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1、内内 容容 总总 结结1.测角中正倒镜是为了消除偶然误差。（）测角中正倒镜是为了消除偶然误差。（）判断题判断题考点分析：考点分析：“正倒镜正倒镜”即用盘左、盘右两个位置观测水平角，目的是为了即用盘左、盘右两个位置观测水平角，目的是为了消除仪器消除仪器 误差中误差中“水平度盘偏心差水平度盘偏心差”。通过将同一目标方向在水平度盘对。通过将同一目标方向在水平度盘对径分划处读数平均径分划处读数平均,可消除水平度盘偏心差。因此，可消除水平度盘偏心差。因此， “水平度盘偏心差水平度盘偏心差”是是系统误差。系统误差。 偶然误差和系统偶然误差和系统误差的定义区别误差的定义区别2.观测值与最佳估值之间之差为真误
2、差。（）观测值与最佳估值之间之差为真误差。（）考点分析：真误差概念：考点分析：真误差概念：“真误差为真值与观测值的差值真误差为真值与观测值的差值”。3.偶然误差符合统计规律。（）偶然误差符合统计规律。（）知识点：偶然误差的四个统计规律：有界性，聚中性，对称性，抵偿性知识点：偶然误差的四个统计规律：有界性，聚中性，对称性，抵偿性4.权一定无单位。（）权一定无单位。（）知识点：知识点：“同类观测值同类观测值”，权无单位；，权无单位；“不同类观测值不同类观测值”，权有单位。，权有单位。202iip内内 容容 总总 结结7.已知两段距离的长度及其中误差已知两段距离的长度及其中误差 和和 ，这两段距离的
3、真误差相等，最大限差相等。（）这两段距离的真误差相等，最大限差相等。（）300.1583.5mcm600.6863.5mcm知识点：衡量精度的常用精度指标：中误差（方差）、平均误差、或然误知识点：衡量精度的常用精度指标：中误差（方差）、平均误差、或然误差、最大限差和相对误差。差、最大限差和相对误差。注意：中误差表示的是真误差的分布范围，并不代表任何具体的真误差。注意：中误差表示的是真误差的分布范围，并不代表任何具体的真误差。8.如果随机变量如果随机变量X和和Y服从联合正态分布，且服从联合正态分布，且X和和Y的协方差的协方差为为0，则，则X和和Y相互独立。（）相互独立。（）知识点：协方差可描述两
4、个观测量之间的独立与相关性。即对于正态分知识点：协方差可描述两个观测量之间的独立与相关性。即对于正态分布的观测值而言，协方差为布的观测值而言，协方差为0与相互独立是等价的。与相互独立是等价的。6.各观测值权之间的比例关系和观测值中误差没有关系。（）各观测值权之间的比例关系和观测值中误差没有关系。（）知识点：观测值的权与观测值方差成反比，权之间的比例关系与所选的单知识点：观测值的权与观测值方差成反比，权之间的比例关系与所选的单位权中误差没有关系。位权中误差没有关系。内内 容容 总总 结结1.几个名词几个名词偶然误差偶然误差系统误差系统误差粗差粗差误差误差真误差真误差精度精度准确度准确度精确度精确
5、度方差方差中误差中误差平均误差平均误差或然误差或然误差极限误差极限误差相对误差相对误差衡量精度的指标衡量精度的指标权权注意单位：同类观测量；不同类观测量注意单位：同类观测量；不同类观测量内内 容容 总总 结结2.一个事实一个事实不论观测条件如何，不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的观测误差总是不可避免的。3.基本假设基本假设在本课程中我们在本课程中我们假设观测误差为偶然误差假设观测误差为偶然误差，即不含系统误差和粗差。换句话说，即不含系统误差和粗差。换句话说，我们我们假设观测误差服从正态分布假设观测误差服从正态分布。4.统计规律统计规律v在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值在一定的
6、观测条件下，误差的绝对值有一定的限值有界性有界性v绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大聚中性聚中性v绝对值相等的正负误差出现的概率相同绝对值相等的正负误差出现的概率相同对称性对称性v偶然误差的数学期望为零偶然误差的数学期望为零抵偿性抵偿性内内 容容 总总 结结5.协方差阵协方差阵( )( ) TLLDE LE LLE L2112122122212nnnnn1. 是观测向量的期望；是观测向量的期望；2.主对角元素主对角元素 是第是第i 组观测值的方差；组观测值的方差；3.非主对角元素非主对角元素 是第是第i 组观测值关于第组观测值关于第j组
