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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流概率论与数理统计习题解答全稿(1-7).精品文档.习题一1设为随机试验的三个随机事件，试将下列事件用表示出来（1）仅仅发生；（2）所有三个事件都发生；（3）与均发生，不发生；（4）至少有一个事件发生；（5）至少有两个事件发生；（6）恰有一个事件发生；（7）恰有两个事件发生；（8）没有一个事件发生；（9）不多于两个事件发生解：（1） ；（2）；（3）；(4)；(5)；(6)；（7）；（8）；（9）2写出下列随机试验的样本空间（1）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子的点数之和；（2）将一枚硬币抛三次，观察出现正反面的各种可能结果；（3）对一目标进行射击
2、，且到击中5次为止，记录射击的次数；（4）将一单位长的线段分为三段，观察各段的长度；（5）从分别标有号码1，2， ，10的10个球中任意取两球，记录球的号码解：（1）3，4，5，18；（2）;(3) 5,6,7,；(4) ;(5)3将12个球随机地放入20个盒子，试求每个盒子中的球不多于1个的概率解：设表式所求的概率，则：0.014734将10本书任意地放在书架上，其中有一套4卷成套的书，求下列事件的概率：（1）成套的书放在一起；（2）成套的书按卷次顺序排好放在一起解：（1）设表示所求的概率，则：= （2）设表示所求的概率，则：=一辆公共汽车出发前载有名乘客，每一位乘客独立的在七个站中的任一个
3、站离开，试求下列事件的概率：（1）第七站恰好有两位乘客离去；（2）没有两位及两位以上乘客在同一站离去解：5名乘客在七个站中的任意一个站离开的结果总数（1）第七站恰好有两位乘客离去，其方法数，故设为所求概率，则：（2）设没有两位及两位以上乘客在同一站离去，则：6有一个随机数发生器，每一次等可能的产生十个数字，由这些数字随机编成的位数码（各数字允许重复），从全部位数码中任意选取一个，其最大数字不超过（）的概率解：设表式所求的概率，则由全部位数码的总数为，得：一元件盒中有50个元件，期中25件一等品，15件二等品，10件次品，从中任取10件，求：（1）恰有两件一等品，两件二等品的概率；（2）恰有两件
4、一等品的概率；（3）没有次品的概率解：（1）设为所求概率，则：（2）设为所求概率，则：（3）设为所求概率，则：有10个人分别佩戴者标号从1号到10号的纪念章，任意选出3人，记下其纪念章的号码，试求：（1）最小的号码为5的概率；（2）最大的号码为5的概率解：从10人中任意选3人纪念章号码的总数为，（1）最小号码为5，则余下2个在610中选，即，设为所求概率，则：（2）同理设为所求概率，则：9设事件及的概率分别为和，试求：解：；（单调性）； （单调性）；10一批产品共100件，其中5件不合格若抽检的5件产品中有产品不合格，则认为整批产品不合格，试问该批产品被拒绝接收的概率是多少？解：（法一）设=抽
5、检的5件产品中第件不合格，=1,2,3,4,5则所求概率为：（法二）11设和是试验的两个事件，且，在下述各种情况下计算概率：（1）；（2）和互不相容；（3）解：（1）（2）（3） 12现有两种报警系统与，每种系统单独使用时，系统有效的概率为0.92，系统有效的概率为0.93 装置在一起后，至少有一个系统有效的概率则为0.988，试求装置后：（1）两个系统均有效的概率；（2）两个系统中仅有一个有效的概率解：（1）所求概率为，得：（2）所求概率为，得：1310把钥匙上有3把能打开门，今任取2把，求能打开门的概率解：（法一）从10把钥匙中任取2把的试验结果总数，能打开门意味着取到的二两把钥匙至少有一
