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1、赵成刚赵成刚 教授教授北京交通大学土建学院岩土所北京交通大学土建学院岩土所 二零零六年九月二零零六年九月学学力力土土态态状状界界临临n土力学主要研究土体的在荷载和周围环境作用下，土体的变形、强度变形、强度（稳定性）和渗流渗流。为何要学临界土力学：为何要学临界土力学：加深对土的工程性质的认识和理解加深对土的工程性质的认识和理解它是现代土力学本构模型的基础它是现代土力学本构模型的基础它是数值分析方法的基础它是数值分析方法的基础临界状态土力学是现代土力学的基石临界状态土力学是现代土力学的基石土力学模型的讨论土力学模型的讨论任何一种理论模型都仅仅描述了现实世界的一部任何一种理论模型都仅仅描述了现实世界
2、的一部分或某一侧面。它不可能描述这一复杂世界的全分或某一侧面。它不可能描述这一复杂世界的全部现象。部现象。理论模型通常都是在一些假定下建立的，即忽略理论模型通常都是在一些假定下建立的，即忽略次要的东西，抓住本质。次要的东西，抓住本质。每一种理论模型都有优点和缺点，及其适用范围。每一种理论模型都有优点和缺点，及其适用范围。理论模型有很多，有简单的，也有复杂的。理论模型有很多，有简单的，也有复杂的。应用时应根据工程问题的需要来选取模型。在工应用时应根据工程问题的需要来选取模型。在工程允许的情况下，尽可能的采用简单模型。程允许的情况下，尽可能的采用简单模型。土力学模型的发展土力学模型的发展（简单到复
3、杂）（简单到复杂）儿童期模型儿童期模型(经典土力学）经典土力学）1）应力计算用线弹性理论（荷载小时可用）应力计算用线弹性理论（荷载小时可用）2) 变形计算本质上是一维的变形计算本质上是一维的3）稳定计算不考虑变形，采用刚塑性模型）稳定计算不考虑变形，采用刚塑性模型（当允许较大变形时，初始阶段应力应（当允许较大变形时，初始阶段应力应变曲线的形状可不计及）变曲线的形状可不计及）学生期模型学生期模型它比儿童期模型更能反映实际情况，但理论也它比儿童期模型更能反映实际情况，但理论也更复杂些。更复杂些。研发学生期模型有两个原因：研发学生期模型有两个原因：1）它可以把经典土力学中不相关的性质，例）它可以把经
4、典土力学中不相关的性质，例如强度，压缩，剪胀和临界状态等结合在一如强度，压缩，剪胀和临界状态等结合在一起。使土力学各部分更加有机的连在一起，起。使土力学各部分更加有机的连在一起，便于理解，并采用塑性力学理论进行变形计便于理解，并采用塑性力学理论进行变形计算。算。2）能反映土的非线性以及土的）能反映土的非线性以及土的2维和维和3维变形维变形（但计算复杂，通常用有限元计算）（但计算复杂，通常用有限元计算） 土力学仍然处于发展的初级阶段土力学仍然处于发展的初级阶段 其主要原因在于还没有建立起一套坚实的理论其主要原因在于还没有建立起一套坚实的理论基础，各种概念和方法之间缺少有机的联系和基础，各种概念和
5、方法之间缺少有机的联系和统一的理论基础（例如变形、强度与渗流缺少统一的理论基础（例如变形、强度与渗流缺少有机的联系）；经验主义和经验公式还随处可有机的联系）；经验主义和经验公式还随处可见，并居于重要的地位，这就是土力学不成熟见，并居于重要的地位，这就是土力学不成熟的标志。的标志。 临界状态土力学是现代土力学发展的里程碑。临界状态土力学是现代土力学发展的里程碑。它建立了变形与强度之间的关系，进一步完善它建立了变形与强度之间的关系，进一步完善了土力学的理论基础。但这种发展与变化仍然了土力学的理论基础。但这种发展与变化仍然没有从根本上改变上述状况，土力学统一的理没有从根本上改变上述状况，土力学统一的
6、理论基础仍有待于发展和研究。论基础仍有待于发展和研究。临界状态土力学是临界状态土力学是RoscoeRoscoe为代表的剑桥学为代表的剑桥学派创立的派创立的(1958,1963,1968)(1958,1963,1968)Roscoe,K.H.,Schofield,A.N. and Wroch,C.P.(1958),on the yielding of soils,Geotechnigue,8(1),22-53Roscoe,K.H. and Schofield,A.N. and Thurairajah, A.H. （1963）, Yielding of soils in states wetter
7、 than critical, Geotechnique, 13, 211-240Roscoe,K.H. and Barland,T.B.(1968), On the generalised stress-strain behaviour of wet clay, Eds by J.Heyman and F.A.Lechie, Engineering Plasticity(Cambridge University Press),pp.535-609参考文献参考文献1. Schofield A. and Wroth P.(1968), Critical State Soil Mechanics,
