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1、第七章 GPS相对定位原理利用GPS进行绝对定位时，定位精度受卫星轨道误差、钟差及信号传播误差等因素影响，尽管其中的一些系统误差，可以通过模型加以消除，但残差仍不可忽视。实践表明，目前静态绝对定位精度为米级，动态绝对定位精度仅为10-40 m。GPS相对定位也叫差分GPS定位，是目前GPS定位中精度最高的一种，广泛用于大地测量、精密工程测量、地球动力学研究和精密导航。 7.1相对定位方法概述相对定位是利用两台GPS接收机，分别安置在基线的两端，同步观测相同的GPS卫星，以确定基线端点在协议地球坐标系中的相对位置或基线向量。相对定位方法一般可推广到多台接收机安置在若干条基线的端点，通过同步观测G
2、PS卫星，以确定多条基线向量。T1T2s1s2s3s41.静态相对定位安置在基线端点的接收机固定不动，通过连续观测，取得充分的多余观测数据，改善定位精度。静态相对定位一般均采用载波相位观测值（或测相伪距）为基本观测量，对中等长度的基线（100-500km），相对定位精度可达10-6-10-7甚至更好。在载波相位观测的数据处理中，为可靠地确定载波相位整周未知数，静态相对定位一般需要较长的观测时间（1.0-1.5h），如何缩短观测时间，是研究和关心的热点。缩短静态相对定位的观测时间关键在于快速而可靠地确定整周未知数。理论和实践表明，在载波相位观测中，如果整周未知数已经确定，则相对定位精度不会随观测
3、时间的延长而明显提高。1985年美国的里蒙迪（Remondi, B. W.）发展了一种快速相对定位模式，基本思想是：利用起始基线向量确定初始整周未知数或称初始化，之后，一台接收机在参考点（基准站）上固定不动，并对所有可见卫星进行连续观测；而另一台接收机在其周围的观测站上流动，并在每一流动站上静止进行观测，确定流动站与基准站之间的相对位置。通常称为准动态相对定位，在一些文献中称走走停停（Stop and Go）定位法。准动态相对定位的主要缺点：接收机在移动过程中必须保持对观测卫星的连续跟踪。在高精度静态相对定位中，当仅有两台接收机时，一般应考虑将单独测定的基线向量联结成向量网（三角网或导线网），
4、以增强几何强度，改善定位精度。当有多台接收机时，应采用网定位方式，可检核和控制多种误差对观测量的影响，明显提高定位精度。卫星2.动态相对定位用一台接收机安置在基准站上固定不动，另一台接收机安置在运动载体上，两台接收机同步观测相同卫星，以确定运动点相对基准站的实时位置。动态相对定位根据采用的观测量不同，分为以测码伪距为观测量的动态相对定位和以测相伪距为观测量的动态相对定位。测码伪距动态相对定位，目前实时定位精度为米级。以相对定位原理为基础的实时差分GPS可有效减弱卫星轨道误差、钟差、大气折射误差以及SA政策影响，定位精度远远高于测码伪距动态绝对定位。测相伪距动态相对定位是以预先初始化或动态解算载
5、波相位整周未知数为基础的一种高精度动态相对定位法，目前在较小范围内（小于20km），定位精度达1-2cm。动态相对定位中，根据数据处理方式不同，可分为实时处理和后处理。数据的实时处理要求在观测过程中实时地获得定位结果，无需存储观测数据，但在流动站和基准站之间必须实时地传输观测数据或观测量的修正数据，这种处理方式对运动目标的导航、监测和管理具有重要意义。数据的后处理要求在观测过程结束后，通过数据处理而获得定位结果。该处理方式可以对观测数据进行详细分析，易于发现粗差，不需要实时传输数据，但需要存储观测数据。后处理方式主要应用于基线较长，不需实时获得定位结果的测量工作。由于建立和维持一个数据实时传输
6、系统（包括无线电信号的发射和接收设备），不仅技术复杂，而且花费较大，一般除非必须获得实时定位结果外，均采用观测数据的测后处理方式。 7.2静态相对定位的观测方程1.基本观测量及其线性组合假设安置在基线端点的接收机Ti(i=1,2)，对GPS卫星sj和sk，于历元t1和t2进行了同步观测，可以得到如下的载波相位观测量：1j(t1)、 1j(t2) 、 1k(t1) 、 1k(t2)、 2j(t1) 、 2j(t2)、 2k(t1)、 2k(t2)。若取符号j(t)、i(t)和ij(t)分别表示不同接收机之间、不同卫星之间和不同观测历元之间的观测量之差，则有)()()()()()()()()(12