6、把能打开门，其取法数，故设为所求概率，则：（法二）记为“能打开门”，则“两把钥匙皆开不了门”，于是14一个盒子中有24个灯泡，其中有4个次品，若甲从盒中随机取走10个，乙取走余下的14个，求4个次品灯泡被一人全部取走的概率解：设次品灯泡全部被甲取走，次品灯泡全部被乙取走，则互不相容，所求概率为：15设将5个球随意地放入3个盒子中，求每个盒子内至少有一个球的概率解：5个球随意地放入3个盒子中事件总数，3个盒子中一个或两个盒子中有球数为，设所求概率为，则：16已知和同时发生，则必发生，证明：证明：由已知，再由单调性，则17掷一枚均匀硬币直到出现三次正面才停止，问正好在第六次停止的情况下，第五次也是
7、正面的概率是多少？解：设第五次出现正面，第六次停止，则：18证明：，则证明：，即证19设事件互不相容，且，试证：证明：20将两颗均匀骰子同时掷一次，已知两个骰子的点数之和是奇数，求两个骰子的点数之和小于8的概率解：此事件的样本空间由36个样本点组成，设两个骰子的点数之和小于8，两个骰子的点数之和是奇数，则，于是：21设10件产品中有4件是次品，从中任取两件，试求在所取得的产品中发现有一件是次品后，另一件也是次品的概率解：设所取得两件中至少有一件是次品，所取得两件产品都是次品，而，所求概率为：22 10件产品有6件是正品，4件次品，对它们逐一进行检查，问下列事件的概率是多少？（1）最先两次抽到的
8、都是正品；（2）第一、三次抽到正品，第二、四次抽到次品；（3）在第五次检查时发现最后一个次品解：设=第次抽到的是正品，=1,2,3,4,5,6则(1);(2) (3) 设第五次检查时发现最后一个次品，则23某人忘记电话号码的最后一个数字，他仅记得最末一位数字是偶数现在他试着拨最后一个号码，求他拨号不超过三次而接通电话的概率解：设接通电话，拨号次，=1，2，3构成样本空间的一个划分，由全概率公式： 24 某型号的显像管主要由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总产品和的25%、50%、25%，甲、乙、丙三个厂的产品在规定时间内能正常工作的概率分别是0.1、0.2、0.4，求一个随机选取的
9、显像管能在规定时间内正常工作的概率解：设=能在规定时间内正常工作，=选取第个厂家的产品， =1，2，3则由全概率公式：25 两批同类产品各自有12件和10件，在每一批产品中有一件次品，无意中将第一批的一件产品混入第二批，现从第二批中取出一件，求第二批中取出次品的概率解：设第二批中取出次品，第一批的次品混入第二批，构成样本空间的一个有限划分，由全概率公式：26在一个盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原盒中，第二次比赛时，同样任意的取出三个球，求第二次取出三个新球的概率 解：设B=第二次取出3个新球可以看出，直接确定B的概率是困难的，原因是，第一次比
10、赛之后，12个乒乓球中的新、旧球的分布情况不清楚，而一旦新旧球的分布情况明确了，那么相应的概率也容易求得为此，设=第一次取到的3个球中有个新球， =0，1，2，3容易判断构成一个划分由于，又由全概率公式，得：27仓库中存有从甲厂购进的产品30箱，从乙厂购进的同类产品25箱，甲厂的每箱装12个，废品率为0.04，乙厂的每箱装10个，废品率0.05，求： (1)任取一箱，从此箱中任取一个为废品的概率；(2)将所有产品开箱后混放，任取一个为废品的概率解：(1)设取出的是废品，从甲厂取出，构成一个划分，则 (2) 28已知一批产品中96%是合格品，用某种检验方法辨认出合格品为合格品的概率是0.98，而