8、 London: McGRAW-HILL.2. Wood D.M.(1990), Soil Behavior and Critical State Soil Mechanics, New York: Cambridge Press.3.赵成刚（2008），土的基本性质和临界状态理论简介，自编教材在土力学中，很多概念和想法都来自于在土力学中，很多概念和想法都来自于三轴实验或针对三维轴对称情况而建立三轴实验或针对三维轴对称情况而建立的。因此在建立土的本构模型或分析方的。因此在建立土的本构模型或分析方法时，通常都以三维轴对称情况为基础法时，通常都以三维轴对称情况为基础而进行，然后再推广到一般情况。而
9、进行，然后再推广到一般情况。 三维轴对称情况中三维轴对称情况中2=3，则应力，则应力不变量通常表示为：不变量通常表示为：123/3/3iip 1313q11u为了使本构关系符合热力学基本规则，必为了使本构关系符合热力学基本规则，必须建立完全对偶（功共轭）的应力和应变须建立完全对偶（功共轭）的应力和应变的描述。与应力在功上相对偶的应变（的描述。与应力在功上相对偶的应变（2/3系数）为：系数）为：132v1323q1ve vqWpq剑桥模型的基本假定：剑桥模型的基本假定：土是连续的和各向同性的饱和土。土的变形是连续的。不考虑时间的率效应（即流变效应）。土被认为是一种弹塑性体。临界状态的定义在外荷载
10、作用下土在其变形发展过程中，无论其初始状态与应力路径如何，都在某一特定点结束，如果这一点存在的话，则该点处于临界状态。临界状态的定义：土体在剪切试验的大变形阶段，它趋向于最后的临界条件，即体积和应力（总应力和孔隙压力）不变，而剪应变还不断持续的发展和流动的状态。换句话说，临界状态的出现就意味着土已经发生流动破坏，并且隐含着下式成立：0ssspqv v:lnp空间中的临界状态线Schofield（2005年）对临界状态做如下表述：年）对临界状态做如下表述： The kernel of our ideas is the concept that soil and other granular ma
11、terials, if continuously distorted until they flow as a frictional fluid, will come into a well defined state determined by two equations（我们想法的要点是这样一种概念，如果土和其它颗粒材料受到连续的剪切作用直到象具有摩擦阻力的流体似地流动时，土和颗粒材料进入到由以下2个方程确定的状态）： q=Mp =v+lnp正常固结土正常固结土正常固结土是一种历史上没有出现过卸载的土。为研究方便正常固结土在固结压力等于0时，定义其抗剪强度也为0。对于同一土来说，因为没有出
12、现过卸载，所以这样定义的正常固结土实际上是处于一种最疏松的状态（与出现过卸载的土相比）。如果沿着正常固结线而固结的过程出现卸载，见图7-4从B点开始沿BD线段卸载。BD线称为膨胀线（膨胀曲线）或回弹线（回弹曲线）。 7-11 Isotropic compression of sandChapter Ten The Critical State Line And The Roscoe Surface 10-1 Introduction 本章目的是找出一种没有矛盾本章目的是找出一种没有矛盾,用可以整体理解的统一方式描述所用可以整体理解的统一方式描述所观测到的土的剪切表现观测到的土的剪切表现.本章首
13、先讨论正常固结土的试验与结果本章首先讨论正常固结土的试验与结果. Roscoe 抓住影响土体变形的主要因素即：抓住影响土体变形的主要因素即： e+1=v; q, p10-2 Families of undrained tests Figure 10-1 Relationship between deviator stress q and axial strain a in undrained triaxial tests on samples normally consolidated to pe=a,2a,3a Figure 10-2 Relationship between normali
14、zed deviator stress q/ pe and axial strain a for the tests in Fig.10-1 为等效固结应力，等效固结应为等效固结应力，等效固结应力是正常固结线上相应于某一孔力是正常固结线上相应于某一孔隙比隙比e的平均有效应力，见下式：的平均有效应力，见下式：exp()/ epN vep Figure 10-3 Stress paths in (a) q:p and (b):p space for undrained tests on normally consolidation samples 10-3 Families of drained