7、12tttttttttjijijijikiijjj)()()()()()()(0tTtIcftNttttftcftjipjijijijiji目前普遍采用的差分组合形式有三种：单差（Single-DifferenceSD）:在不同观测站，同步观测相同卫星所得观测量之差。表示为双差（Double-DifferenceDD）：在不同观测站，同步观测同一组卫星，所得单差之差。符号表示为三差（Triple-DifferenceTD）：于不同历元，同步观测同一组卫星，所得观测量的双差之差。表达式为：)()()(12tttjjj)()()()()()()(1212tttttttjjkkjkk)()()()(
8、)()()()()()()(111211122122212212tttttttttttjjkkjjkkkkk载波相位原始观测量的不同线性组合，都可作为相对定位的相关观测量，优点：消除或减弱一些具有系统性误差的影响，如卫星轨道误差、钟差和大气折射误差等。减少平差计算中未知数的个数。缺点：原始独立观测量通过求差将引起差分量之间的相关性。平差计算中，差分法将使观测方程数明显减少。在一个时间段的观测中，为了组成观测量的差分，通常应选择一个参考观测站和一颗参考卫星。如果某一历元，对参考站或参考卫星的观测量无法采用，将使观测量的差分产生困难。参加观测的接收机数量越多，情况越复杂，此时将不可避免地损失一些观
9、测数据。因此，应用原始观测量的非差分模型，进行高精度定位研究，也日益受到重视。2.单差（SD）观测方程根据单差的定义，可得若取符号：则单差方程可写为)()()()()()()()()(1212010212tTtTTtItIItNtNNttttttjjjpjpjpjjjj)()()()(12TIcfNttfttcftjpjjjjj)()()()()()()()()()()()()(12120102121212tTtTcftItIcftNtNttttfttcftttjjpjpjjjjjjjj在上式中，卫星钟差的影响已经消除，这是单差模型的优点。两观测站接收机的相对钟差，对同一历元两站接收机同步观测
10、量所有单差的影响均为常量。而卫星轨道误差和大气折射误差，对两站同步观测结果的影响具有相关性，其对单差的影响明显减弱。如果对流层对独立观测量的影响已经根据实测大气资料利用模型进行了修正；而电离层的影响也利用模型或双频技术进行了修正，则载波相位观测方程中相应项，只是表示修正后的残差对相位观测量的影响。这些残差的影响，在组成单差时会进一步减弱。如果忽略残差影响，则单差方程可简化为：若取则单差观测方程改写为：如果以ni表示观测站数，以nj和nt表示所测卫星数和观测历元数，并取一个观测站作为固定参考点，则单差观测方程总数为(ni-1) nj nt，而未知参数总数为(ni-1) (3+nj+nt)，为了通
11、过数据处理得到确定的解，必须满足条件： (ni-1) nj nt (ni-1) (3+nj+nt)，由于(ni-1) 1，则有nj nt (3+nj+nt)，即jjjjNttfttcft)()()()(12)()()(1tcfttFjjjjjjNttftcftF)()()(213jjtnnn上式表明，必要的历元数只与所测的卫星数有关，与观测站的数量无关。例如当观测站所测卫星数为4，可得观测历元数应大于7/3，而历元数为整数，故历元数为3。即在观测卫星数为4的条件下，在两个或多个测站上，对同一组4颗卫星至少同步观测3个历元，按单差模型平差计算时，才能唯一确定全部未知参数。综上，独立观测方程数为n
12、injnt，单差观测方程比独立观测方程减少了njnt个。例如2个测站，3个历元，同步观测4颗卫星，则独立观测量方程总数为24，单差观测方程为12，单差观测方程比独立观测方程减少了12个。3.双差（DD）观测方程将单差观测方程，应用于两测站、两同步观测卫星，并忽略大气折射残差的影响，可得双差观测方程：kjkjkjkkNttttcfttt)()()()()()()(1122)()()()()()()()()()()()()(12120102121212tTtTcftItIcftNtNttttfttcftttjjpjpjjjjjjjj上式中双差模型的优点是消除了接收机钟差的影响。如果取观测站T1作为