11、误认废品是合格品的概率是0.05，求检查合格的一件产品确系合格的概率解： 设=检查合格产品，=确系合格由已知，由贝叶斯公式：29已知5%的男人和0.25%的女人是色盲者，现随机挑选一人，此人恰为色盲者，问此人是男人的概率为多少（假设男人女人各占总人数的一半）解：设色盲者，男人， 构成样本空间的一个划分，且，由贝叶斯公式：30设某种病菌在人口中的带菌率为0.03，由于检验手段不完善，带菌者呈阳性反应的概率为0.99，而不带菌者呈阳性反应的概率为0.05，若某人检查结果是呈阳性反应，他是带菌者的概率是多少？解：设结果呈阳性，是带菌者，则构成样本空间的一个划分，且，由贝叶斯公式：31证明：如果，则事
12、件和相互独立证明：由已知和条件概率公式，有，即，即，又，上式得：，有，即和相互独立32设一个位二进制数是由各“0”或“1”数字组成，每一位出现错误数字的概率是，各位数字出现错误与否是独立的，问组成一个不正确的这类二进制数的概率是多少？解：每一位出现正确数字的概率是，由已知，各位数字出现正确与否也是独立的，于是所求概率33.设事件相互独立，且，试求：（1）三个事件都不发生的概率；（2）三个事件中至少有一个事件发生的概率；（3）三个事件中恰有一个事件发生的概率；（4）至多有两个事件发生的概率.解：（1）；（2）；（3）；（4）34甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球；乙袋中有10只白球，6只红球
13、，9只黑球从两袋中各取一球，试求两球颜色相同的概率解：设表示两球同为白色、红色和黑色，互不相容，则所求概率为：35 两部机床独立的工作，每部机床不需要工人照管的概率分别为0.9和0.85，试求：(1) 两部均不需照管的概率； (2)恰有一部需要照管的概率；(3)两部同时需要照管的概率解：设甲机床不需要工人照管，乙机床不需要工人照管，则，(1)(2) (3) 36求下列系统（图1.6）能正常工作的概率，其框图的字母代表组件，字母相同，下标不同的均为同一类组件，知识装配在不同的位置，类组件正常工作的概率为，类组件正常工作的概率为，类为解：(1)所求概率为 (2)所求概率为，又 相互独立，则(3)所
14、求概率为习题二1、一批晶体管中有9个合格品和3个不合格品，从中任取一个安装在电子设备上，如果取出不合格品不再放回，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的概率解：设在取得合格品以前已取出的不合格品数为随机变量X，则X的所有可能取值为：0，1，2，3。分布律为：,也可以表示为：X01230.750.20450.04090.00462、做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p(0p1)，求：（1）首次成功时试验次数Y的分布律；（2）在n次成功之前已经失败次数X的分布律.解：设Ai=第i次试验成功，i=1,2,，则（1）（2）做n+m次独立试验，指定n次成功，m次失败的概率为：随机事件发生相当于第n+
15、m次试验必定成功，而前n+m-1次试验中有m次失败，共有次不同的方式，故：3、 设随机变量X的分布律为：求C的值解：由即，也即可得4、 随机变量X的分布律为：（1）a可取何值？（2）证明对于任意两个正整数s和t，有解：（1），得0a1.(2) 5、一批产品共有25件，其中5件次品，从中随机地一个一个取出检查，共取4次，设X是其中的次品数，若（1）每次取出的产品仍放回；（2）每次取出的产品不再放回。写出X的分布律.解：（1）随机的取出产品并放回，每次取出的产品是次品的概率是p=0.2，共取4次相当于做4次伯努利试验，则(2) ，把上述概率统一改写为：6、某射手每次射击击中目标的概率为0.8，现连
