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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流激光束传输与变换哈工大研究生教材.精品文档.激光束传输与变换(教案)林殿阳哈尔滨工业大学光电子技术研究所目 录导 论- 1 -第一部分 理论基础- 3 -第一章 几何光学基础- 3 -1.1 傍轴光线方程及费马原理- 3 -1.2 光学系统的变换矩阵- 4 -1.3 变换矩阵的性质- 5 -1.4 ABCD定律 程函 菲涅耳数- 6 -1.5 光学系统的合成- 7 -1.6 光学系统的失调增广矩阵- 8 -第二章 电磁场理论基础- 9 -2.1 光波的传播与反射- 9 -2.2 基尔霍夫惠更斯衍射积分- 10 -第二部分 高斯光束及其传输与变
2、换- 11 -第一章 高斯光束- 11 -1.1 电磁场的运动方程- 11 -1.2 平面电磁波- 12 -1.3 球面波和任意简谐波- 13 -1.4 基模高斯光束- 16 -1.5 高阶模解厄密高斯光束- 18 -1.6 高阶模解 拉革尔高斯光束- 20 -1.7 椭圆高斯光束- 23 -1.8 偏心高斯光束- 25 -1.9 矢量高斯光束- 26 -第二章 高斯光束的衍射- 29 -2.1 惠更斯菲涅耳原理- 29 -2.2 高斯光束的夫琅和费衍射- 31 -2.3 高斯光束的菲涅耳衍射- 33 -2.4 高斯光束的衍射解释- 34 -2.5 线性偏振的贝赛尔高斯光束- 35 -2.6
3、高斯光束的衍射损耗- 36 -第三章 高斯光束的传输与变换- 40 -3.1 高斯光束的传输- 40 -3.2 高斯光束的成像变换- 42 -3.3 薄透镜对高斯光束的变换- 43 -3.4 望远镜系统对高斯光束的变换- 44 -3.5 偏心高斯光束与贝赛尔高斯光束的变换- 46 -第四章 光束整形与激光组束- 47 -4.1 空间整形- 47 -4.2 时间整形- 47 -4.3 激光组束- 48 -第三部分 导波光学- 49 -第一章 激光束在金属波导中的传输- 49 -1.1 空心圆波导中的传输模式及特性- 49 -1.2 空心矩形介质波导中的传输模式- 50 -1.3 圆波导与波导模式
4、的耦合损耗- 50 -第二章 激光束在平面介质波导中的传输- 52 -2.1 平面介质波导中的传输模式- 52 -2.2 波导定向耦合原理- 52 -第三章 光波在光纤中的传输- 54 -3.1 阶跃型光纤中的导模- 54 -3.2 弱导光纤的传输模式- 55 -3.3 渐变折射率光纤的传输模式- 55 -3.4 光脉冲在光纤中传输的群延时- 56 -导 论一、目的与意义研究激光束在自由空间、各种介质、通过光学系统和在光学谐振腔中的传输与变换规律。 多以均匀振幅光束为对象 非均匀振幅光束为对象高斯光束 强激光超高斯、高斯谢尔、贝赛尔、有限束宽、时间空间域有耦合二、课程内容第一部分 理论基础1.
