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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流形形色色的曲线 37页.精品文档.形形色色的曲线目录1.用折纸法画抛物线 22.用折纸法画椭圆 23.百发百中 34.双曲线为摄影师帮忙45.杰尼西亚的耳朵 56.用三角板画抛物线 67.用三角板画椭圆 68.垂足曲线和反垂足曲线 79.摆线 910.摆线滑梯 911.最速降线 1012.滚珠荡秋千 1113.利用摆线板画摆线 1214.摆线时钟 1215.短幅摆线和长幅摆线 1416.直线运动和旋转运动的合成 1417.卡丹的转盘问题 1518.内摆线 1519.曲线之星 1620.外摆线 1721.曲线之心 1822.利用三角板画心脏线
2、1823.帕斯卡的蜗牛 1924.利用三角板画蜗线 2025.蜗线是外摆线 2126.变幅外摆线 2127.变幅内摆线 2828.套藤圈 361.用折纸法画抛物线抛物线是与一个定点F及一条定直线a的距离相等的点的轨迹，F叫做这条抛物线的焦点，a叫做它的准线抛物线用圆规和直尺是作不出来的，可是用一张矩形的纸却可以“折出”一段抛物线. 有一张矩形纸片，设它的一条边为准线a，在纸片内部居中的地方取一个点F作为焦点，用笔在F的位置上做好记号，然后把纸片折一次，使得a边正好通过F, 然后抹平纸片，得到一条折痕l(为了看得清楚，不妨用笔把直线l描出来)继续这样折下去，得到若干条折痕，你会发现这些折痕“围出
3、”一条抛物线的轮廓只要画一条与这些折痕都相切的光滑曲线，就能得到所要画的抛物线了. 这种方法很有趣, 每条折痕都是这条抛物线的一条切线若干条折痕包围住同一条抛物线，就把这条抛物线的轮廓清楚地显示出来了.2.用折纸法画椭圆椭圆是到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹，这两个定点叫做椭圆的焦点，椭圆能不能用折纸法作出呢? 也能具体作法如下. 先用圆规在纸上画一个圆，再沿圆剪下一张圆纸片来设圆心是O，在圆内任取一点F(不能取O)，用笔在F的位置做上记号把圆纸片翻起一角，使圆周正好通过F, 然后抹平纸片，得到一条折痕l(为了看得清楚，用笔把l描出来)这样继续折下去，就得到若干条折痕，你会发现，这些折痕
4、围出一个椭圆的轮廓画一条与这些折痕都相切的光滑曲线，就得到所要画的椭圆了, 而且F和O就是椭圆的焦点.3.百发百中用硬纸做一个椭圆形的盒子，并且在椭圆形盒底的一个焦点上放一粒钮扣，作为子弹，在另一个焦点处竖立一个钢笔套，作为靶子，你不需要瞄准，把钮扣子弹沿着盒底面内的任何方向弹射出去，经过盒壁反射后，都一定命中靶子，真是不折不扣的百发百中呢!这个游戏的原理，在物理方面是利用了反射定律，在数学方面是利用了椭圆的切线和法线的性质，反射定律告诉我们，当一束光线被平面镜反射时，反射光线与镜面法线的夹角(反射角)，总是等于入射光线与法线的夹角(入射角)，当反射镜的表面形状是曲面时，可以把一小块曲面近似地
5、当成一小块平面，因而“反射角等于入射角”这一定律仍然适用现在我们的盒底是椭圆形的，而椭圆的法线有一个特殊的性质：若P是椭圆上的任意点，F1和F2是两个焦点，则法线PN平分因此，如果有一束光线沿F2P方向射到椭圆上，经反射后一定沿PF1方向射出. 因为P是椭圆上的任意点，所以从一个焦点F2沿任何方向射出的光线， 经过椭圆反射后都通过另一个焦点F1，把射出光线换成射出钮扣，经过椭圆盒壁反射后，那当然总是会击中放在另一个焦点F2处的钢笔套!4.双曲线为摄影师帮忙双曲线是到两个定点的距离之差等于定长的点的轨迹，这两个定点叫做双曲线的焦点. 把双曲线绕着两个焦点的连线在空间旋转一周，所得到的曲面叫做旋转
6、双叶双曲面有一种灯具的反射镜的表面就是做成这种曲面的形状这种镜面有一个特点，把光源放在一个焦点上，那么它所发出的光线经过镜面反射以后，好像都是从另一个焦点发出来似的 这样做出的灯具有什么好处呢? 原来在室内拍照片时，由于自然光线不足，常常需要借助闪光灯或其它照明灯具为了把被摄对象照得更亮，摄影师总想把灯尽可能放近些但自然光线接近于平行光线，因而均匀柔和; 而灯光则是中心放射式的，灯放得越近，光线的放射性效应越明显为了既获得足够的亮度，又使光线尽可能地均匀柔和，专门为摄影师设计的照明灯，就往往利用双曲线的光学性质，把反光镜的表面做成旋转双叶双曲面的形状，并让灯丝恰好位于焦点处5.杰尼西亚的耳朵据