15、tests Figure 10-4 Relationship between (a) deviator stress q and axial strain a and (b) volumetric strainv in drained triaxial tests on samples isotropically normally consolidated to po=a,2a,3a Figure 10-5 Relationship between normalized deviator stress q/po and axial strain a for tests shown in Fig
16、.10-4 Figure 10-6 Stress paths in (a) q:p space for drained triaxial tests on normally consolidated samples 104 The critical state line Figure 10-6 Stress paths in (a) q:p space for drained triaxial tests on normally consolidated samples Figure 10-8 The critical state line in : in p space(data from
17、Parry,1960) 三个公式qf =MP 临界状态线临界状态线 Vf = lnPf 正常固结线正常固结线 V = N lnP 回弹线回弹线 V =V lnP MqPTable 10-1 Values of soil constants for various clays(after Schofield and Wroth,1968,p.157)10-5 Drained and Undrained planes Figure 10-9 The critical state line in q:p:space Figure 10-10 The path followed by an undra
18、ined test in q:p:space Figure 10-11 The path followed by a drained test in q:p: space正常固结土，只要知道初始条件（P0 、 0）以及实验参数（M、）就可求得临界状态时的Pf 、qf 、f 不排水： 0 f由 f = lnPf 可以得到下式 Pf =exp( 0 )/ qf =M Pf =M exp( 0 )/ 见例题101 Figure 10-12 The path followed by a drained test in q:p space三轴排水实验三轴排水实验初始条件：初始条件： P P0 ；q0 =
19、0 ； u=0 P = P u = P =1/3(a + 2r ) q = a r三轴实验中，围压为常值三轴实验中，围压为常值r0 P = 1/3a q = a q/ P = 3所以临界状态线在（所以临界状态线在（P 、q ）平面投影的斜率等于）平面投影的斜率等于3三轴排水实验由图1012的几何关系可得 qf =3(Pf P0 ） qf =MPf 由上面二个式子消去由上面二个式子消去Pf 可以得到可以得到 qf =3M P0 /(3M） Pf = qf /M= 3 P0 /(3M) f = lnPf = ln3 P0 /(3M) 见例题102Figure 10-13 Four undraine
20、d planes in q:p: spaceFigure 10-14 Two drained planes in q:p: space10-6 The Roscoe SurfaceFigure 10-15 Families of drained and undrained tests in q:p: space 结论结论：不论排水试验路径还是不排水试验路径都在Roscoe面上 验证的方式为：当两种路径中其有效应力点(P:q)相同时，它们是否具有相同的体积v。v相同意味着两种试验路径当应力相同时，都对应同一点v，而这些点可以组成一个面，该面称为Roscoe面 。 Figure 10-16 Dra
21、ined and undrained paths in q:p space为了检验排水应力路径和不排水应力路为了检验排水应力路径和不排水应力路径在（径在（p:q:v)空间中是否处于同一曲面，空间中是否处于同一曲面，则应看在（则应看在（p:q)平面上同体积形成的曲平面上同体积形成的曲线是否相同或相似。并且线是否相同或相似。并且2种路径的曲线种路径的曲线应相互协调一致，即同体积的曲线应从应相互协调一致，即同体积的曲线应从大到小协调排列，不允许曲线相互交错。大到小协调排列，不允许曲线相互交错。(反证法）反证法） 10-7 The shape of Roscoe surfaceFigure 10-23
