由于输出波形为奇函数， A10 ,01111BAtg01)(sin)(2ttdtxB211sin2AaAaAaKA饱和特性描述函数求得如下：饱和特性描述函数求得如下： 211sin2AaAaAaKABAN1)(8-17)2. 死区特性死区特性 当输入当输入 时，非线性特性输入输时，非线性特性输入输出波形如图出波形如图811所示。所示。 tAtesin)(X(t)X(t)e(t)e(t)ttk.-aa图图811 死区特性及输入输出波形死区特性

9、及输入输出波形 由图所示，当由图所示，当 时，且时，且A a，式中式中 , ,死区输出为死区输出为tAtesin)(0)sin(0)(atAKtxttt0(8-18)输出为奇函数，输出为奇函数，A10 ， 0101)(sin)(2ttdtxB211sin22AaAaAaKA(8-19)Aa1sin死区描述函数求得为死区描述函数求得为)(AN211sin22AaAaAaK(8-20)3. 间隙间隙 当输入当输入 时时，由间隙的数学由间隙的数学描述可知，间隙输出描述可知，间隙输出x(t) x(t) 为为tAtesin)(tatAKtaAKtatAK)sin(2)(20)sin(X(t)=(8-21

10、)式中式中AaA2sin1201)(cos)sin(2ttdatAKA2)(cos)(2ttdaAK)(cos)sin(2ttdatAKAaAaKA24(8-22)212122sin2AaAAaAAaAKAB1(8-23)于是，可求得间隙的描述函数于是，可求得间隙的描述函数N（A）为为 )(AN221)(42122sin2AAaaKjAaAAaAAaAK1)(jeAN221222122sin2)(4)(AaAAaAAaAKAAaaKAN(8-25)212112122sin2)(4AaAAaAAaAAAaatg(8-26)4. 继电特性继电特性 假定输入假定输入 ，继电特性输出为，继电特性输出为

11、 tAtesin)(00)(btxttt22110式中式中 , Aa11sinAma12sinAmab) 1(2A1(8-27)22112AaAmabB1(8-28)具死区和磁滞回环继电特性的描述函数具死区和磁滞回环继电特性的描述函数N（A）为为 11112121)()(BAjtgjeABAAeANAN22422) 1(1122)(AamAamAamAbAN2221111) 1(AaAamAamtg(8-29)(8-30)(8-31)当当a 0 时，可求如图时，可求如图814所示继电特性所示继电特性的描述函数为的描述函数为 AbAN4)(X(t)e(t)-bb图图814 理想继电特性理想继电特

12、性 (8-32)当当m1，a0 时，可求如图时，可求如图815所示具死所示具死区的继电特性的描述函数为区的继电特性的描述函数为 214)(AaAbANX(t)e(t)b-ba-a 图图815 具死区继电特性具死区继电特性(8-33)当当m1时，可求得如图时，可求得如图816所示具滞环所示具滞环的继电特性的描述函数为的继电特性的描述函数为 2114)(AaAajtgeAbANX(t)e(t)b-b-aa 图图816 具滞环继电特性具滞环继电特性(8-34)1. 串联非线性串联非线性 如图如图817所示串联非线性。串联非线性所示串联非线性。串联非线性特性的描述函数绝不等于两个非线性描述特性的描述函

13、数绝不等于两个非线性描述函数的乘积。函数的乘积。 NL1NL2xyz图图817 串联非线性串联非线性 假定图假定图817中中NL1为死区非线性，为死区非线性，NL2为为饱和非线性，它们串联后复合非线性如图饱和非线性，它们串联后复合非线性如图818所示所示XYZxyk1a1yzk2b1 (a) 串联非线性串联非线性 XZk1k2a1a1+11kb （b） 复合非线性复合非线性 zx2. 并联非线性并联非线性 并联非线性特性如图并联非线性特性如图819所示。所示。 NL1NL2xy1y2y图图819 并联非线性并联非线性 N(A) = N1(A) + N2(A) +例例 求如图求如图820所示非线

14、性特性的描述函数。所示非线性特性的描述函数。 Y=X23X1X2X0Y+h-h图图820 多重非线性多重非线性解：解： 显然，显然，31210120303103233XXXXXXXXXY)()()()()(4321ANANANANAN求求N1（A）：）： 03314)(sin2httdhB AhABAN3114)(求求N2（A）：）：输入输出为线性关系输入输出为线性关系 N2（A） 3h2 求求N3（A）：）： 0321)(sin32ttdhAB28hAhAAN8)(3求求N4（A）：）： 因此，多重非线性的描述函数为因此，多重非线性的描述函数为 0431)(sin2ttdAB343A2443