7、传说，在意大利西西里岛上有一个山洞，很久以前，叙拉古的暴君杰尼西亚把他的一些囚犯关在这个山洞里囚犯们多次密谋逃跑，但是每次的计划都会被杰尼西亚发现. 起初，囚犯们怀疑自己的同伴中有内奸他们彼此指责，互相猜疑，但始终没有发现任何一个囚犯告密后来, 渐渐觉察到, 囚禁他们的山洞形状古怪，洞壁把囚犯们的话都反射到狱卒的耳朵里去了囚犯们诅咒这个山洞是“杰尼西亚的耳朵”从上图可看出, 山洞的剖面近似于椭圆，犯人聚居的地方恰好在一个焦点附近狱卒在另一个焦点偷听，无论囚犯们怎样压低嗓门，他们的声音照样会被狱卒听得清清楚楚!这个传说表明，椭圆形的反射面不但能使从一个焦点发出的光线在另一个焦点会聚，而且能使从一
8、个焦点发出的声音在另一个焦点会聚. 人们曾经发现一个古希腊音乐厅的墙壁正是椭圆形的，乐池位于一个焦点附近，在这个音乐厅里，乐队演奏的声音会在另一个焦点重新会聚起来. 美国有一个教堂也有类似的设计，这种设计的出发点不得而知. 其实声音的聚焦并不是好事，因为在另一焦点附近的听众固然连演奏或演讲者的细声慢语都能听见；但是在室内的其它地方，音响效果却差得多，因而在现代, 当设计音乐厅、影剧院、大会堂等大型建筑物时，建筑设计人员都很注意避免声音聚焦6.用三角板画抛物线抛物线也可利用三角板来画，其方法既有趣，又实用取一点F, 并且作一条不通过F的直线a让三角板的一条直角边LM通过定点F，直角顶点M放在直线
9、a上的任一点处，然后沿另一条直角边MN画直线，就得到所要作的抛物线的一条切线用同样方法再画出若干条直线，最后再画一条与这些直线都相切的光滑曲线，就得到了所要画的抛物线了7.用三角板画椭圆画一个辅助圆，设圆心是O；在圆内另外再取一点F让三角板的一条直角边通过F，直角顶点M落在辅助圆上的任意点处，然后沿着另一直角边MN画出一条直线照这样画法画出若干条直线以后，再画一条与这些直线都相切的光滑曲线，就得到一个椭圆若图中的F点在圆外，那么用同样的作法得到的就是双曲线的一支.8.垂足曲线和反垂足曲线利用三角板画曲线的方法，不但可以用来画抛物线、椭圆和双曲线，而且可以用来画许多其它曲线。这种画法是有垂足曲线
10、和反垂足曲线作为背景的在图中有一条曲线c， 设M是平面曲线c上的任意点，O是这平面内的一个定点过M作曲线c的切线MT；再作OPMT，垂足为P当M沿曲线c移动时，垂足P也画出一条曲线s，s就叫做曲线c关于O点的垂足曲线，反过来，c叫做曲线s关于O点的反垂足曲线 图中的可以用三角板来实现，这就是三角板画法的本质. 具体地说，让三角板的一条直角边通过O点，另一条直角边与曲线c相切，这时直角顶点P的位置就指出了c关于O点的垂足曲线s. 如果让三角板的一条直角边通过0点，直角顶点P在曲线s上移动，这时另一条直角边就给出了一族直线与这些直线都相切的光滑曲线，就是s关于O点的反垂足曲线c 根据前面几节的讨论
11、，可以知道，抛物线关于焦点的垂足曲线是直线，椭圆和双曲线关于焦点的垂足曲线都是圆. 反过来，直线关于线外一点的反垂足曲线是抛物线，圆关于圆内一点的反垂足曲线是椭圆，关于圆外一点的反垂足曲线是双曲线. 正是利用这些性质，设计出了利用三角板画抛物线、椭圆和双曲线的方法.9.摆线 当动圆C沿着定直线l滚动(没有滑动)时，动圆上一点M所画出的曲线叫做摆线，又叫旋轮线摆线在它与定直线1的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱；摆线的最高点到定直线的距离2r(动圆的直径)叫做拱高我们骑自行车时，滚动车轮的边缘上的一点就在空中画出一条摆线车轮每旋转一周，该点就画出摆线的一拱10.摆线滑梯把半拱摆线OMA连同y轴一
12、起翻转到x轴下方来，并且连结OA，就做成了两个滑梯：一个是普通滑梯，它的滑道是斜线OA；另一个是摆线滑梯，它的滑道是摆线弧OMA如果在O点有甲、乙两人，甲沿普通滑梯滑下，乙沿摆线滑梯滑下，两人同时开始滑动，问：谁先滑到底? 你大概会回答是甲吧，错了! 你的回答一定是因为甲走过的路程较短但是请你细想一下，现在的问题是谁花的时间最少，这就不但与路程长短有关，而且跟滑行的速度有关了甲沿着斜线OA下滑，是做匀加速运动，速度从0开始，缓慢而均匀地增大; 乙沿摆线下滑，速度也是从0开始，但是刚开始滑行就是一段陡坡，速度迅速增大，使得乙的滑行速度比甲快，虽然比甲多走一点路，但究竟谁先到达终点，就很难说了!