13、已知参考点，并取符号则非线性化双差观测方程：该式中除了含有观测站T2的位置待定参数外，还包含一个与整周未知数有关的参数。为了方便构成双差观测方程，一般取一个观测站为参考点，同时取一颗观测卫星为参考卫星。jkkNNN)()(1)()(11ttttFjkkkjkNtttF)()(1)(22如果以ni表示观测站数，以nj和nt表示所测卫星数和观测历元数，则双差观测方程总数为(ni-1) (nj-1) nt。而待定参数总数为3(ni-1)+ (ni-1)(nj-1)，式中第一项为待定点坐标未知数，第二项为双差模型中出现的整周未知数数量。为了通过数据处理得到确定的解，必须满足条件： (ni-1) (nj
14、-1) nt 3(ni-1)+ (ni-1)(nj-1)，由于(ni-1) 1，则有 (nj-1) nt nj+2， ，即12jjtnnn上式表明：双差观测的必要历元数只与同步观测的卫星数有关，与观测站的数量无关。当同步观测的卫星数为4，则可算得观测历元数大于等于2。说明，为了解算观测站的坐标未知数和载波相位的整周未知数，在由两个或多个观测站同步观测4颗卫星时，至少必须观测2个历元。双差观测方程的缺点是可能组成的双差观测方程数将进一步减少。双差观测方程数与独立观测方程总数相比减少了(ni + nj-1) nt，与单差相比减少了(ni-1) nt 。例如2个测站，2个历元，同步观测4颗卫星，则独
15、立观测量方程总数为16，双差观测方程为6，双差观测方程比独立观测方程减少了10个，比单差减少2个。4.三差（TD）观测方程根据三差定义和二差观测方程，可得仍以观测站T1为参考点，取)()()()(1)()()()(1)()()(111112122121222212tttttttttttjkjkjkjkkkk)()()()(1)(11112121tttttFjkjkkkjkjkjkkNttttcfttt)()()()()()()(1122则非线性三差方程为：可见出现在方程右端的未知数只有观测站T2 的坐标，三差模型的优点是消除了整周未知数的影响，但使观测方程的数量进一步减少。当观测站数为ni，相
16、对某一已知参考点可得未知参数总量为3(ni-1)，此外，在组成三差观测方程时，若取一观测卫星为参考卫星，并取某一历元为参考历元，则三差观测方程总数为(ni-1) (nj-1)(nt-1)。为确定观测站未知数，必须满足(ni-1) (nj-1)(nt-1) 3(ni-1)，即(nj-1)(nt-1) 3，或nt (nj+2)/(nj-1)。说明为确定未知参数所必需的观测历元数与观测站数无关，只与同步观测卫星数有关。)()()()(112122222ttttFjkjk三差观测方程的数量与独立观测量方程相比减少了nj nt + (ni-1)(nj +nt-1) ，与单差观测方程相比减少了(ni-1)
17、(nj +nt-1) ，与双差相比减少了(ni-1)(nj -1) 。当ni=2， nj=4， nt =2时，三差观测方程数比独立观测量减少了13个，比单差减少了5个，比双差减少了3个。注意：由于三差模型使观测方程数目明显减少，对未知参数的解算可能产生不利影响。一般认为，实际定位工作中，采用双差模型较为适宜。5.准动态相对定位模型在准动态相对定位中，接收机在观测点上进行观测时是处于静止状态，定位模式仍属于静态相对定位。准动态相对定位是以载波相位观测量为根据，并假设相位观测方程中整周未知数已预先确定，因此同步观测时间可大大缩短，定位精度接近于经典静态相对定位结果。测相伪距观测方程中，整周未知数的
18、数量，只与观测站数以及同步观测卫星数有关。以双差模型为例，待定参数总数为3(ni-1)+ (ni-1)(nj-1)，整周未知数的总量为(ni-1)(nj -1) ，与双差观测方程中待定参数的总量之比为(nj -1)/(nj + 2) 。如果测相伪距观测方程中整周未知数已经确定，不仅大大减少了待定参数的数量，而且测相伪距观测方程的形式也与测码伪距观测方程一致。测相伪距观测方程可改写为若忽略大气折射残差影响，可得单差观测方程其中)()()()(12ttctttrjjj)()()()()()(1212tttttttrtrtrjjj)()()()()()()(0tTtItNttttcttjipjiji
19、jijiji)()()()()()()()()(0tNttrtTtIttttcttrjijijijipjijijiji此时，单差观测方程数为nj nt(ni-1)，待定参数总数(ni-1)(3+nt )，定位条件为nt 3/(nj-1)。即当两站同步观测卫星数为4，即使每一流动站同步观测一个历元，也可获得唯一定位解。当采用双差模型，则有其中此时，双差观测的历元数与观测卫星数之间关系与单差模型相同。)()()()()(1212tttttrjjkkk)()()(trtrtrjkk在整周未知数已经确定的情况下，测相伪距差分观测方程与测码伪距差分观测方程的表达形式完全相同。显然，以测相伪距为观测量进行