15、)(AAN22343834)(AhAhAhAN 一非线性系统结构如图一非线性系统结构如图821所示，假所示，假定输入为零，图中定输入为零，图中N N（A A）为非线性环节的描为非线性环节的描述函数，若述函数，若 ,则则 tAXsin22G1N(A)G2HX1X1X2 X2Y 图图821 非线性系统非线性系统)sin()()()(2211tAjHjGjGX式中式中: 假定假定:)()()(21jHjGjGjeANAN)()( 则：则： 如果如果 等于等于X2(t)，则意味着产生了自激振荡，则意味着产生了自激振荡， 即即 ：)sin()()()()()(2212tAjHjGjGANtX)(2tX1

16、)()()()(21jHjGjGAN) 12(n（8-35）（8-36）综合公式（综合公式（835）（）（836）可得出系统产生自）可得出系统产生自激振荡的条件为激振荡的条件为)(1)(ANjG（8-37） 由公式（由公式（837），将乃魁斯特判据推广应），将乃魁斯特判据推广应用于非线性系统，可判断系统运动稳定性：用于非线性系统，可判断系统运动稳定性：线性线性部分为最小相位系统，若轨线部分为最小相位系统，若轨线 不包围不包围轨线轨线 ，则系统是稳定的，若轨线，则系统是稳定的，若轨线 包围轨线包围轨线 ，则系统是不稳定的，若，则系统是不稳定的，若 与与 相交，则意味着系统会产生自激振相交，则意味

17、着系统会产生自激振)(jG)(1AN)(1AN)(1AN)(jG)(jG荡，交点处荡，交点处 曲线所对应的角频率曲线所对应的角频率 为为自激振荡的角频率，交点处自激振荡的角频率，交点处 所对应的所对应的幅值幅值A为自激振荡的振幅值。为自激振荡的振幅值。 图图822所示所示 与与 的的相互关系相互关系曲线曲线 ImImReRe)(jG)(1AN)(1AN)(jG(a)(b)(jG)(1AN)(jG)(1AN(c)ImImReRe(d)(1AN)(1AN)(jG)(jGaaabbb图图822 曲线与曲线与 曲线相互关系曲线相互关系 )(jG)(1AN自激振荡的振幅和振荡频率由下面二式求得自激振荡的

18、振幅和振荡频率由下面二式求得 1)()(ANjG（8-38）（8-39） 例例 一继电控制系统结构如图一继电控制系统结构如图823所示。所示。继电器参数继电器参数a1，b3，试分析系统是否产试分析系统是否产生自激振荡，若产生自激振荡，求出振幅和生自激振荡，若产生自激振荡，求出振幅和振荡频率。若要使系统不产生自激振荡，应振荡频率。若要使系统不产生自激振荡，应如何调整继电器参数。如何调整继电器参数。) 1)(15 . 0(2sssbar=0图图823 继电控制系统继电控制系统解：带死区的继电特性的描述函数为解：带死区的继电特性的描述函数为 214)(1AabAANImRe)(jG)(1AN令令 ,

19、 ,求得极值点求得极值点将将a 1 ，b 3 代入下式代入下式又又令虚部为零求得令虚部为零求得 0)(1ANdAd 52.06)(12AAN) 125. 125. 0()5 . 01 (2) 125. 125. 0(3)(24224jjGaA22将将 代人实部求得代人实部求得令令求得两个振幅值求得两个振幅值 A1 1.11 ，A2 2.3 所以自激振荡的振幅为所以自激振荡的振幅为2.3，振荡频率为，振荡频率为 。为使系统不产生自激振荡，可令为使系统不产生自激振荡，可令 266. 05 . 11)(Re2jG5 . 1111122AA25 . 11)(12aAAN可求得继电器参数比可求得继电器参

20、数比 36. 2ab8.4.1 相轨迹及其绘制方法相轨迹及其绘制方法 8.4.2 奇点与极限环奇点与极限环8.4.3 用相平面法分析非线性系统用相平面法分析非线性系统对于一任意二阶非线性微分方程对于一任意二阶非线性微分方程 x + f(x, x)= 0 x + f(x, x)= 0 令令 x1 = x , x2 = x1 = x则则 x1 = x2 , x2 = -f ( x1 ,x2 )写成一般形式有写成一般形式有 x1 = P ( x1, x2 ) x2 = Q (x1 ,x1 ).（8-40）于是有于是有 若若 ， 是解析的，是解析的，在以在以x1为横坐标轴，为横坐标轴，x2为纵坐标的平