7、观测值的协方差，组观测值的协方差，协方差用来描述观测值协方差用来描述观测值i 和观测值和观测值j 之间的相关程度；之间的相关程度；4.当当 表示这两个观测值独立，不相关；表示这两个观测值独立，不相关；5.由于由于 ，故，故 为对称阵；为对称阵；内内 容容 总总 结结6.观测值为独立观测值时，协方差阵为对角阵；观测值为独立观测值时，协方差阵为对角阵；5.协方差阵协方差阵( )( ) TLLDE LE LLE L2112122122212nnnnn7.观测值为等精度独立观测值时，即观测值为等精度独立观测值时，即 协方差阵为数量矩阵协方差阵为数量矩阵内内 容容 总总 结结6.互协方差阵互协方差阵11
8、1)(rnrnYXZYYYXXYXXZZDDDDDTYXTXYDYEYXEXED)()(若若DXY=0，则，则X、Y表示为相互独立的观测向量。表示为相互独立的观测向量。XXDX的协方差阵的协方差阵YYDY的协方差阵的协方差阵XYD向量向量X关于向量关于向量Y的互协方差阵的互协方差阵内内 容容 总总 结结7.两个传播律两个传播律线性函数线性函数00FFXYKKXZTXXYZTXXZYTXXYYTXXZZKDFDFKDDFDFDKKDD协方差传播律协方差传播律TZZXXTYYXXTZYXXTYZXXQKQKQFQFQKQFQFQK协因数传播律协因数传播律广义传播律广义传播律内内 容容 总总 结结7
9、.两个传播律两个传播律线性函数线性函数00ZKXKWFYFTZZXXTWWYYTZWXYTWZYXDKDKDFD FDKD FDFD K协方差传播律协方差传播律TZZXXTWWYYTZWXYTWZYXQKQKQFQ FQKQFQFQK协因数传播律协因数传播律广义传播律广义传播律内内 容容 总总 结结7.两个传播律两个传播律非线性函数非线性函数首先将函数线性化，线性化方法（泰勒级数和全微分法），然后再进行相关计算。首先将函数线性化，线性化方法（泰勒级数和全微分法），然后再进行相关计算。将非线性函数在将非线性函数在 处按照泰勒公式展开如下：处按照泰勒公式展开如下：00012nXXX)()(),(0
10、110100201XXXfXXXfZn二次以上项）()()()()(0002202nnnXXXfXXXf0020121)()()(nnXfXfXfkkkK01002010),(iniinXkXXXfk002211kKXkXkXkXkZnn一、泰勒级数法：一、泰勒级数法：二、全微分法：二、全微分法：002010210,)(), 2 , 1(nTniiiXXXfZZZdZdXdXdXdXniXXdXKdXdXXfdXXfdXXfdZnn0202101)()()(2.2.若函数为非线性的，则对函数求全微分进行线性化，若函数为非线性的，则对函数求全微分进行线性化，偏导数是将观测值代入求解得到偏导数是将
11、观测值代入求解得到内内 容容 总总 结结8.解题步骤解题步骤1.1.按要求写出函数式，如：按要求写出函数式，如：12,1,2,iinZfXXXit1212000,1,2,iiiinnfffdZdXdXdXitXXX4.4.将微分关系写成矩阵形式：将微分关系写成矩阵形式：ZKXdor ZKdX5.5.应用协方差传播律或协因数传播率求解具体问题应用协方差传播律或协因数传播率求解具体问题3.3.注意单位的统一，注意单位的统一，角度要转换为弧度制角度要转换为弧度制内内 容容 总总 结结9.测量中的具体应用测量中的具体应用2ABhN站测站高差精度相同时，水准测量高差的中误差与测测站高差精度相同时，水准测
12、量高差的中误差与测站数的平方根成正比，权与测站数成反比站数的平方根成正比，权与测站数成反比ABhS公里各测站距离大致相等时，水准测量高差的中误差各测站距离大致相等时，水准测量高差的中误差与距离的平方根成正比，权与距离成反比与距离的平方根成正比，权与距离成反比一、水准测量一、水准测量iiNCpiiSCp内内 容容 总总 结结二、同精度独立观测值的算术平均值二、同精度独立观测值的算术平均值xNN三、若干独立误差的联合影响三、若干独立误差的联合影响12zn 222212Zn观测结果观测结果=各独立误差所对应的方差之和各独立误差所对应的方差之和9.测量中的具体应用测量中的具体应用CNpii内内 容容
13、总总 结结四、交会定点的精度四、交会定点的精度点点P P点位方差点位方差2222uS222221222PSctg Lctg L横向误差横向误差纵向误差纵向误差以侧方交会为例：以侧方交会为例：横向误差横向误差纵向误差由边长纵向误差由边长APAP引起，横向误差由引起，横向误差由APAP边的坐标方位角引起的边的坐标方位角引起的9.测量中的具体应用测量中的具体应用222Pxy222Psu内内 容容 总总 结结10.协因数阵协因数阵nnnnnnnnnnnXXQQQQQQQQQD212222111211202212222111221XXQ协因数阵协因数阵的特点：协因数阵的特点：1.主对角元素主对角元素 是