20、准动态相对定位的关键是在观测工作之初，首先准确地测定载波相位的整周未知数，即进行初始化工作，并在观测工作开始后至少保持对4颗卫星的连续跟踪。如果在流动的观测站上，通过短时间的观测，就能可靠地确定整周未知数，则接收机在流动观测站上移动时，就不再需要对所测卫星进行连续跟踪，从而使相对定位更简便、快速。快速、准确地测定载波相位的整周未知数，是发展高精度快速相对定位的基础。 7.3动态相对定位的观测方程动态相对定位是将一台接收机安设在一个固定站上，另一台接收机安置在运动载体上，在运动中与固定观测站的接收机进行同步观测，确定运动载体相对固定观测站（基准站）的瞬时位置。动态相对定位的特点是要实时确定运动点
21、相应每一观测历元的瞬时位置。假设在协议地球参考坐标系中，所测卫星sj的瞬时位置向量为 j(t)，运动点的瞬时位置向量为 i(t)，则于任一历元t，运动点至所测卫星的几何距离为ij(t)=| j(t) - i(t) |。动态相对定位与静态相对定位的基本区别是动态观测站的位置也是时间函数。但动态相对定位与静态相对定位一样，可以有效地消除或减弱卫星轨道误差、钟差、大气折射误差的系统性影响，显著提高定位精度。根据采用的伪距观测量的不同，一般分为测码伪距动态相对定位和测相伪距动态相对定位。1.测码伪距动态相对定位法测码伪距观测方程的一般形式为：如果将运动点Ti(t)与固定点T1的同步测码伪距观测量求差，
22、可得单差模型：若略去大气折射残差的影响，则简化为)()()()(1ttctttjjij)()()()()()(tTtIttcttcttjigjijijiji)()()()()()()()()(1111tTtTtItIttttctttjjigjgjiijjij若仍以ni和nj表示包括基准站在内的观测站总数和同步观测卫星数，则单差方程数为(ni-1)nj，未知参数总量为4(ni-1)，求解条件为(ni-1)nj 4(ni-1)，即nj 4。对于观测量的双差，可得观测方程：类似分析表明，求解条件仍为nj 4。利用测码伪距的不同线性组合（单差或双差）进行动态相对定位，与动态绝对定位一样，每一历元必须至
23、少同步观测4颗卫星。)()()()()(11tttttjjikkik如果要实时地获得动态定位结果，则在基准站和运动站之间，必须建立可靠的实时数据传输系统。根据传输数据性质和数据处理方式，一般分以下两种：（1）将基准站上的同步观测数据，实时地传输给运动的接收机，在运动点上根据收到的数据，按模型进行处理，实时确定运动点相对基准站的空间位置。该处理方式理论上较严密，但实时传输的数据量大，对数据传输系统的可靠性要求也较严格。（2）根据基准站精确已知坐标，计算该基准站至所测卫星的瞬时距离，及其与相应的伪距观测值之差，并将差值作为伪距修正量，实时传输给运动的接收机，改正运动接收机相应的同步伪距观测量。该处
24、理方式简单，数据传输量小，应用普遍。在基准站T1已知的条件下，可得若取基准站的伪距测量值与相应计算值之差为则)()()(111tttjjj)()()()()()(11111tTtIttcttcttjgjjjj)()()()()(1111tTtIttcttctjgjjj在任一运动站 Ti(t)上，站星之间距离与相应伪距观测值之差可类似的写出：若取符号：可得)()()()()()()(11tttttttjjjijijjji)()()()()()()(tTtIttcttctttjigjijijijiji)()()()()()()()()()()()(1111tTtTtTtItItIttttttttt
25、jjijigjgjijiijjij)()()()(tTtIttctjigjij如果忽略大气折射对不同观测站伪距观测量的不同影响，以及不同接收机钟差变化，则近似有如果将基准站T1的伪距差作为差分GPS（DGPS）的修正量，则根据修正后的测码伪距观测量所确定的运动点的实时位置精度主要取决于：运动点离开基准站的距离。修正量的精度及其有效作用期。目前，应用C/A码的定位精度，在距离基准站50-100km的范围内，可达米级。修正量的更新率可按用户要求而定，取为数秒钟至数分钟，或更长。)()()(1tttjjiji2.测相伪距动态相对定位法由于测相伪距为观测量的动态相对定位，存在整周未知数的解算问题，因此