22、 The path in q/pe:p/pe space for a drained test Figure 10-24 Test paths in q/pe:p/pe space for a drained test,an undrained test, and a test at constant p on samples of normally consolidated kaolin clay(after Balasubramaniam,1969) Figure 10-20 Path in q/pe:p/pe space for undrained tests10-8 The Rosco
23、e surface as a state boundary surface正常固结线上的土是一种最疏松状态的土 在正常固结线右侧的土是处于比正常固结线上的土还疏松的状态；所以正常固结线右侧是一种不可能的状态。 当土的初始状态点处于正常固结线（左侧）以下时，这种状态的土必然发生过卸载，处于超固结状态；与正常固结土相比，超固结土通常也会更加密实。正常固结线作为边界线也可以这样理解：当平均有效应力固定时，正常固结线上的体积（或比容）是最大的体积，即最疏松状态；当体积（或比容）固定时，正常固结线上的平均有效应力是最大的平均有效应力，否则大于这种最小的平均有效应力的力就会产生进一步压缩，所以也就不会处于
24、最疏松的状态了。 本章小结在三维（q；p；v）空间中存在一临界状态线（曲线）。它是正常固结土样在三轴压缩时所有应力路径到达破坏时的终点。从正常固结线到临界状态线(在q；p；v三维空间中）的所有排水或不排水试验的路径都在Roscoe面上。任何试验的试验平面（排水与不排水平面）与Roscoe面的交线确定了它们所有的路径。 Roscoe面的几何形状为：当v为常数时，Roscoe面会形成一曲线。当v为不同数值时，所形成的曲线形状都相似，但大小不同。但当采用p/pe：q/qe为坐标时，则所形成的曲线是唯一的。 Roscoe面是可能与不可能路径的状态边界面。 Chapter Eleven The beha
25、viour of overconsolidation samples: the hvorslev surface 11-1 Introduction 正常固结土样从正常固结线到达临界状态线时正常固结土样从正常固结线到达临界状态线时将发生破坏，同样的概念能否用于超固结土样，本将发生破坏，同样的概念能否用于超固结土样，本章将讨论这一问题。章将讨论这一问题。 11-2 Drained testsFigure 11-1 Compression and swelling lines Figure 10-25 Consolidation and swelling of lightly overconsol
26、idated samples Figure 10-26 Paths in q/pe:p/pe space for undrained tests on lightly overconsolidated samples of kaolin clay(after Loudon,1967) Figure 11-2 Test data from a drained test on an overconsolidated sample of Weald clay(after Bishop and Henkel,1962,p.128) Figure 10-1 Relationship between de
27、viator stress q and axial strain a in undrained triaxial tests on samples normally consolidated to pe=a,2a,3a观察图观察图11-12某一强超固结土样排水实验的结果，某一强超固结土样排水实验的结果，从图中可以得到以下几点结论：从图中可以得到以下几点结论：土的体应变过程是先有很短一段的剪缩，土的体应变过程是先有很短一段的剪缩，然后就一直剪胀下去。这说明强超固结然后就一直剪胀下去。这说明强超固结土样较为密实，所以才会出现剪胀现象土样较为密实，所以才会出现剪胀现象（与正常固结土一直处于剪缩状态不
28、（与正常固结土一直处于剪缩状态不同）。同）。图中给出的最后状态并没有到达临界状图中给出的最后状态并没有到达临界状态。原因是曲线的最后阶段没有呈水平态。原因是曲线的最后阶段没有呈水平线段，也就是说，如果实验继续进行，线段，也就是说，如果实验继续进行，曲线将继续上升或下降变化，但不能保曲线将继续上升或下降变化，但不能保持体积和应力不变，所以还没有到达临持体积和应力不变，所以还没有到达临界状态。界状态。峰值强度峰值强度qf高于最后结束时的强度，也高于最后结束时的强度，也必然高于临界状态时的强度。再观察图必然高于临界状态时的强度。再观察图7-7超固结土样排水实验，用（超固结土样排水实验，用（p ,q）
29、平）平面表示的结果。排水应力路径必然沿着面表示的结果。排水应力路径必然沿着3/1的斜率上升，到达峰值点的斜率上升，到达峰值点qf后，开始后，开始下降并向临界状态线发展，在临界状态下降并向临界状态线发展，在临界状态线附近结束。线附近结束。图中实验曲线最后的应变值已经超过图中实验曲线最后的应变值已经超过20%，经常做三轴实验的人都知道，当，经常做三轴实验的人都知道，当试样的应变超过试样的应变超过20%时，试样已经出现时，试样已经出现鼓肚，因此试样的应力分布已经不均匀鼓肚，因此试样的应力分布已经不均匀了，应力与应变的关系已经失真。了，应力与应变的关系已经失真。 Figure 11-3 Test pa