16、续射击30次，写出击中目标的次数X的分布律，并求出30次射击未击中目标的概率.解：该射手每次射击要么击中目标，要么没击中目标，击中目标的概率p=0.8，连续射击30次相当于做30重伯努利试验. 击中目标的次数是X，故30次射击未击中目标的概率为：7、一放射源放射出的任一粒子穿透某一屏蔽的概率是0.01，现放射出100个粒子，求至少有两个粒子穿透屏蔽的概率. 解：放射源放射出的任一粒子要么穿透屏蔽，要么不能穿透，穿透屏蔽的概率p=0.01，放射100个粒子相当于做100重伯努利试验. 穿透屏蔽的次数是X，故至少有两个粒子穿透屏蔽的概率为：8、设随机变量X服从泊松分布，且，计算解：由题意，,且，得
17、故9、在一个周期内，从一个放射源放射出的粒子数X是服从泊松分布的随机变量，如果无粒子放射出的概率为1/3，试求：（1）X的分布律；（2）放射出一个以上粒子的概率.解：（1），得故X的分布律为：（2）放射出一个以上粒子的概率为：10、一个口袋中有六个球，在这六个球上标明的数字分别为-3，-3，1，1，1，2，从袋中任取一个球，试求取得的球上标明的数字X的分布律及分布函数.解：由题意有：也即X-312当x-3时，当时，当时，当时，可得11、设随机变量X的分布函数为F(x)，用F(x)表示下述概率：解：12、（柯西分布）随机变量X的分布函数是：试求：（1）系数A和B；（2）X落在区间（-1，1）内的
18、概率；（3）X的概率密度解：（1）由可得：,解得;（2）;（3）X的概率密度13、设随机变量X的分布函数为：试求X的概率密度，并计算和解：X的概率密度；14、设随机变量X的概率密度为：试求：（1）系数A；（2）X的分布函数解：（1）由，即，求得; （2）X的分布函数15、设随机变量X的概率密度为：试求：（1）求X的分布函数；（2）确定满足的b解：（1）X的分布函数； （2）由，得，,故有，解得（舍去）.16、从一批子弹中任意抽出5发子弹，如果没有一发子弹落在靶心2 cm以外，则整批子弹将被接受设弹着点与靶心的距离X（cm）的概率密度为：试求：（1）系数A；（2）该批子弹被接受的概率解：（1）由
19、，即，求得; （2）其中一发子弹被接受的概率为：所以，该批子弹被接受的概率为：17、在长为l的线段上随机地选取一点，将其分为两段，短的一段与长的一段之比小于1/4的概率是多少？解：设在线段上随机选取的点为X，X的分布函数为：由短的一段与长的一段之比小于1/4可得或，即有或而， 所以，短的一段与长的一段之比小于1/4的概率为0.418、设随机变量Y服从（0,5）上的均匀分布，求x的方程：有实根的概率解：方程有实根的充要条件为得或由题设知Y具有概率密度：从而，故有实根的概率19、一电子信号在（0,T）时间内随机地出现，设0t0t1T，求：（1）信号出现在区间(t0,t1)内的概率；（2）信号在t0
20、时刻前不出现，在(t0,t1)内出现的概率.解：电子信号出现的时间X在（0,T）上服从均匀分布，其分布函数为（1）信号出现在区间(t0,t1)内的概率为;(2) 信号在t0时刻前不出现，在(t0,t1)内出现的概率.为20、若随机变量,试求：（1） （2） 解：（1）=； （2）=21、若随机变量,试求：（1） （2）解：（1）= （2）=22、设某城市男子的身高（单位：cm），问应如何选择公共汽车门的高度，使男子乘车时与车门碰头的机会小于0.01？解：假设选择公共汽车的高度为cm时使男子乘车与车门碰头的机会小于0.01即有，也即，查表得：，从而，所以，公共汽车的车门高度为184cm时男子乘车
21、与车门碰头的机会小于0.0123、两台电子仪器的寿命分别为X1,X2，且，若要在45小时的期间内使用这种仪器，问选用哪一台仪器较好？若在52小时内使用呢？解：要在45小时的期间内使用这种仪器，两台电子仪器使用寿命的概率分别为故选用第一台较好；要在52小时的期间内使用这种仪器，两台电子仪器使用寿命的概率分别为故选用第二台较好。24、某工厂生产的电子管寿命X（单位：小时）服从正态分布，如果要求电子管的寿命在1200小时以上的概率达到0.96，求值.解：由题意有，即，查表可得，从而，得25、设随机变量，求分点使X分别落在的概率之比为3:4:5解：由题设有，也即有，令则可得：解得，即经查表求得：补充题