26、在动态相对定位中，目前普遍采用的是以测码伪距为观测量的实时定位方法。但以载波相位为观测量的高精度实时动态相对定位方法（Real Time DGPSRTDGPS）的研究与开发已经得到普遍关注，并取得了重要进展。与实时动态绝对定位一样，以测相伪距为观测量，进行实时动态相对定位的关键仍然是载波相位整周未知数的解算问题。如果在动态观测开始之初，首先用快速解算整周未知数的方法，准确确定了载波相位观测量的整周未知数，即进行了初始化工作。在接收机载体运动过程中，保持对所测卫星（至少4颗）的连续跟踪，则根据运动点和基准站的同步观测量，可精确确定运动点相对基准站的瞬时位置。目前该方法在小范围内（小于20km）得
27、到了普遍应用。上述方法的缺点是在观测过程中，要保持对所测卫星的连续跟踪，在实践中往往比较困难，一旦失锁，则需重新进行初始化工作。测相伪距动态相对定位法依据数据处理方式的不同，分为实时处理和测后处理两种。 7.4静态相对定位的单基线平差模型假设在同一观测时段，只有两台接收机在一条基线上进行了同步观测工作。从这一条件出发，根据间接平差原理，讨论载波相位观测量不同线性组合的平差模型。这些模型易于推广到多台接收机观测情况。1.观测方程线性化及平差模型在协议地球坐标系中，若观测站Ti待定坐标的近似向量为Xi0=Xi0 Yi0 Zi0T,其改正数向量为Xi=Xi Yi ZiT，则观测站Ti至所测卫星sj的
28、距离按泰勒级数展开并取其一次微小项，可得上式中Xj(t), Yj(t), Zj(t)为卫星sj于历元t的瞬时坐标。下面所讲的平差模型是假设所测卫星的瞬时坐标和起始点坐标已知的情况下。2120202000)()()()()()()(ijijijjiiiijijijijijiZtZYtYXtXZYXtntmtlt（1）单差模型任取两观测站T1和T2，并以T1为已知起始点，根据载波相位单差模型可得单差观测方程线性化形式取符号jjjjNttfttcft)()()()(12jjjjjjjNttfttZYXtntmtlt)()()(1)()()(1)(120222222)()(1)()(120ttttlj
29、jjj相应的误差方程为若两观测站同步观测卫星数为nj,则误差方程组为：或)()()()()(1)(222222tlNttfZYXtntmtltvjjjjjj)(.)()(.)(1.11)()()(.)()()()()()(1)(.)()(212122222222222212121221tltltlNNNttfZYXtntmtltntmtltntmtltvtvtvjjjjjjnnnnnn)()()()()()(2ttttttltcNbXav若进一步假设同步观测同一组卫星的历元数为nt，则相应的误差方程组为相应的法方程式及其解其中P为单差观测量的权矩阵。UNYUYN10PLCBAUCBAPCBAN
30、tNXYTTT)()()(2)()()()(2)()(ttttttltCNBXAV（2）双差模型两观测站，同步观测卫星sj和sk，并以sj为参考卫星，则双差观测方程线性化的形式为kjkjkjkkNttttfcttt)()()()()()()(1122kjkjkkkkkNttttZYXtntmtlt)()()()(1)()()(1)(112020222222上式中若取符号则得误差方程式：若同步观测卫星数为 nj,则有误差方程组jkkjkjkjkkkkNNNtntntmtmtltltntmtl)()()()()()()()()(222222222)()()()(1)()(120120ttttttl
31、jjkkkk)()()()(1)(222222tlNZYXtntmtltvkkkkkk)()()()(2ttttlNbXav若在基线两端同步观测同一组卫星的历元数为nt，则相应的误差方程组为)(.)()()(.)()()(.)()()(.)()()(212121212ntntntntttttttttttttvvvVlllLbbbBaaaALNXBAV相应的法方程式及其解可表示为其中P为双差观测的权矩阵。UNYUYN10PLBAUBAPBANNXYTTT2（3）三差模型假设于基线两端，同步观测GPS卫星的历元为t1、t2，则三差方程线性化形式为上式中)()()()(11)(12012022222