30、th followed in the drained test of Fig.11-211-3 The Hvorslev surface Figure 11-4 Failure states of drained and undrained tests on overconsolidated samples of Weald clay(data from Parry,1960) Figure 11-5 The complete state boundary surface in q/pe:p/pe space 通常假定土不能承受有效拉应力，通常假定土不能承受有效拉应力，因此因此三轴实验时围压最
31、小为零，这时三轴仪三轴实验时围压最小为零，这时三轴仪中土样的应力状态为中土样的应力状态为q=3 ，p =1/33，所以所以q/p =3。这意味着土受到。这意味着土受到 土不能土不能承受有效拉应力承受有效拉应力的限制，其应力状态的限制，其应力状态只能在过原点并且其斜率为只能在过原点并且其斜率为3的直线以下的直线以下的区域内。因此图的区域内。因此图11-5的左端，过原点的的左端，过原点的虚线就表示这一限制，该虚线也是一状虚线就表示这一限制，该虚线也是一状态边界面，称之为态边界面，称之为无拉力切面无拉力切面。Figure 11-6 The Hvorslev surface Figure 10-21
32、Method of obtaining the equivalent pressure pe 等效固结压力（应力）是正常固结线上相应于某一孔隙比的平均有效应力，见下式：exp() /eNvP qH = (Mh) exp( 0 )/ +hP 自编讲义公式（7-13）至式（7-16）给出上式的具体推导过程。临界状态土力学作如下假定：临界状态土力学作如下假定：1）Roscoe面是针对正常固结土或略有面是针对正常固结土或略有超固结土的状态边界面；超固结土的状态边界面；2）Hvorslev面是针对超固结土的状态面是针对超固结土的状态边界面；边界面；3）临界状态线是）临界状态线是Roscoe面与面与Hvo
33、rslev面的交线。面的交线。 Figure 11-16 Normalized stress paths for undrained tests on overconsolidated samples of kaolin clay(after Loudon，1967)11-4 The critical state line Figure 11-8 Stress-strain curve for a drained test on oversolidated clay超固结土样在超过极限状态后的最后超固结土样在超过极限状态后的最后阶段很少有达到临界状态的。即使达阶段很少有达到临界状态的。即使达到
34、临界状态，其实验结果也是不可靠到临界状态，其实验结果也是不可靠的。因为土样难以保证其均匀性。的。因为土样难以保证其均匀性。超固结土样超过极限状态后在超固结土样超过极限状态后在（q：p：v）空间朝着什么方向移动）空间朝着什么方向移动是工程界关心的问题。是工程界关心的问题。Parry（1958）给出如下近似方法：）给出如下近似方法： 结论：土样在排水和不排水试验中，破坏后都以某种速率朝临界状态线方向移动。这一结论对超固结和正常固结土样都适用。 由上述可做如下假设：不论在排水和不排水试验中，土样在持续的剪切作用下，达到极限强度以后，将继续向临界状态线方向移动，最后到达临界状态线。11-5 The c
35、omplete state boundary surface Figure 11-13 The complete state boundary surface in q/pe:p/pe space Figure 11-14 The complete state boundary surface in q:p: space Figure 11-16 Normalized stress paths for undrained tests on overconsolidated samples of kaolin clay(after Loudon，1967) Figure 11-15 Expect
36、ed undrained test paths for samples at different overconsolidation Figure 11-17 A drained plane in q:p:spaceFigure 11-21 The line OA of Fig. 11-19 in :pspace Figure 11-23 Failure states of drained tests on samples at different overconsolidation ratiosChapter twelveThe behaviour of sands12-1 Introduc