5、几何光学基础2.电磁场理论基础第二部分 高斯光束及其传输与变换1. 高斯光束 2. 高斯光束的衍射 3. 高斯光束的传输与变换 4. 光束整形第三部分 导波光学 1.激光束在金属波导中的传输 2.激光束在平面介质波导中的传输 3.光波在光纤中的传输三、研究方法 1) 几何光学方法 l0, 光的波动性可忽略，可用几何光学方法把光看成光线处理 2) 近轴矩阵方法 用矩阵代数方法研究光学问题。 3) 衍射积分方程理论 除了求解赫姆霍茨方程外，也可直接求解衍射积分方程。 4) 算子方法使用平方相位算子、标度算子、付里叶变换算子和自由空间传输算子等基本正则算子及其有序乘积来表示光学系统。四、激光束特性简
6、介1激光的特性单色性、方向性、相干性、高亮度、短脉宽2激光的模式1) 纵模驻波条件：纵模： 纵模间隔：2) 横模 电磁场在垂直于激光传播方向的横截面XY面内也存在稳定的场分布, 称为横模。不同的横模对应不同的横向稳定光场分布和频率。一般用TEMmnq来标记。3光束质量1) 聚焦光斑尺寸 2) 远场发散角q 与 b值 q决定了激光束可传输多远距离而不明显发散，但它可通过扩束、准直来改变。因此，当用远场发散角作为判据时，必须将激光光斑尺寸取为某一确定值进行比较才有意义。3) 斯特列尔比4) M2因子国际标准化度量局建议的光束质量的统一标准五、主要参考书l 激光束传输与变换技术，卢亚雄 等，电子科技
7、大学出版社，1999l 激光束光学，魏光辉 等，北京工业学院出版社，1988l 矩阵光学，魏光辉 等，兵器工业出版社，1995l 激光光学，吕百达，四川大学出版社，1992l 强激光的传输与控制, 吕百达, 国防工业出版社, 1999第一部分 理论基础第一章 几何光学基础本章首先讨论光线方程、费马原理以及折射定理。在引入光学系统的变换矩阵之后，再研究几何光学的ABCD定律、程函、菲涅耳数以及Collins衍射积分等问题。1.1 傍轴光线方程及费马原理1. 傍轴近似下的光线方程当研究对象的几何尺寸远远大于光波波长，或者相对而言0的条件下，光波的衍射效应可以忽略。由Maxwell方程可以导出：对于
8、非均匀介质，有：假设电场强度E的解具有以下形式：可导出：若用从光线上的固定点到光线上某点的矢量表示该点光线的状态，用l表示沿光线轨迹计算的长度，可导出在傍轴光线近似下的光线方程为2. 光线的边界条件斯涅耳定律光线的边界条件是光线在光学介质面处所应满足的规律。利用线积分原理，可以导出Snell定律：1与2分布表示介质1与介质2中光线与界面法线之间的夹角。3. 费马原理费马原理指出：光沿着光程为极值的轨迹传播。由变分法可求得这2个方程可充分确定光线的传播轨迹。4. 光线传播的矩阵表达式根据傍轴光线近似下的光线方程，在考虑线性变换的条件下，可以用矩阵形式来表示光线的传播规律。对于轴对称光学系统，光学
9、系统的变换可用一个2X2矩阵代表：式中，A、B、C、D是变换矩阵的元素，r是光线离开轴线z的垂直距离。表示光线传播方向与z轴夹角的正弦值。在傍轴近似下，表示光线传播方向与z轴的夹角。r和的符号规定：只取锐角，当从z轴的方向逆时针旋转而得到光线传播方向时，0，反之0,反之r0。1.2 光学系统的变换矩阵1. 光学系统的变换矩阵常见光学元件的变换矩阵表求解变换矩阵举例：介质球面、类透镜介质当光线顺序穿过变换矩阵分别为T1、T2Tm的m个光学元件组成的光学系统时，其变换矩阵等于这些元件各自的变换矩阵反序的乘积因此，以基本的变换矩阵为基础，可计算出多个光学元件组合系统的变换矩阵。2. 像散光学元件的变
10、换矩阵另一类光学元件，虽然它们本身是轴对称的，但是在使用时偏轴放置，从而造成在xoz与yoz平面上具有不同的变换作用。例如：离轴情况下使用的球面反射镜(或透镜)和倾斜放置的平行平板介质当入射光束轴线与焦距为f的透镜的轴线z成角时，在yoz（弧矢面s）和xoz(子午面t)平面内的变换矩阵分别为：当平行平板介质的倾斜角为时，：1.3 变换矩阵的性质1. 变换矩阵的性质当光线顺序沿z轴穿过m个元件组成的系统时，其变换矩阵为那么，当光线沿-z方向穿过这m个元件时，其变换矩阵为对于反演对称光学系统，其正向变换矩阵与反向变换矩阵是相同的，即可以证明：反演光学系统变换矩阵的对角元素相等，其对应的行列式的值等
11、于1，即：对于多个介质面与其他元件组成的非反演对称的光学系统，只要其两个参考面都位于同一折射率的介质中，则该光学系统变换矩阵元素满足2. 变换矩阵所代表光学系统的性质D=0的光学系统 所有在参考平面RP1上同一点发出的光线，经过该系统变换后，在参考平面RP2上成为相互平行的光线。A=0的光学系统 凡是在参考平面RP1上相互平行的光线，都将在参考平面RP2上会聚为一点。B=0的光学系统 凡是在参考平面RP1上以相同的r1入射的光线束，在参考平面RP2上将会聚在同一点。C=0的光学相同 凡是在参考平面RP1上平行入射的光线束，在参考平面RP2上仍保持平行。1.4 ABCD定律 程函 菲涅耳数1.