22、：1、一袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律 解：从5只球中任取3只，有种取法，每种取法的概率为随机变量X的可能值为3、4、5当X=3时，相当于3只球的号码为：，故;类似地，；，所以X的分布律为：X345P2、 将一颗骰子投掷两次，以X表示两次中得到的最小的点数，试求X的分布律解：样本空间，随机变量X的所有可能值为1、2、3、4、5、6,分布律为：X123456P3、设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作
23、室相互独立的），求X的分布律解：以P表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，易知X的分布律为：X01234P或者写成：；以代入得：X01234P0.50.250.1250.06250.06254、设随机变量X的分布函数为：（1）求（2）求X的概率密度解：（1）；（2）X的概率密度5、一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从参数为的正态分布，若要求，允许最大为多少？解：若要求，即从而：，即允许最大为31.256、某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mm-Hg计）服从在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X（1）求,；（2）确定最小的x，使解：（1）由，则（2），则，为确定x的最小值，查表得：
24、，所以习题三1二维随机变量的联合分布函数是，试求：（1）系数、；（2）边缘分布函数解：（1），（2）的边缘分布函数，的边缘分布函数2将两个元件并联组成一个电子部件，两个元件的寿命分别为与（单位：小时），已知的联合分布函数为：试求：（1）关于、的边缘分布函数；（2）此电子部件正常工作120小时以上的概率解：（1）的边缘分布函数，的边缘分布函数；（2），3对一个目标独立地射击两次，每次命中的概率为，若表示第一次射击时的命中次数，表示第二次射击时的命中次数，试求和的联合分布律以及联合分布函数解：联合分布律YX0101联合分布函数4一个袋子中装有个球，依次标有数字1，2，2，3，从中任意取出个后（不放
25、回），记下球上的数字，再取出个球，记下其上的数字试写出的联合分布律和关于、的边缘分布律解：YX23102305设二维随机变量的联合分布律如下：YX023400.080.070.060.010.0110.060.100.120.050.0220.050.060.090.040.0330.020.030.030.030.04计算以下概率：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）-116二维连续性随机变量的联合概率密度为确定常数并计算概率解：7设二元函数为，问取何值时，是二维随机变量的概率密度？Y解：-11608随机变量的联合概率密度是，试求：（1）常数；（2
26、）；（3）解：（1）15（2） ；15OX（3）9设二维随机变量的联合概率密度为试求：（1）；（2）的联合分布函数解：（1）；（2）当时，联合分布函数10设甲船在24小时内随机到达码头，并停留小时；乙船也在24小时内独立地随机到达码头，并停留小时，试求：（1）甲船先到达的概率；（2）两船相遇的概率XY242421解：（1）；（2）11两个人约定在下午时到时之间的任何时刻到达某车站乘公共汽车，并且分别独立到达车站这段时间内有班公共汽车，它们的开车时间分别为1:15，1:30，1:45，2:00，如果他们约定：（1）见车就上；（2）最多等一辆车求在两种情形下他们同乘一辆车的概率分别是多少？解： （