37、tion砂土的变形发展过程是受初始条件（砂土的变形发展过程是受初始条件（P ，v和密和密实程度）控制。实程度）控制。 Figure 12-1 The results of drained triaxial tests on (a) a dense sample and (b) a loose sample of Brasted stand (after Bishop and Henkel,1962,p. 123) Figure 12-2 Data undrained triaxial tests on (a) medium dense and (b) loose samples of Bras
38、ted sand (after Bishop and Henkel,1962,p. 110) Figure 12-7 Data from drained triaxial tests on Chattahoochee River sand (after Vesic and Clough,1968) 大初始压力的影响大初始压力的影响12-2 The critical state line for sand Figure 12-4 The position of the critical state line in t/s and :ln s space for Leighton Buzzard
39、sand tested in the sample shear apparatus (data from Stroud,1971, and Cole,1967) Figure 12-5 Test paths in q/p and :p space for undrained tests on dense and loose specimens of sand Figure 12-6 Test paths in q/p and :p space for a drained tests on a dense sample of sand 12-3 Normalized plots对于砂土来说，存在
40、的困难是在对于砂土来说，存在的困难是在P：v平平面中正常固结线的的斜率和面中正常固结线的的斜率和N难以确定，难以确定，因为必须在很大的压力下才能试验取得。因为必须在很大的压力下才能试验取得。所以用所以用Pe实行归一化不适用于砂土。实行归一化不适用于砂土。eP()lnvvP象粘土一样，砂土的应力路径也会到达象粘土一样，砂土的应力路径也会到达状态边界面，然后一边膨胀（或收缩），状态边界面，然后一边膨胀（或收缩），一边沿此面移动，最后到达临界状态面。一边沿此面移动，最后到达临界状态面。当当v时，砂样的体积（时，砂样的体积（e）大于临界状）大于临界状态的体积态的体积(松松)。q/P 的最大值在临界状态
41、的最大值在临界状态时到达。时到达。当当vv0 （密砂）并移向临界状态时，其平均有效应力必然增大，且产生负孔压。 p随-v0而指数增加，最后达到pu 。 -v0越大， pu也越大。当v0 （松砂），其-v0很小，达到临界状态时pu也很小。 Figure 12-23 Test paths for undrained tests on loose and dense specimens of sand in q:p and :p space上图指出，对较密砂土来说无法保证试验所走路径一定就是Hvorslev面。实际上不排水路径是稍低于Hvorslev面的，但却高于临界状态线。Chapter Thir
42、teenBehaviour of soils before failure13-1 Introduction 临界状态线、状态边界面、排水与不排水实验应力路临界状态线、状态边界面、排水与不排水实验应力路径、临界状态时体积应变、平均应力和偏应变的计算。径、临界状态时体积应变、平均应力和偏应变的计算。 没有涉及剪应变以及应力和变形的关系没有涉及剪应变以及应力和变形的关系13-2 Elastic and plastic deformations: the elastic wall Figure 13-1 Elastic-plastic behavior of metal Figure 13-2 El
43、astic-plastic behavior of clay in isotropic and swelling Figure 13-3 The test path from points D to E in q:p: space假定：假定：一般情况：土样只有沿状态边界面移动一般情况：土样只有沿状态边界面移动时才会产生塑性变形。时才会产生塑性变形。在状态边界面以下的路径移动时，只能在状态边界面以下的路径移动时，只能产生弹性变形或可恢复变形。产生弹性变形或可恢复变形。按照上述假定，在弹性墙内的应力路径按照上述假定，在弹性墙内的应力路径必是超固结土，它的变形（不论是排水必是超固结土，它的变形（不论