32、2ttttZYXnmltjjkkkkkk)()()(12tttkkk其中若取则得误差方程)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(11211202201121120220120120122212221222222tttttttttttttntntmtmtltltntmtljjjjkkkkjjkkkkkkkkkkk)()()()(1)()(120120ttttttljjkkkk)()()()(1)(222222tlZYXtntmtltvkkkkk当同步观测卫星数为nj，并以某一卫星为参考卫星时，可得误差方程组为)(.)()()()()()(.)()()(
33、)()()(1)()(.)()()()()()(1111121222222222121212212tltltlttntmtltntmtltntmtlttvtvtvttttjjjjjnnnnnlavlXav如果两观测站对同一组卫星同步观测历元数为nt，并以某一历元为参考历元，则误差方程组为：相应法方程组及其解为：其中P为相应三差观测量的权矩阵。)(.)()()(.)()()(.)()(12122221211212ntTTntTnttttZYXttttttlllLXaaaAvvvVLXAV PLAPAAXPLAXPAATTTT12202.观测量线性组合的相关性一般，两个观测量之间的相关性分为物理相
34、关和数学相关。例如：两个观测站同步观测同一卫星，所得观测量在物理上是相关的，而在数学上是不相关的，因此认为两观测量是相互独立的。这里所说的观测量之间的相关性一般均指其间的数学相关性，同时假设独立观测量的误差属于正态分布，数学期望为零，方差为2。（1）单差观测量的相关性由两观测站于历元t同步观测卫星sj的观测量之差为若同一历元同步观测另一卫星，则有上两式可表示为以矩阵形式表示)()(12ttjjj)()(12ttkkk)()()()(11000011)()(2121ttttttjjkkjk)()()(tttr如果(t)的方差阵为D (t)，根据方差与协方差传播定律，可得观测量单差的方差阵考虑E(
35、t)为单位矩阵。则表明两观测站同步观测两不同卫星所组成的单差，其间仍不相关。该结论可推广到一般情况。)()()()(ttttTrDrD)()(2ttED)(2)()(10012)()()()()(22ttttttttTTEDErrrrD而如果在基线两端同步观测nj颗卫星，观测历元数为nt，则由此组成单差的方差和协方差阵形式为：其中，相应的权矩阵为)(.00.0.)(00.0)(21nttttEEEEED22)(tntnntnjjEDP2121（2）双差观测量的相关性假设在观测站1、2于历元t同步观测卫星i、j、k，并取i为参考卫星，则有用矩阵表示为)()()()()()(ttttttikkij
36、jTkjikjttttttttttt)()()()(101011)()()()()()()(rr其中观测量双差的方差与协方差阵为表明：不同卫星同步观测量所组成的双差，其间是相关的。相应的权矩阵为21123121)(2tP21122)()()(2)()()()()(22ttttttttTTDrrDrDrD当两个观测站同步观测的卫星数为nj，则权矩阵的形式为此时，权矩阵的维数仅取决于同步观测的卫星数。1.11.1.111.111212)1)(1()(jjjjnnnnnntjjP如果同步观测的历元数为nt，则相应双差的权矩阵为一般，不同历元同步观测的卫星数可能不同，因而上式中相应每一观测历元的双差权
37、阵维数，只与相应历元观测的卫星数有关。关于三差观测量相关性的推导与双差类似。)(.000.0.)(00.0)(21)1()1(ntnnnnttttjtjPPPP 7.5整周未知数的确定方法在观测站1和卫星j之间，载波相位的变化为当整周未知数确定后，测相伪距与测码伪距的观测方程在形式上将一致，此时只要同步观测的卫星数不少于4，即使观测一个历元，也可获得唯一定位结果。因此，在载波相位观测中，如果能预先消去或者快速地解算整周未知数，将大大缩短必要的观测时间。)()()()(00tNttNttjijijiji如果整周未知数作为待定量，与其它未知参数一起在数据处理中一并求解，则根据情况，将需要长达1-3
