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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流水塔流量估计.精品文档.水塔流量的估计一.问题的提出12.2m17.4m10.8m8.2m某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计其流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约2h(小时)。水塔是一个高为12.2m,直径为17.4m是正圆柱。按照设计,水塔水位降至约8.2m时,水泵自动启动,水位升到约为10.8m时水泵停止工作。 表1是某一天的水位测量记录(符号“/”表示水泵启动)，试
2、估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量及一天的总用水量。 表1：水位测量记录（时刻：h，水位：cm）时刻00.921.842.953.874.985.907.017.938.97水位968948931913898881896852839822时刻9.9810.9210.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.93水位/108210501021994965941918892时刻19.0419.9620.8422.0122.9623.8824.9925.91水位866843822/105910351011二、问题分析 流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔
3、是正圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。 水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准确越好。 这些流量大体可由两种方法计算: 一是直接对表1中的水位用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。 二是先用表中数据拟合水位时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤其麻烦。下面我们用第二种方法处理。 有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。 其实，水泵不工作时段的用
4、水量可以由测量记录直接得到，如表1可知从t=0到t=8.97(h)水位下降了968 822=146(cm)，乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量。这个数值可以用来检查拟合的结果。三、 模型假设1. 流量只取决于水位差，与水位本身无关。按照Torricelli (托里切利, 1608-1647, 意大利数学家、物理学家、气压计原理发现者)定律从小孔流出的流体的流速正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最低和最高水位分别是8.2m和10.8m(设出口的水位为零),因为,所以可忽略水位对速度的影响。 2. 根据最低和最高水位分别是8.2m和10.8m及表1的水位测量记录,假设水泵第1次供水时段为到,
5、第2次供水时段为到。其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.1h）,最后1个时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，每2次供水时段应在有记录的22.96h之后不久结束）。3. 水泵工作时单位时间的供水量大致是常数，此常数大于单位时间的平均流量。4. 流量是对时间的连续函数。5. 流量与水泵是否工作无关。6. 由于水塔截面积是常数, ,为简单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），最后给出结果时再乘以S即可。即：水位是时间的连续函数 水位对时间的变化率(流量) 任何时刻的流量： 四、模型建立1.拟合水位时间函数从表1 测量记录看，一天有两个
6、供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段）和3个水泵不工作时段(以下称第1用水时段到，第2用水时段到第3用水时段以后)。对第1、2用水时段的测量数据分别作多项式拟合，得到水位函数 和。为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用36次。由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出比较好的拟合，可采用外推的办法解决。 2. 确定流量时间函数 对于第1、2用水时段，只需将水位函数 求导数即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的第2供水时段流量外推，将第3用水时段流量包含在第2供水时段内，需要拟合四个流量函数。3. 一天总用水量
7、的估计总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用水量之和，它们都可以由流量对时间的积分得到。五、模型求解根据表一，可以对各时段的数据进行拟合。建立时间和水位向量的函数关系。为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用36次。先用3次函数进行拟合第一时段0,9的水位、流量。设t、h为已输入的时刻和水位测量记录(水泵启动的4个时刻不输入): h=968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 0 0 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 0 0 1059 1035 1018; t=0 0.92 1.84
8、 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91; x1=t(1:10);x2=x1.2;x3=x1.3; n=10;m=3; x=ones(n,1),x1,x2,x3; b,bint,r,rint,stats=regress(h(1:10),x,0.05)b = 967.7356 -22.1079 1.3586 -0.0785bint = 966.5367 9
9、68.9345 -23.3536 -20.8622 1.0241 1.6932 -0.1030 -0.0541r = 0.2644 -0.4851 -0.1676 0.6754 0.0260 -0.6328 0.5374 -0.4676 0.3089 -0.0590rint = -0.3216 0.8505 -1.5934 0.6232 -1.3634 1.0282 -0.2883 1.6392 -1.2427 1.2947 -1.7032 0.4376 -0.5339 1.6088 -1.5560 0.6207 -0.8696 1.4874 -0.6534 0.5353stats = 1.0