12、ABCD定律几何光学中球面波等相位面曲率半径变换的ABCD定律为2. 程函与Collins积分一个球面波经过光学系统变换，光学系统内的光路程可以用变换矩阵的元素来表示程函表达式将变换矩阵元素与光学系统中的光程联系起来，从而为使用矩阵光学的方法研究衍射问题奠定了基础。假设在光学系统参考平面RP1上的光场分布用A1(r1)表示，光波在穿过光学系统后在参考平面RP2上的光场分布用A2(r2)表示，它们都是离轴距离r的函数。根据菲涅耳衍射积分，有式中0为真空中波长，B为变换矩阵元素，L(r1,r2)为两个参考平面间的程函。上式即Collins积分。3. 变换矩阵元素表示的菲涅耳数当一个球面波通过一个圆
13、孔后在自由空间传播L0距离时的菲涅耳数为R为球面波在圆孔处的曲率半径，a为圆孔的半径。当衍射空间不是自由空间，而是一个复杂的光学系统时，菲涅耳数为A、B为变换矩阵的元素。1.5 光学系统的合成任何线性光学系统都可用3钟基本的光学元件的组合表示，它们是空间传播矩阵、透镜变换矩阵以及折射率突变平面的变换矩阵，即这三类基本矩阵之间，只有与以及与之间存在准互易关系，即而、矩阵不存在互易关系。1. 变换矩阵元素都不为零的情况只可能存在两种情况：1、2、及1、2、 ，而且相同类型的两个矩阵，必须用除矩阵以外的另类矩阵隔开。每种情况有四种可能性。当光学系统变换矩阵有一些特殊性质时，合成所需要的基本矩阵的个数
14、可以少于4个。对于光学系统变换矩阵满足AD-BC=1时，每种情况简化为1种，且基本矩阵个数减少为3个。第一种情况等效为一个厚透镜；第二种情况等效为二个薄透镜的组合。2. 变换矩阵的非对角元素全部为零的情况此种情况上面的方法全部失效，这时可将仅有对角元素的变换矩阵展开为一个矩阵与C=0的另一个2X2光学变换矩阵的乘积，或者展开为矩阵与B=0的另一个2X2光学变换矩阵的乘积。这样只需要把C=0或者B=0的2X2光学变换矩阵按其有效的展开式展开，即可合成B=C=0的光学系统。3. 变换矩阵元素为复数的情况在几何光学范围内，需要合成的光学系统的变换矩阵元素都是实数。在高斯光束变换的情况下，一些元件的光
15、学变换矩阵元素可以是复数。需要使用的基本矩阵的元素、也可能是复数。1.6 光学系统的失调增广矩阵1. 单个光学元件的失调单个光学元件的失调可以看成是在共轴的情况下将该元件旋转一个小的角度而形成。讨论失调光学系统变换作用时，要始终以理想光轴为基准。对于一个轴对称光学系统，在失调情况下，其变换矩阵由2X2矩阵变为4X4矩阵。常见光学元件的增广失调矩阵表。2. 无相对失调的光学系统是指组成光学系统的所有光学元件的轴线以及折射率突变球面的球心连线是共线的，各元件和各界面间不存在相对的失调，但是其共同轴线不与设计光轴相重合。这种失调类似于单个光学元件的失调。3. 具有相对失调的光学系统在多元件组成的光学