27、1）； （2）12设二维随机变量 ，计算概率，其中解：，13设二维随机变量的联合概率密度为，确定常数，并讨论与是否相互独立？解：；由，则与相互独立14设二维随机变量的联合概率密度如下，问与是否相互独立？（1）（2）解：（1），由，则与相互独立（2），由，则与不相互独立15设二维随机变量的联合分布律为YX2312问和取什么值时，与相互独立？解：，16某射手进行射击，击中目标两次就停止射击，而且每一次的命中率为令表示第一次命中目标时的射击次数，令表示第二次命中目标时的射击次数，试求：（1）的分布律；（2）条件分布律和解：，（1）的分布律：，（2），；17设二维随机变量的联合概率密度为，试求条件概率
28、密度和解：，18设随机变量服从指数分布，其概率密度为，而且随机变量关于的条件概率密度为，求的概率密度解：，19设随机变量与相互独立，其概率密度分别为令随机变量，试求：（1）条件概率密度；（2）随机变量的分布律和分布函数解画图：（1）当时，；（2），0120已知离散型随机变量的分布律为0试求和的分布律解：21021设随机变量与相互独立，且，证明：服从参数为，的二项分布解：，故 22设与是相互独立同分布的随机变量，其分布律为，求的分布律解：，23科学家观察某个放射物的情况，发现在（单位：秒）内放射出的质点个数共做了2608次测试，试求：整个过程中放射出的质点个数的分布律解：24设二维连续型随机变量
29、，计算概率解：25设二维随机变量的联合概率密度是，计算概率解：，；，；则，26设随机变量是电路的电压振幅，已知其分布函数为试求：经过半波整流后的电压振幅的分布函数若假设，讨论是否是连续型随机变量解：，不是连续型随机变量27设随机变量，写出：（1）；（2）的概率密度解：（1）函数在整个定义域上处处可导、单调增加，其反函数为，有，当时，当时，；（2）当时，当时，；28设随机变量的概率密度为，写出的概率密度解：当时，函数处处可导、单调增加，其反函数为，有，当时，当时，；29设随机变量的概率密度为，令，写出的分布函数及概率密度解：当时，当时，；当时，；，30设二维随机变量的联合概率密度是，求随机变量的
30、分布函数和概率密度解画图：31已知随机变量、相互独立，服从参数为的指数分布，服从区间上的均匀分布，写出的概率密度解画图：，32设二维随机变量的联合概率密度是，求随机变量的概率密度解画图：，33设随机变量与相互独立，求的概率密度解：，习题四1一箱产品中有件3件正品和2件次品，不放回地任意取2件，表示取到的次品数，求平均次品数解：的分布律：0122设随机变量服从拉普拉斯分布，其概率密度为，计算和解：， 3设随机变量的概率密度为，试求和解：， 4设随机变量服从瑞利分布，其概率密度为，,试求和解：， 5地面雷达搜索飞机，在时间段内发现飞机的概率为，试求发现飞机的平均搜索时间解：设随机变量表示发现飞机的
31、时间，6已知随机变量，试求和的数学期望解：， 7已知随机变量，试求解：，8随机变量的概率密度为，求和的数学期望解：， 9设的联合概率密度为试求：、解画图：；10随机变量服从参数为1的指数分布，令随机变量，试求：数学期望解：，11设随机变量与相互独立，其概率密度分别为，,求和解：;12若随机变量与相互独立，都服从标准正态分布，试求：和解：，；13民航机场的送客汽车载有20名乘客，从机场开出，乘客可以在10个车站下车如果到达某一车站无人下车，则在该站不停车，设随机变量表示停车次数，并假定每个乘客在各个车站下车是等可能的求平均停车次数 解：，14将个球随机地放入只盒子中，1只盒子装1个球若1个球装入