44、是排水路径或是不排水路径）认为是弹性的。路径或是不排水路径）认为是弹性的。其路径一旦到达上面的状态边界面，并其路径一旦到达上面的状态边界面，并在其上向临界状态线移动时，必然产生在其上向临界状态线移动时，必然产生塑性。塑性。 Figure 13-4 The elastic wall在弹性墙内的应力路径，通常假定在弹性墙内的应力路径，通常假定为弹性变形。为弹性变形。一般情况下弹性应变很小，而塑性一般情况下弹性应变很小，而塑性应变较大。应变较大。13-3 Calculation of elastic strains10vpqK不排水时103spqG0p Figure 13-5 Intersectio
45、n of an elastic wall and an undrained plane超固结试样不排水试验的有效应力路径超固结试样不排水试验的有效应力路径是垂直上升的，最后到达状态边界面。是垂直上升的，最后到达状态边界面。如果再继续加载就会产生塑性变形，并如果再继续加载就会产生塑性变形，并移向临界状态线。移向临界状态线。上述假定的局限性上述假定的局限性-实际上在到达上边实际上在到达上边界破坏面以前，就已经存在塑性变形了界破坏面以前，就已经存在塑性变形了 Figure 13-6 Intersection of an elastic wall and a drained plane超固结试样排水试
46、验的有效应力路径超固结试样排水试验的有效应力路径DG不是直线（因弹性墙是弯曲的），且随不是直线（因弹性墙是弯曲的），且随着着P的增大而体积减小。最后到达状态的增大而体积减小。最后到达状态边界面。如果再继续加载就会产生塑性边界面。如果再继续加载就会产生塑性变形，并移向临界状态线变形，并移向临界状态线F点。点。在弹性墙内可用下式计算体变在弹性墙内可用下式计算体变：对上式求导后得对上式求导后得:lnvvp(/)vpp /( /)vv vvpp变变应应体体/vpK/Kvp13sqG3(1 2 )3(1 2 )/2(1)2(1)EG KE3(12)2(1)vpG 2(1)39(1 2 )sqqGvp 书
47、中269和270页 从式（13-12）可以看出，E依赖于v和P。 式（13-6）和（13-10）适用于超固结土在状态边界面以下弹性墙内的任何路径的弹性体变增量和偏应变增量的计算。 从式（13-10）可以看出，因弹性模量不是常量，在排水实验时，应力-应变关系是非线性的。 不排水试验，dP=0； P=常量；v=常量，所以式（13-10）中应力-应变关系为线弹性的。13-4 Calculation of elastic strains for undrained loading in terms of total stresses 总应力计算方法仅适用于土是饱和的、不排水（体积不变）的特殊情况。其他
48、情况则总应力方法不适用。 13-5 Essential plasticity theory塑性理论有三个基本要素塑性理论有三个基本要素(金属材料）：金属材料）： 1. 屈服函数屈服函数 2. 硬化规律硬化规律 3. 流动法则流动法则 Figure 13-7 Stress-strain behavior of an elastic-plastic soil like material. (a) State of stress in a sample. (b) Stress-strain curves for c=constant tests. (c) Stress-strain curves f
49、or a=constant tests. (d) Stress-strain curves for c=0 tests Figure 13-8 Yielding and hardening. (a) Yield curves and failure envelope. (b) Yield surface水的流动是由水的势面及其梯度决定的。水的流动是由水的势面及其梯度决定的。塑性变形或塑性流动与水的流动一样，它塑性变形或塑性流动与水的流动一样，它也可以看成是由某种势的不平衡所引起，也可以看成是由某种势的不平衡所引起，这种势称为塑性势。这种势称为塑性势。1928年年Mises假定塑性流动与它的塑性
50、势假定塑性流动与它的塑性势函数相关，并且这一函数是应力的函数。函数相关，并且这一函数是应力的函数。 认为土的塑性流动是与它的塑性势面和该认为土的塑性流动是与它的塑性势面和该势面的梯度相关。势面的梯度相关。塑性势函数是应力的函数，它可表示塑性势函数是应力的函数，它可表示为：为：(,)0ijagH(,)ijapijijgHdd上式表明：一点的塑性应变增量与通过该点的塑性势面存在着正交关系。此式即确定了塑性应变的增量方向，也确定了它的各分量之间的比值与大小。 Figure 13-9 Flow rules. (a) Plastic potential. (b) Normality condition