21、面上绘制一条为纵坐标的平面上绘制一条x2与与x1的关系曲线，我们把这样一条轨线称的关系曲线，我们把这样一条轨线称为为相轨迹相轨迹，由一族相轨迹组成的图像称为，由一族相轨迹组成的图像称为相相平面图平面图。而式（。而式（841）是相轨迹上某点处）是相轨迹上某点处切线的斜率。切线的斜率。 相轨迹上除平衡点外的任意一点只有一相轨迹上除平衡点外的任意一点只有一根相轨迹通过。根相轨迹通过。 ),(),(212112xxPxxQdxdx（8-41）),(21xxP),(21xxQ令令联立求解出的点联立求解出的点 称为系统平衡点。称为系统平衡点。由式由式可知，相轨迹在平衡点附近切线斜率不定，可知，相轨迹在平衡

22、点附近切线斜率不定，意味着有无穷多根相轨迹到达或离开平衡点。意味着有无穷多根相轨迹到达或离开平衡点。 0),(0),(2121xxQxxP（8-42）),(2010 xx0012dxdx（8-43）等倾线法等倾线法由式（由式（841）有）有如果令如果令 为一常数。为一常数。则则根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹通过这条线上的各点时，其切线的斜率都相通过这条线上的各点时，其切线的斜率都相),(),(212112xxPxxQdxdx12dxdx),(),(2121xxPxxQ（8-44）同，我们称之为等倾线。如果取不同的同，我们称之为等倾线。如果取不同的值

23、，值， 则可在相平面上绘制一系列则可在相平面上绘制一系列的等倾线。如图的等倾线。如图8 82727所示。所示。 21,1234图图827 用等倾线法绘制相轨迹用等倾线法绘制相轨迹 （x10,x20) 1. 奇点奇点奇点即为系统平衡点，它由方程组奇点即为系统平衡点，它由方程组 联立求解得到联立求解得到 将将 在平衡点附近展开成台劳在平衡点附近展开成台劳级数。级数。忽略高阶无穷小，忽略高阶无穷小， 且且x10 x200，0),(0),(2121xxQxxP（8-45）),(2010 xx),(21xxP),(21xxQ则有则有令令2)0, 0(2211)0, 0(12121),(),(),(xxx

24、xPxxxxPxxP2)0, 0(2211)0, 0(12121),(),(),(xxxxQxxxxQxxQ)0, 0(121),(xxxPa)0, 0(221),(xxxPb)0, 0(121),(xxxQc)0, 0(221),(xxxQd（8-47）则有则有 X1 = aX1 + bX2 X2 = cX1 + dX2系统特征方程系统特征方程特征方程的根为特征方程的根为根据特征方程根的性质，可将奇点分为如根据特征方程根的性质，可将奇点分为如下几种情况下几种情况.（8-48）0)()(2bcadda2)(4)(22, 1bcaddada（8-49）（8-50） 1) 同号相异实根同号相异实根

25、 此时此时 , ,当当 时，奇时，奇点称为稳定的结点，当点称为稳定的结点，当 时，奇点称时，奇点称为不稳定的结点，如图为不稳定的结点，如图8-28（a),（b）所示。所示。 )(4)(2bcadda0 da0 da(a) 稳定结点 （b）不稳定结点图图828 特征方程根为同号相异实根相轨迹特征方程根为同号相异实根相轨迹 2) 异号实根异号实根 此时，此时， ， 奇点称为鞍点。相轨迹奇点称为鞍点。相轨迹形状如图形状如图829所示。所示。0bcad)(4)(2bcadda0 da3） 重根重根此时，此时， 若若 ，此时称奇点为退化的稳定结点，此时称奇点为退化的稳定结点，若若 ，奇点称为退化的不稳定