32、与球同号的盒子中，称为1个配对，记为总配对数，求解：，15设二维随机变量的联合概率密度为，试写出的协方差矩阵解：，协方差矩阵：16设二维随机变量的联合概率密度为，证明与不相关 证：，显然，故，所以与不相关 17设二维随机变量的联合分布律为， XY0110.20.10.120.10.00.130.20.10.1求与的相关系数解：010.50.20.31230.40.20.401230.20.10.20.20.10.10.118设随机变量的概率密度为，问与是否不相关？是否相互独立？解：， 令， 所以与不相关，不相互独立 19设，相关系数，试求：和20设随机变量，试求的阶原点矩解：；21设二维随机变
33、量，设，试求：（1）的数学期望和方差；（2）与的相关系数；（3）问与是否相互独立？解：（1），（2）,其中；（3），且，所以与相互独立习题五1进行600次伯努利试验，事件在每次试验中发生的概率为，设表示600次试验中事件发生的总次数，利用切比雪夫不等式估计概率解：，切比雪夫不等式：2若随机变量相互独立且都服从区间上的均匀分布设，利用切比雪夫不等式估计概率解：，3利用切比雪夫大数定律证明泊松大数定律：设为相互独立的随机变量序列，有，则服从大数定律证：，由切比雪夫不等式，对任给的，有，故服从大数定律4调整200台仪器的电压，假设调整电压过高的可能性为0.5，试求调整电压过高的仪器台数在95至105
34、台之间的概率解：设表示调整电压过高的仪器台数，5某射手每次射击的命中率为，现射击100发子弹，各次射击互不影响，求命中次数在72与88之间的概率解：设表示命中次数，6设某个系统由100个相互独立的部件组成，每个部件损坏的概率均为0.1，必须有85个以上的部件工作才能使整个系统正常工作，求整个系统正常工作的概率解：设表示正常工作的部件数，7对敌人阵地进行100次炮击，每次炮击时炮弹命中次数的数学期望为4，方差为2.25，求在100次炮击中有380颗到420颗炮弹命中目标的概率解：设表示第次炮击时炮弹命中次数，表示命中目标的炮弹总数，8一个加法器同时收到20个噪声电压，设它们是相互独立的，且都在区
35、间上服从均匀分布，记，求概率解：，9某种电器元件的寿命（单位：小时）服从参数为的指数分布，现随机抽取16件，设它们的寿命相互独立，求这16个元件的寿命总和大于1920小时的概率解：设表示第个电器元件的寿命，表示16个元件的寿命总和，10某个系统由相互独立的个部件组成，每个部件的可靠性（即正常工作的概率）为0.9，且至少有的部件正常工作，才能使整个系统工作问至少为多大，才能使系统的可靠性为解：设表示正常工作的部件个数，查表得：，则，习题六1、设，证明：（1）； （2）。证明：（1）2、由下列样本值计算样本平均值和样本方差：（1）54.67，68.78，70.66，67.70，65.69；（2）1
36、00.3，99.7，102.2，99.3，100.7，100.5，103.1，101.5。解：（1）（2）3、某射手进行独立、重复的射击，击中靶子的环数及相应的次数如下：环数10987654击中次数2309204求一次中靶的平均环数及环数的标准差。解：设为平均环数，为环数的标准差4、设总体，为其样本，（1）求样本平均值大于的概率；（2）求样本平均值与总体平均值之差的绝对值大于的概率。解：由样本均值推出（1）（2）5、设总体在区间上服从均匀分布，为其样本，为样本平均值，求及。解：由均匀分布得：，6、设总体，分别取样本容量及的两个样本，及分别为两个样本的平均值，求。解：由题意，得，由正态分布的可加
37、性：7、设总体，为其样本，求。解：由于，推出，标准化以后设则有。，查表得8、设总体，为其样本，为样本方差，求。解：由于，设，则由，推出，即9、设总体，, ,为其样本，求样本平均值的数学期望和方差。解：由，则对每个样本有：10、设随机变量，相互独立，且都服从分布，则服从什么分布？解：观察可得类似，其中，而其中；现在，则，于是。11、设总体，, ，为其样本，记，求证：。证明：据抽样分布定理有：，于是，则，得（标准正态）又，则（卡方）于是。12、设总体，相互独立，和，分别为其样本，证明：。证明：设，则，于是习题七1、设，是来自总体的一组样本，求下列各总体的分布中未知参数的矩法估计量。（1）总体的概率