10、e+004 * 0.0001 2.3222 0.0000 0.0000 rcoplot(r,rint)残差分析可以看到，拟合比较符合，拟合效果较好。经过实验，选取3次较合适。故以下选用三次函数进行拟合。1、拟合第1用水时段各时刻的流量，可由如下程序代码得到： c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3); %用3次多项式拟合第1用水时段水位h1=h1(t)，c1输出 3次多项式的系数 a1=polyder(c1); %a1输出多项式（系数为c1）导数的系数， h1=-polyval(a1,t(1:10); %给出水位变化率h1=h1(t)在 t(1)-t(10)上的离散值，即流量
11、 t1 = 0:0.1:9; %将第一用水时段0 , 9细分 h11= -polyval(a1,tp1); %h11输出多项式a1在t11点的函数值(取负后边为正值)，即t11 时刻的流量(水位下降的速率)。用程序进行计算，求得在0，9内各时刻的流量值(水位变化率)如下表：00.921.842.953.874.985.907.017.938.9722.1119.8117.9116.1415.1214.4214.2814.6415.3816.69第一用水段流量（水位变化率）曲线图2. 拟合第2用水时段11,20.8的水位、流量c2=polyfit(t(13:23),h(13:23),3); %用
12、3次多项式拟合第2用水时段水位水位h2=h2(t) ， c2输出3次多项式的系数a2 = polyder(c2); %a2输出多项式（系数为c2）导数的系数,h2=-polyval(a2,t(13:23); %给出水位变化率h2=h2(t)t2 = 11:0.1:20.8; %将第二用水时段11 , 20.8细分h22 = -polyval(a2,t2); %x2输出多项式（a2）在tp2点的函数值(取负后边为正 值)，即tp2 时刻的流量(水位下降的速率)。进行计算，求得在11,20.8内各时刻的流量值(水位变化率)如下表：10.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8
13、317.9319.0419.9620.8422.1119.8117.9116.1415.1214.4214.2814.6415.3816.6967.81第二用水段流量（水位变化率）曲线图3. 拟合第1供水时段9，11的流量 在第1供水时段（t = 911）之前（即第1用水时段）和之后（第2用水时段）各取几点，其流量已经得到，用它们拟合第1供水时段的流量。为使流量函数在t =9 和t =11连续我们简单地只取4个点，拟合3次多项式（即曲线必过这4个点），实现如下： x1 = -polyval(a1,8 9) %取第1时段在t=8,9的流量 x2=-polyval(a2,11 12) %取第2时段
14、在t=11,12的流量 x12 = x1 x2; %将四个点合并 c12 = polyfit(8 9 11 12, x12, 3); %拟合3次多项式 t12 =9:0.1:11; %将第一供水时段11 , 20.8细分 xx12 = polyval(c12,t12); %xx12输出第一供水时段各时刻的流量进行计算，求得在9,11内各时刻的流量值(水位变化率)如下表：9.9810.9225.3932.45 第一供水段流量（水位变化率）曲线图4. 拟合第2供水时段20.8,24的流量 在第2供水时段之前取t =20,20.8两点的水流量，在该时刻之后（第3用水段）仅有3个水位记录，我们用差分得
15、到流量，然后用这4个数值拟合第2供水时段的流量如下： dt3 = diff(t(26:28); %最后3个时刻之后的两两之差dh3 = diff(h (26:28); %最后3个水位的两两之差dht3 = -dh3./dt3; % t(22)和t(23)的流量（差商代替微商）t3 = 20 20.8 t(26) t(27)； %取第二供水时段前后各两点x3=-polyval(a2,t3(1:2),dht3; %求得t3各时刻的流量c3 = polyfit(t3,x3,3); % 拟合3次多项式t3 = 20.8:0.1:24； %将第二供水时段和第三用水时段细分xx3=polyval(c3,t
16、3); % xx3输出第2供水时段及第三用水时刻的流量用程序进行计算，求得在20.8,24内各时刻的流量值(水位变化率)如下表：22.0122.9623.8824.9925.9125.54723.93721.62218.47816.08第二供水段流量（水位变化率）曲线图4. 一天总用水量的估计 第1、2用水时段和第1、2供水时段流量的积分之和，就是一天总用水量。虽然诸时段的流量已表示为多项式函数，积分可以解析的算出，这里仍用数值积分计算。(1) . 第一用水时段的用水量 其中积分值 h1 通过梯形公式计算：(2). 第二用水时段的用水量(3) . 第一供水时段的用水量(4) . 第二供水和第三
17、用水时段的用水量m1 = 0.1*trapz(h1); % 第1用水时段用水量(按高度计), 0.1为积分步长m2 = 0.1*trapz(h2); %第2用水时段用水量m12 = 0.1*trapz(xx12); %第1供水时段用水量m3 = 0.1*)trapz(xx3); %第2供水时段用水量V= (m1+m2+m12+m3)*237.8*0.01; %一天总用水量,高度是cm，换算成m。通过程序可以计算出各时段的用水量及一天的总用水量如下：用水量第1用水时段第2用水时段第1供水十点第2供水时段一天总用水量吨347.62613.63119.85178.141259.2其中四个时段都用三次
18、多项式进行拟合，如果第一用水时段、第一、二供水时段用三次多项式，第二用水时段用四次多项式拟合，得另一计算结果：用水量第1用水时段第2用水时段第1供水十点第2供水时段一天总用水量吨347.62613.76115.33187.021263.7 下图为一天用水流量的曲线图：5. 流量及总用水量的检验计算出的各时刻的流量可用水位记录的数据来检验。用水量V1用第1用水时段水位测量记录中下降高度h1=968-822=146cm来计算并检验，在第一用水时段水的实际用量为： V1=S* h1=237.8*146*0.01=347.19(吨)类似地，第二用水时段用去的水的高度h2=1082-822=260cm,
19、实际用水量为： V3=S* h2=237.8*260*0.01=618.28(吨)而计算值为： V1=347.62(吨) ， V2=613.76(吨) 比较接近。 供水时段流量的一种检验方法如下：供水时段的用水量加上水位上升值260是该时段泵入的水量，除以时段长度得到水泵的功率（单位时间泵入的水量），而两个供水时段水泵的功率应大致相等。第1、2时段水泵的公率可以计算如下：p1 = (V1+260*0.01*237.8)/2; %第1供水时段水泵的功率(水量以高度计）tp2 = 20.8:0.1:23;xp2 = polyval(c3,tp2); % xp2输出第2供水时段各时刻的流量p2 = (0.1*trapz(x3)+260*0.01)*237.8/2.2; %第2供水时段水泵的功率（水量仍以高度计）六.模型评价 在实际中，各时段的函数拟合次数不一定相同，本题中为了方便，由第一用水时段的分析而推广至全部时段，应运了3次拟合。因此可以对此进行改进。本文分段处理，并应运了第2用水时段的外推，得到供水时段的用水量，方法简便，且有较好的实际效果，比较成功。