16、失调系统中，各个元件相对理想光轴的失调程度不同，即各个元件之间存在相对失调，其失调增广矩阵等于各个元件相对于同一理想光轴的失调增广矩阵按穿过顺序相反的次序的乘积。使用4X4失调增广矩阵完全可以处理光线在失调光学系统中的传输问题。第二章 电磁场理论基础2.1 光波的传播与反射1. 光波的传播方程由Maxwell方程组可以导出在介质中不存在自由电荷及电流时光波的传播方程。2. 相速与群速3. 边界条件4. 光波在介质界面上的反射与折射由反射与折射的基本定律可导出反射波与折射波电场垂直入射和平行入射时的菲涅耳公式。垂直入射：场强的反射系数：场强的透射系数：且 功率反射系数： 功率透射系数： 且 R+
17、T=1平行入射：场强的反射系数：场强的透射系数：且 2.2 基尔霍夫惠更斯衍射积分利用标量波动方程及格林函数法，可以导出基尔霍夫惠更斯衍射积分1. 平面衍射屏的基尔霍夫衍射公式假设单色光波照射在具有任意形状开孔的无穷大不透明屏上，利用索末菲辐射条件及基尔霍夫边界条件，可求出屏后任意一点P(x,y,z)的衍射场分布基尔霍夫衍射积分2. 菲涅耳基尔霍夫衍射公式如果在上述积分中使用单色光源照明衍射开孔，在照明光源与观察点到开孔的距离的倒数远小于波数数，忽略较小项可导出菲涅耳基尔霍夫衍射公式。3. 菲涅耳衍射与夫朗和费衍射积分如果观察点距衍射屏的距离远大于开孔的线度，而且衍射屏与观察屏之间的距离远大于
18、衍射花样区域的线度，在保留到二阶近似的情况下，可由菲涅耳基尔霍夫衍射公式导出菲涅耳衍射积分公式。如果进一步增大衍射屏与观察屏之间的距离，使得开孔的最边缘点上，对相位的影响也可忽略，即二阶项可以忽略，只保留一次项，就可获得夫朗和费积分。第二部分 高斯光束及其传输与变换第一章 高斯光束本章以光的电磁理论为基础, 导出有关高斯光束的几种形式：基模高斯光束；高阶模高斯光束；椭圆高斯光束；偏心高斯光束；矢量高斯光束。并讨论它们的场分布特点以及传输规律。1.1 电磁场的运动方程1. 麦克斯韦方程组在有介质存在的普遍情况下： (1.1.1)该方程组对于物理性质连续的空间各点都成立。2. 物质方程在弱场作用的
19、情况下，物质方程取如下形式: (1.1.2)3. 边值关系 (1.1.3)4. 能量密度和能流密度电磁场的能量密度为(1.1.8)电磁场的能流密度（也叫坡印廷矢量）为 (1.1.9) 能量守恒的微分形式 (1.1.10)5. 波动方程在各向同性的均匀介质中，由麦克斯韦方程组可得到E和H分别满足微分方程 (1.1.13) 在绝缘介质中，波动方程有最简单的形式 (1.1.15)这组方程是我们下面讨论各种电磁波，包括平面波、球面波、以及高斯光束的基本出发点。1.2 平面电磁波平面电磁波的一般特性：波的表达式、波矢、相速、以及偏振特性等。1. 单色平面波可以证明方程(1.1.15)的一组特解为 (1.