14、随机变量是随机变量 的协因数，即权倒数。的协因数，即权倒数。iXiiQ2.非主对角元素非主对角元素 是随机变量是随机变量 关于随机变量关于随机变量 的互协因数，的互协因数，且有，且有， 因此协因数阵也为对称阵。因此协因数阵也为对称阵。 iXjiQijjXjiijQQ 3. 表明随机变量表明随机变量 与随机变量与随机变量 独立，不相关。独立，不相关。iXjiQij 0jX内内 容容 总总 结结2.当观测值相关，其协因数阵当观测值相关，其协因数阵 是非对角阵，权阵是非对角阵，权阵 的主对角元素不再是的主对角元素不再是相应观测值相应观测值 的权。的权。XXPXXQiX权阵说明：权阵说明：121222
15、2111211XXnnnnnnXXQPPPPPPPPPP则，则， 称为称为 的权阵。的权阵。XXXP对于相关的观测向量对于相关的观测向量 ，我们令，我们令IQPQPXXXXXXXX1X11.权阵权阵1.独立观测值的协因数阵独立观测值的协因数阵 、权阵、权阵 是对角阵，主对角元素就是相应观测值的权。是对角阵，主对角元素就是相应观测值的权。XXPXXQ注意：求观测值权的方法，通过协因数阵主对注意：求观测值权的方法，通过协因数阵主对角线元素进行求解。角线元素进行求解。内内 容容 总总 结结nnZZZpLfpLfpLfPQ1)(1)(1)(12222121nppx情况一：情况一：“同精度同精度”情况二
16、：情况二：“不同精度不同精度” pLxp xpp Lxn带权带权平均平均值的值的权等权等于各于各观测观测值权值权之和之和12.应用特例应用特例22222221212nnZZZkkkD主要公式汇编主要公式汇编不同精度真误差不同精度真误差计算单位权方差计算单位权方差nww3菲列罗公式菲列罗公式npdd220双观测值之双观测值之差求中误差差求中误差习习 题题12LL、80016LLD22012PP、LLP4008120LLLLDQ4/1008/11LLLLQP4/1, 8/121PP习习 题题21、LL3224LLP12021、PPLLD解：观测值的协因数阵为解：观测值的协因数阵为4223811LL
17、LLPQ观测值的协方差阵为观测值的协方差阵为观测值的权分别为：观测值的权分别为：42238120LLLLQD2, 3/821PP习习 题题解：解： 应用菲列罗公式：应用菲列罗公式：nww3n:代表三角形的个数代表三角形的个数20.83 123lll、 、IQll12LL、12LL、2L1L1l2l3l232121llLllL2112101101110011IQLL2/121LLPP112Q12LL、KllllLLL32121110011习习 题题，1230 L242 .30L例现对某角度观测例现对某角度观测2 2次，观测值及其中误差分别为：次，观测值及其中误差分别为：则该角度的平均值为则该角度
18、的平均值为 ，该角度平均值的中误差为，该角度平均值的中误差为 。解：设解：设 04则：则： 1, 4221201pp角度的平均值为角度的平均值为 021221104.30142 .301304PPLpLpL角度的平均值的权角度的平均值的权 521PPPL角度的平均值的中误差角度的平均值的中误差01141.795LLP 79. 104.30L习习 题题1L，现有函数，现有函数例例2112LLL3113P3121LLF已知观测值向量已知观测值向量，其权阵为，其权阵为，已知，已知的中误差为的中误差为试求试求1 1L的协因数阵；的协因数阵；2 2单位权中误差；单位权中误差；3 3 F的中误差？的中误差
19、？ 311381311311PQ1011/2 2P 11111LLFFQQ02 2FFFQ 解：解：18311P2 2 3 3212111LLLLF习习 题题解：由题意知解：由题意知例例已知丈量已知丈量m长的距离一次，其权为长的距离一次，其权为.，问：，问：（）丈量（）丈量m长的距离一次，其权为多少？长的距离一次，其权为多少？（）对（）对m的距离丈量多少次，其权为？的距离丈量多少次，其权为？1005 . 1100cP一次150C21300150300300Cp一次（）丈量（）丈量m m长距离一次的权为长距离一次的权为（）设丈量（）设丈量m m长距离长距离n n次的权为次的权为4,4,则则nnP