38、密度为为未知参数。解：由于服从指数分布，则，用样本均值代替后，得。（2）总体的分布律为，.为未知参数。解：，利用数项级数求和方法：设，其中，两边同时对积分得：，再求导回来可得：，从而，用样本均值代替后，得。（3）总体的概率密度为为未知参数。解：，用样本均值代替后，得，即。（4）总体的概率密度为 式中为已知，为未知参数。解：，用样本均值代替后，得，即。2、设，是来自总体的一组样本，求下列各总体的分布中未知参数的极大似然估计量。（1）总体的概率密度为为未知参数。解：极大似然函数为：当时，令，得，即。（2）总体的概率密度为，式中为已知正整数，为未知参数。解：极大似然函数为：得，令，得，即。（3）总体
39、的概率密度为，式中为未知参数。解：极大似然函数为：，得，令，得，即。（4）总体的概率密度为为未知参数。解：极大似然函数为：得，令，得，即。（5）总体的分布律为，式中为未知参数。解：离散型的极大似然函数为：得，令，得，即。3、从灯泡厂某日生产的一批灯泡中任取10个进行寿命试验，测得灯泡寿命（单位：小时）如下： 1050，1100，1080，1120，1200，1250，1040，1130，1300，1200求该日生产的整批灯泡的平均寿命及寿命方差的无偏估计值。解：由无偏估计定义可知，样本均值和样本方差是平均寿命和寿命方差的无偏估计值，于是4、设，是来自总体的一组样本，且已知，证明是的无偏估计量。
40、证明：（样本与总体的分布相同）得证，为无偏估计量。5、设总体，为其样本，试求，使为的无偏估计量。解：（样本是独立的，协方差为零）（样本与总体的分布相同），要成为无偏估计量，就要。6、设是的无偏估计量且，试证不是的无偏估计量。证明：，不是无偏估计量。7、设总体，是的样本，试证：估计量，都是的无偏估计量，并求哪个估计量的方差最小。证：，无偏估计量，无偏估计量，无偏估计量，所以最小。8、设是来自总体的样本且，问应取何值时方能使是的无偏估计量，并且为最小。解：要成为无偏估计量，就要，于是，即。要方差最小，就是，即最小，同时，于是用归纳法可证满足条件。9、设晶体管的寿命，从中抽取100只作寿命试验，测得
41、其平均寿命小时，标准差小时，求这批晶体管的平均寿命的置信度为0.95的置信区间。解：可知, ，由于都未知，于是枢轴变量为，又由于，可用正态分布代替分布，即；于是有，得，即，于是：，得置信度为0.95的置信区间为992.16,1007.84。10、设某种清漆的干燥时间（单位：小时），现有个样本观测值：求的置信度为的置信区间。（1）若已知（小时）（2）若未知。解：计算得，样本均值，样本方差，标准差（1）已知，由此枢轴变量为，于是有，得，即，于是，得置信度为0.95的置信区间为5.608,6.392。（2）若未知，则枢轴变量为，而由，查表得，于是，得置信度为0.95的置信区间为5.558,6.442
42、。11、对于方差为已知的正态总体，问需要容量为多大的样本才能使总体均值的置信度为的置信区间长度不大于？解：方差为已知，则枢轴变量为，对，置信度为的置信区间长度不大于，即，得，12、某种零件的加工时间，现进行30次独立试验，测得样本均值（秒），样本标准差（秒），若置信度为0.95，求加工时间的数学期望和标准差的置信区间。解：已知，先求的置信区间，若未知，则枢轴变量为，而由，查表得，于是，得的置信区间为4.8544,6.1456.再求的置信区间，由未知，则枢轴变量为,据不对称性查表得，得：得的置信区间为1.377,2.324。13、设某种炮弹的出炮口速度（单位;米/每秒），随即抽取发炮弹做实验，测得米/每秒，求这种炮弹出炮口速