20、2.1) (1.2.1)式满足波动方程的必要条件是 (1.2.7) k是波矢的大小，np称为相速(np=c/n) , 可以证明电场、磁场、波矢之间具有相互正交性。电磁波的电场和磁场之间具有如下关系 (1.2.9) 2. 等相面和相速在时间不变时，相位因子等于某个常数的点在空间构成一个曲面，这个曲面叫等相面(波阵面)。(1.2.1)式所表示的平面波，它的等相面方程为 (1.2.10) 式中j 是一个常数。把等相面方程(1.2.10)对时间t微商，如果沿着k方向r的增量为drk, 则可以得到等相面沿法线方向的传播速度 (1.2.11) np正是(1.2.7)式中的相速。3. 平面波的偏振态假设平面
21、波沿z轴方向传播，无论电场还是磁场都与传播方向z轴垂直，即E和H在x-y平面中。在一个平面中的矢量总可以用两个独立的分量来表示，则沿z轴方向传播的波可表示为： (1.2.15) 电场的轨迹方程： (1.2.16) 式中Dj=j2 - j1。在x-y平面上(1.2.16)式所表示的电场的轨迹是一个椭圆，称为椭圆偏振光。当Ex0 = Ey0, Dj = (m+1/2)p（m是整数 ），(1.2.16) 式所表征的曲线变成一个圆，称为圆偏振光。当Ex0 = Ey0，Dj=mp (m是整数)，(1.2.16)式所表征的曲线退化成一条直线，称为线偏振波。4. 光强利用平面波电场与磁场的关系(1.2.9)
22、，能量密度表达式(1.1.8)可变成 (1.2.17) 能流密度表达式(1.1.9)可变成 (1.2.18)平均能量密度为 (1.2.21) 平均能流密度为 (1.2.24) 式中c是真空中的光速，n是介质的折射率， vt是介质中光速。在光学上常把平均能流密度的大小叫做光强。在只考虑光的相对强弱时，光强可以写成 (1.2.25) 1.3 球面波和任意简谐波为了简单，本节只讨论球面标量波和任意简谐标量波。在空间不存在电荷和电流的情况下，电场和磁场的任意一个分量都可以从方程(1.1.15)导出，满足波动方程 (1.3.1) 式中E是电场的一个直角坐标分量。1. 球面波首先把波动方程(1.3.1)中
23、的拉普拉斯算符2用球坐标系的变量来表示。假设我们研究的场是点波源发出的，则这样的场在空间的分布对于q角及j角都是对称的。这时波动方程(1.3.1)可以写成 (1.3.3) 可求得方程的一个特解为 (1.3.7) 该式表示波源位于坐标原点，向外发散的球面波。等相面方程为 (1.3.8) 方程的另一个特解为 (1.3.9) 它表示一个向原点收敛的球面波。球面波的相速可从等相面方程(1.3.8)对时间的微商获得 (1.3.10) 该式表明，在各向同性的介质中，球面波的相速与平面波的相速大小相等。2. 任意简谐波对于一个圆频率为w的标量时间简谐波可认为是波动方程 (1.3.11) 的一个特解。其形式为
24、 (1.3.12) 式中A(r)是振幅，g(r)是r的标量函数。一般来说，(1.3.12)式所表征的波其等相面和等振幅面是不一致的，这将导致在同一个等相面上各点的振幅不同。因此，称这种波为非均匀波。非均匀波的等相面方程为 (1.3.13) 式中j为常数。等相面沿其法线的传播速度为 (1.3.15) 任意简谐波的空间部分和时间部分可以分开写成 (1.3.16) 式中U是空间变量的标量函数。将上式代入波动方程(1.3.11)，可得到U所满足的赫姆霍兹方程 (1.3.17) 这个方程与波动方程是等价的。对于空间变量和时间变量可分离的函数，其空间部分应满足这个方程。3. 波包和群速任何一个波E(r,t
25、)都可以看成是不同频率的单色波的叠加 （1.3.18) 式中aw是相应于频率为w的单色波的振幅。考虑两个平面单色波的叠加，假设它们都沿z轴方向传播，振幅相同，频率和波数略有不同，则它们的叠加为 （1.3.20）式中 (1.3.21) (1.3.20)式可以看成是频率为w、波数为k、沿z轴方向传播的平面波。然而这个波的振幅不是常量，而是随时间t和位置z在0到2a之间变化，产生拍现象。各等振幅面的传播速度群速度为 (1.3.22) 在更普遍的情况下，考虑一个由许多沿z方向传播的单色波叠加组成的一维波群 (1.3.23) 如果这些单色波的振幅在内显著不为零，则(1.3.23)式可写成 (1.3.24