26、结点，奇点称为退化的不稳定结点，对应的相轨迹如图对应的相轨迹如图830所示。所示。0 da图829 鞍点对应的相轨迹 (a) (b)图图830 重根对应的相轨迹重根对应的相轨迹 4） 共轭复根共轭复根此时此时 ，若，若 ，奇点奇点称为稳定焦点。称为稳定焦点。 若若 ，奇点称为不稳奇点称为不稳定的焦点，如图定的焦点，如图831所示。所示。 )(4)(2bcadda0)( da0 da (a) (b)图图831 共轭复根对应的相轨迹共轭复根对应的相轨迹 5） 纯虚根纯虚根 此时，此时， ，奇点称奇点称为中心点，对应的相轨迹如图为中心点，对应的相轨迹如图8 83232所示。所示。 0)( , 0)(

27、bcadda图图832 虚根对应的相轨迹虚根对应的相轨迹 2. 极限环极限环相平面图上的一根孤立的相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。封闭相轨迹称为极限环。它对应的系统会产生自激它对应的系统会产生自激振荡。如图振荡。如图833所示。所示。极限环有稳定的，不稳定极限环有稳定的，不稳定的和半稳定的。如图的和半稳定的。如图8-34（a),(b),（c)所示。所示。图图图图833 极限环极限环(a) 稳定的极限环稳定的极限环 (b) 不稳定的极限环不稳定的极限环(c) 半稳定的极限环半稳定的极限环用相平面法分析非线性系统的步骤如下：用相平面法分析非线性系统的步骤如下：1. 根据非线性特性将相平

28、面划分为若干根据非线性特性将相平面划分为若干区域，建立每个区域的线性微分方程来描区域，建立每个区域的线性微分方程来描述系统的运动特性；述系统的运动特性；2. 根据分析问题的需要，适当选择相平根据分析问题的需要，适当选择相平面坐标轴，通常为，或作为相平面的坐标面坐标轴，通常为，或作为相平面的坐标轴；轴；3. 根据非线性特性建立相平面上切换线方根据非线性特性建立相平面上切换线方程，必须注意的是，切换线方程的变量应与程，必须注意的是，切换线方程的变量应与坐标轴所选坐标变量一致；坐标轴所选坐标变量一致；4. 求解每个区域的微分方程，绘制相轨迹求解每个区域的微分方程，绘制相轨迹;；5. 平滑地将各个区域

29、的相轨迹连起来，得平滑地将各个区域的相轨迹连起来，得到整个系统的相轨迹。据此可用来分析非线到整个系统的相轨迹。据此可用来分析非线性系统的运动特性。性系统的运动特性。例：例： 如图如图8-36所示非线性控制系统在所示非线性控制系统在t 0时加上一个幅度为时加上一个幅度为6的阶跃输入，系统的初的阶跃输入，系统的初始状态为，问经过多少秒，系统状态可到达始状态为，问经过多少秒，系统状态可到达原点。原点。s+1221srex11uy- 图图8-36 继电控制系统继电控制系统解：列写运动方程解：列写运动方程 2y = u.11ue+e 0e+e 00.5 , e +e 0 .区域（区域（1）：）： e=

30、-0.5e= -0.5 + c1e= -0.25t2 + c1t + c2.代入初始条件有代入初始条件有 。 e= -0.5te= -0.25t2 + 6e= -e2 + 6相轨迹为一抛物线，如图相轨迹为一抛物线，如图8-37所示系统从所示系统从A出发到达出发到达B点，进入区域（点，进入区域（2）。）。B点坐标可点坐标可求得求得e = -2 , e = 2BB区域（区域（2）：）： e= 0.5e= 0.5t2 + c3e= 0.25t2 + c3t +c4代入初始条件求得代入初始条件求得 , 23c24cC(1,1) B(2,2) A(0,6) （1） （2） 图图 8-37.e= 0.5t

31、 2e= 0.25t2 2t +2e= e2 - 2.系统沿抛物线从系统沿抛物线从B点运动到点运动到C点，进入区域点，进入区域（1），），C点坐标可求得为（点坐标可求得为（1，1） 区域（区域（1） e= -0.5e= -0.5t + c5e= -0.25t2 + c5 + c6 由初始条件由初始条件c（1，1）可求可求 15c16ce= -0.5t + 1e= -0.25t2 + t 1e= -e2.系统沿抛物线由系统沿抛物线由C点运动到原点。由点运动到原点。由A点出点出发运动到原点发运动到原点O的时间的时间tAO可由下式求得可由下式求得 BOBCABAOtttt由各区域运动方程可分别求得由各区域运动方程可分别求得 tAB = 4 秒秒 tBC = 6秒秒 tCO = 2秒秒 tAO = 4 + 6 + 2 = 12秒秒