38、小时的观测时间。因为在同步观测4颗卫星的情况下，为解算整周未知数，理论上至少观测3个历元。如果同步观测时间很短，所测卫星的几何分布变化很小，使站星距离变化也很小，将降低不同历元观测结果的作用，在平差计算中，法方程的性质将变坏，影响解的可靠性。准确快速地解算整周未知数，无论对保障相对定位精度，还是开拓高精度动态定位应用领域，都有重要意义。整周未知数解算方法分类：按解算时间长短划分：经典静态相对定位法和快速解算法。经典静态相对定位法：将其作为待定量，在平差计算中求解，为提高解的可靠性，所需观测时间较长。快速解算法包括：交换天线法、P码双频技术、滤波法、搜索法和模糊函数法等，所需观测时间较短，一般为
39、数分钟。按接收机状态区分；静态法和动态法。前述的快速算法，虽然观测时间很短，仍属静态法，动态法是在接收机载体的运动过程中确定整周未知数的方法。1.确定整周未知数的经典静态相对定位法该方法在长距离静态相对定位中是一种常用方法，其数学模型有单差和双差模型。也可采用三差模型，首先消除整周未知数，在观测站坐标确定后，再根据单差和双差模型，求解相应的整周未知数。在平差计算中，整周未知数的取值分两种情况：整数解（固定解）：将平差计算所得的整周未知数取为相近的整数，并作为已知数代入原方程，重新解算其它待定参数。当观测误差和外界误差（或残差）对观测值影响较小时，该方法较有效，一般应用于基线较短的相对定位中。非
40、整数解（实数解或浮动解）：如果外界误差影响较大，求解的整周未知数精度较低(误差影响大于半个波长)，将其凑成正数，无助于提高解的精度。此时，不考虑整周未知数的整数性质，平差计算所得的整周未知数，不再进行凑整和重新计算。一般用于基线较长相对定位中。2.交换接收天线法原理：在观测之前，先在基准站附近5-10m处选择一个天线交换点，将两台接收机天线分别安置在该基线两端，同步观测2-8个历元后，相互交换天线，并继续观测若干历元；最后将两天线恢复到原来位置。此时固定站与天线交换点之间的基线向量视为起始基线向量，利用天线交换前后的同步观测量，求解基线向量，进而确定整周未知数。假设在固定站1和天线交换点2的接
41、收机，于历元t1同步观测了卫星j、k，在忽略大气折射影响的情况下，可得单差观测方程：相应的双差观测方程为上式中)()()(1)()()()(1)(111121111121ttfNtttttfNtttkkkkjjjjjkjjkkNNttttt)()()()(1)(111211121)()()()(11121112tNtNNtNtNNkkkjjj当两接收机交换天线后，于历元t2同步观测相同卫星j、k，则单差观测方程为：相应的双差观测方程为)()()(1)()()()(1)(221222221222ttfNtttttfNtttkkkkjjjjjkjjkkNNttttt)()()()(1)(21222
42、122221Sj(t1)Sk(t1)1Sj(t2)Sk(t2)2T1T2T1T2取相应历元t1、t2的双差之和，则有其中上述模型与静态三差模型相类似，区别在于上式是根据不同历元同步观测量的双差之和而建立的。由于所选起始基线很短，此时卫星轨道误差和大气折射误差对该模型的影响可忽略不计。上式的求解条件与双差相同。根据上式确定起始基线向量后，可根据双差模型确定整周未知数。该方法观测时间短（数分钟），精度较高，操作方便，在准动态相对定位中得到应用。)()()()(11122ttttjkjk)()()()()()()()()()()()(11121111212122221222ttttttttttttj
43、jjkkkjjjkkk2.确定整周未知数的P码双频技术所谓P码双频技术也称扩波技术是指通过P码与载波相位观测量的综合处理，来确定整周未知数的方法。（1）双频载波相位观测量的线性组合假设相应载波L1、L2的相位观测量分别为L1(t)和L2(t)，经过电离层折射改正后，可得载波信号的传播时间：21)()()(21ftfttTLL若取上述载波相位观测量的线性组合其中m、n为任意整数值，则有其中相应组合波的频率和波长分别为若以符号NL1、NL2分别表示载波L1、L2相位的整周未知数，则组合波的相位整周未知数为)()()(21tmtntLLmnmnmnfttT)()(mnmnmnfcfmfnf2121L
44、LmnNmNnN当载波L1、L2相位观测量误差为时，则组合量的误差为由于电离层影响与频率有关，由此引起的电磁波信号延迟或时间延迟不同。假设电离层对载波L1、L2相位观测量的影响分别为IL1、IL2,则对组合波的影响可表示为电离层对载波影响的一般形式（已知）为2122)(mnmn21ILILmInmnfNfCII7103436. 1于是，电离层引起的组合波相位延迟和时间延迟分别为可见，系数m、n的不同取值，可得到具有不同波长的组合波。但对实际，只有以下两种取值情况具有重要意义。 n=1, m=-1：相应的组合波称为宽波，若以下标w表示，其特征量为：2112211221fmfnfmfnffCtfm