26、) 其中 (1.3.25) 为了计算方便，假设傅里叶振幅为一个常数aw=a，则(1.3.25)式的积分结果为 (1.3.27) 振幅最大的条件为： (1.3.28) 群速度可选定为振幅最大值的等值面的传播速度。从(1.3.28)式求得 (1.3.29) 群速和相速的关系为 (1.3.30) 式中l是波长。所有各量都是对平均频率（或平均波数k）来说的。4. 程函方程与光线方程在各向同性介质中，简谐电磁波的表达式为 (1.3.31) j (r) 空间标量函数，称为程函数。它对应几何光学中的光程。把(1.3.31)式代入麦克斯韦方程组 (当电流j=0时)，可获得程函方程 (1.3.36) 如果r是一
27、条光线上某个代表点的位置矢量，s是从它上面某固定点量起的光线长度，则有 (1.3.38) 矢量形式的光线微分方程 (1.3.39) 1.4 基模高斯光束1. 波动方程的基模解求解时间简谐电磁波可直接从下列赫姆霍兹方程开始： (1.4.1) 假设U(x,y,z)是沿z轴方向传播的非均匀光波，则它可被表示为 (1.4.2) 式中y(x,y,z)可看成是振幅函数，一般是一个沿z轴缓慢变化的复函数。把上式代入方程(1.4.1)，利用慢变化振幅近似，忽略2y/z2项,可得 (1.4.3) 上式属于抛物型微分方程，它具有下面形式的解 (1.4.4)式中p和q是光束的两个复参数，它们都是z的函数。将(1.4
28、.4)式代入方程（1.4.3），可获得波动方程的基模解 (1.4.13) 式中参数R(z)、w(z)和j(z)分别为 (1.4.14) (1.4.15) (1.4.16) (1.4.13)式是波动方程（1.4.1）的一个特解，叫做基模高斯光束(1.4.14)(1.4.16)式还可以写成如下形式： (1.4.17) (1.4.18) (1.4.19)式中 称为瑞利长度或共焦参数。2. 基模高斯光束的场分布及传输特点高斯光束的场分布指的是场在垂直于光束截面上的横向分布。如果用A表示基模高斯光束的振幅，则从(1.4.13)式可得该式表明基模高斯光束振幅的变化对于x轴和y轴是对称的。如采用柱坐标，r2
29、=x2+y2，则上式变为在任意一个确定的截面上(z为常数)，振幅的分布是高斯型的。高斯光束的半径的定义方法1）当振幅减小到极大值的e-1时，用r=w(z)来确基模高斯光束光斑的大小。2）取振幅分布函数的拐点到中心轴的距离r=(1/2)1/2w(z)作为光斑半径。3）取半功率（功率或光强为中心值的一半）点到中心轴的距离r0.589w(z)为光斑半径。从(1.4.15)式可以看出，最小光斑w(z)=w0，位置在z=0点。最小光斑所在位置对应光束最细部分，通常称这个位置为束腰。实际上(1.4.18)式是w(z)关于z的双曲线方程 (1.4.23) 双曲线的对称轴为z轴。在远场情况下(z)，双曲线的渐
30、近线为直线，其方程为w(z) = z/z0 (1.4.24) 高斯光束的发散角定义为 (1.4.25) 高斯光束的等相位面及其曲率半径 (1.4.27) 由于 (1.4.28) 可以略去j(z)项，等相位面方程为: (1.4.29) 因此，高斯光束的等相位面为球面，球面的曲率半径R(z)由(1.4.17)式决定,并且有 z=0, R 等相位面为平面 zz0, Rz 在远场处可将高斯光束近似视为一个由z=0点发出,半径为z的球面波。波面的曲率中心到束腰的距离是 (1.4.33) 相移因子j(z)表示位相的超前量，它只对纵模谐振频率有微小影响。设两块球面反射镜M1和M2相距为L，构成一个光学谐振腔
31、。则谐振频率为 (1.4.35) 对于光频来说，Dj/pq，所以，相移对频率的影响是微不足道的。1.5 高阶模解厄密高斯光束1. 厄密高斯光束假设波动方程(1.4.3)有如下形式的解(1.5.1) 式中F(x,y,z)为待定函数。指数项与基模高斯光束的表达式相同。把(1.5.1)式代入方程(1.4.3)，可获得 (1.5.5) 式中R为基模光束波面的曲率半径，w为光斑半径作变量代换方程（1.5.5）变为 (1.5.6) 假定这个方程可以用分离变数法求解，设将此式代入方程(1.5.6)，并除以F，经运算，最后得到三个方程(1.5.10) (1.5.11) (1.5.12) 方程(1.5.10)和(1.5.11)形式上完全相同，叫做厄密方程。其解为厄密多项式 (1.5.13) 方程(1.5.12)的解为 (1.5.16) 式中