20、214300一次8n习习 题题考查点：考查点：距离定权方法：距离定权方法：加权平均值的权加权平均值的权=各个各个观测值权之和观测值权之和CPS例例已知已知m，丈量一次的权为，丈量次平均值的，丈量一次的权为，丈量次平均值的中误差为中误差为cm,而对于距离，其丈量一次的权为而对于距离，其丈量一次的权为.，若丈量次，问其平均值的中误差为多少？若丈量次，问其平均值的中误差为多少？解：解：AB 丈量一次的中误差为丈量一次的中误差为1442 44ABAB 次次220iiXpN0114 2ABABp 次次由定权公式知，单位权中误差由定权公式知，单位权中误差则丈量次的中误差为则丈量次的中误差为0114 280
21、.5CDcdp 次次则丈量次的中误差为则丈量次的中误差为11682416CDCD 次次习习 题题例例已知已知m，丈量一次的权为，丈量次平均值的，丈量一次的权为，丈量次平均值的中误差为中误差为cm,而而m,丈量次，以同样精度丈量距丈量次，以同样精度丈量距离离CD，问距离平均值的中误差为多少？，问距离平均值的中误差为多少？解：解：AB AB 丈量一次的中误差为丈量一次的中误差为442441次次ABAB220iiXpN24110次次ABABp由定权公式知，单位权中误差由定权公式知，单位权中误差则丈量次的中误差为则丈量次的中误差为85 . 024101次次cdCDp则丈量次的中误差为则丈量次的中误差为
22、24816116次次CDCD根据丈量根据丈量m m的权是知的权是知SCP 1002C200C则丈量一次的权为则丈量一次的权为5 . 04002001SCPCD 次（与上题的区别是不知道丈量一次的权）（与上题的区别是不知道丈量一次的权）习习 题题解：解：P点的两个高程值分别为点的两个高程值分别为1PAHHh 例例10如图水准路线如图水准路线A,B为已知高程点为已知高程点, 为观测高差为观测高差,设设 分别为相应分别为相应若要求平差后若要求平差后P点高程中误差为点高程中误差为 ,问观测精度问观测精度 各为多少各为多少?21,hh21,观测值的中误差观测值的中误差, ,且且 单位权中误差单位权中误差
23、21220mmP221,2PBHHh 习习 题题APBh1h2由协方差传播律得：由协方差传播律得：1P 2P 20214pP2021pPpppHpHpHpp1245ABHhHh2222212216204252525pmm12 5mm 25mm 习习 题题W例例11：单一三角形的三个观测角：单一三角形的三个观测角 的协因数阵的协因数阵 ，现将三角形闭合差，现将三角形闭合差 平均分配到各角，得平均分配到各角，得 ，式中，式中 ， （1）试求）试求 的权；的权； （2） 与与 是否相关？试证明之。是否相关？试证明之。123LLL、 、LLQI3iiWLL123180WLLL123WLLL、 、 、1
24、233 1TLLLL，=解：解： 协因数传播律：协因数传播律：10011 1 1 010130011WWQ 21111213112TLLLLQKQ K13WWP12332LLLPPP1231 1 1180LWLL112233211333601216033360112333LLLLLLL 0WLQW与 不相关。L习习 题题例例12：由已知水准点：由已知水准点A、B和和C向待定点向待定点D进行水准测量，以测定进行水准测量，以测定D点高程（如图）。点高程（如图）。各条水准路线长度分别为各条水准路线长度分别为S1=2km，S2=S3=4km，S4=1km，设，设2km线路观测高差线路观测高差为单位权观
25、测值，其中误差为单位权观测值，其中误差 ，试求（，试求（1）D点高程最或是值（加权平均值）点高程最或是值（加权平均值）的中误差的中误差 ；（；（2）A、D两点间高差最或是值的中误差两点间高差最或是值的中误差02mmDAD解：解：123411,22PPPP22222222102344,8,2mmmmmm02mm，且，且S1为单位权观测值，则为单位权观测值，则由权的定义知：由权的定义知：（1）D点高程最或是值，即加权平均值的表达式：点高程最或是值，即加权平均值的表达式：112233441234ABCDDP HhP HhP HhP HhHPPPP1Dmm 协方差传播律：协方差传播律：习习 题题例例1
26、2：由已知水准点：由已知水准点A、B和和C向待定点向待定点D进行水准测量，以测定进行水准测量，以测定D点高程（如图）。点高程（如图）。各条水准路线长度分别为各条水准路线长度分别为S1=2km，S2=S3=4km，S4=1km，设，设2km线路观测高差线路观测高差为单位权观测值，其中误差为单位权观测值，其中误差 ，试求（，试求（1）D点高程最或是值（加权平均值）点高程最或是值（加权平均值）的中误差的中误差 ；（；（2）A、D两点间高差最或是值的中误差两点间高差最或是值的中误差02mmDAD解：解：（2）A、D两点间高差最或是值：两点间高差最或是值：ADDAhHH1ADDmm 协方差传播律：协方差传播律：