45、fnffCImInImIn则电离层引起的相位延迟和时间延迟分别为212121)()()(LLwwwwLLwNNNfcfffttt2121ffCtfffCIIwwIIw n=1, m=1：相应的组合波为窄波，其相应的特征量，若以下标n表示，有电离层折射引起的相位延迟和时间延迟为212121)()()(LLnnnnLLnNNNfcfffttt2121ffCtfffCIInnIIn电磁波频率波长时间延迟主项L1154f00.190m-CI/f1L2120f00.244m-CI/f2LW34f00.862m+CI/(f1 f2)LN274f00.107m-CI/(f1 f2)对GPS而言，组合波的特征
46、量如下表F0为基准频率10.23 106Hz, CI= 1.3436 10-7N， N为电磁波传播路径上的电子总量（2）P码相位观测量的线性组合由于电离层的弥散性质，对码信号与载波信号的传播影响不同，直接利用码信号的原始观测量与载波信号观测量相比较，不利于准确解算整周未知数。为此与载波相位观测量相类似，需讨论P码相位观测量的线性组合。假设相应载波L1、L2的P码相位观测量分别为PL1(t)和PL2(t)，fP为P码信号频率。同时定义虚拟P码相位观测量如下)()()()(222111tffttfftPLPLPLPL类似可取线性组合的一般形式为电离层对该虚拟码相位组合量的影响（相位延迟和时间延迟）
47、为：若定义)()()(21tmtntLLnm2112211221)(fmfnfmfnffCtfmfnffCtIInmIInm) 1, 1()()()() 1, 1()()()(2121mntttmntttLLnLLw相应电离层折射影响分别为：码信号观测量的不同组合，电离层引起的时间延迟数值相等符号相反。2121ffCtfffCIIwwIIw2121ffCtfffCIInnIIn（3）整周未知数的确定利用载波相位和P码相位观测量的线性组合量，解算整周未知数的综合方法。载波L1、L2的观测方程为可得)()()()()(21tTcffffCNttttftcftjiwwIjiwjiwjiwjiw)()
48、()()()(21tTcffffCNttttftcftjinnIjinjinjinjin)()()()()()()(1101111tTtIcftNttttftcftjiLpjijiLjijijiL)()()()()()()(2202222tTtIcftNttttftcftjiLpjijiLjijijiL或表示为根据测码伪距观测方程，相应L1和L2可得由于可得)()()()()()()()()()(2121tTffCcNttttctttTffCcNttttcttjiIjinnjijijinnjiIjiwwjijijiww)()()()()()()()()()()()(2211tTtIttttct
49、ttTtIttttcttjigLjijijijiLjigLjijijijiL)()(ttppji)()()()()()()()()()()()(2222211111tTtIcfttttftcfttTtIcfttttftcftjigLjijijijiLjigLjijijijiL由此得虚拟码相位观测量的线性组合形式或将上式与虚拟载波相位观测量的线性组合比较可得)()()()()()()()()()(2121tTcffffCttttftcfttTcffffCttttftcftjinnIjinjinjinjiwwIjiwjiwjiw)()()()()()()()()()(2121tTffCcttttc
50、tttTffCcttttcttjiIjijijinnjiIjijijiwwjiwwjinnjiwwNtt)()(于是对GPS卫星，则有当宽波的整周未知数确定后，即可利用相关观测量方程，求解其它待定参数。在具有P码双频接收机的条件下，只要观测一个历元便可解算宽波的整周未知数。增加观测历元，只是增加多余观测量。该方法对缩短相对定位的观测时间，加快作业速度和开拓在动态相对定位中的作用有重要意义。)()(ttNjinwnjiwjiw)(13717)(ttNjinjiwjiw由于P码的保密性，使得P码双频技术的应用受到了限制。同时由于多路径效应的大小与波长成正比，实际分析表明：多路径效应对测相伪距的影响