13、如果乙的路线选择得非常巧妙，速度增大得又快，路程的长度增加得又少，为什么不可以先滑到底呢? 假定滑梯是绝对光滑的，两人从O点开始下滑时，初速度是0, 并用g来表示重力加速度. 可以算出, 对于普通滑梯, 甲滑完全程所需的时间是, 对于摆线滑梯, 乙滑完全程所需的时间是. 因为, 所以普通滑梯上的人甲后到终点, 而摆线滑梯上的人乙先到终点.11.最速降线 欧洲的数学界在十七世纪时盛行一种挑战的风气：一个人公开提出一个或一些数学难题，大家都来做，看谁做得快、做得对、做得好. 1696年，瑞士数学家约翰贝努利提出一个难题, 向全欧洲的数学家挑战. 题目的大意是：设在竖直平面内有一条曲线，一个质点由于
14、重力的作用，从这条曲线的较高的端点沿曲线下滑到较低的端点，问这条曲线是什么形状时，滑行所需的时间最短(摩擦和空气阻力都忽略)? 这就是著名的“最速降线”问题 设两个端点在竖直平面内的直角坐标是(0，0)和(a, b)，曲线方程是y=f(x)，曲线要通过这两点, 所以f(0)=0, f(a)=b. 经计算, 质点沿曲线y=f(x)滑行所需的时间是. 问题归结为求函数y=f(x)，满足条件f(0)=0, f(a)=b，并且使上述定积分取最小值 这个问题看上去好象是个很普通的极值问题，但只要仔细一分析，就知道它非同寻常人们熟知的极值问题，是函数已经确定，再求函数的极大值或极小值而现在是不知道函数的表
15、达式，要求出一个函数，使得整个式子达到极小很显然，这是一种崭新的问题，因而用当时所知道的各种数学工具，包括微分法在内，都难以对付这种陌生而复杂的极值问题. 经过一番努力，这个问题还是有几个人解出来了. 解答者除去挑战人约翰贝努利自己之外，还有牛顿、莱布尼兹和约翰的哥哥雅各贝努利等，答案就是倒放的摆线弧，沿摆线弧滑下，比任何曲线都快. 这个问题带来了意外的收获，那就是在这个解法的基础上，后来发展成为一门非常有用的数学新分支变分法在变分法教材里可以找到最速降线是摆线的证明，不过我们通过前面对摆线滑梯的计算，也可对摆线在最速降线问题中的优越地位略知一二了12.滚珠荡秋千 有一块钢板，钢板上方有一条光
16、滑的摆线槽，取一粒适当大小的滚珠，放在这摆线槽中的任意位置，例如图中的M点处当捏着滚珠的手指松开以后，滚珠就会像荡秋千一样，沿着摆线槽来回摆动试选择不同的M点放开滚珠，并注意观察滚珠连续两次通过摆线槽最低点K的间隔时间，你就会发现一个奇怪的现象：尽管M点的高低不同，但是滚珠来回摆动一次所花的时间竟没有变! 这个性质叫做摆线的等时性，是十七世纪荷兰物理学家惠更斯发现的. 经计算可知，滚珠沿摆线槽来回摆动一次所用的时间是, 其中r是产生摆线的轮子的半径, 而g是重力加速度。因此, 上述时间值是与M点的位置无关的常数13.利用摆线板画摆线设木板OAB的轮廓线，在OA部分是摆线的半拱弧，AB为拱高.
17、用一段没有伸缩性的柔软细线绷紧在摆线弧OA上. 现在把线的一端固定在O点，另一端系一个小环，用笔尖套在A端的小环里拉紧细线，并且移动笔尖，使细线从A端开始逐渐离开摆线板而伸直，一直到整个细线刚好完全伸直为止这时笔尖将画出图中虚线所示的曲线弧AK可以证明, 弧AK也是摆线的半拱弧，并且其拱高与原摆线的拱高相等，区别只在于弧OA是前半拱，弧KA是后半拱，并且位置不同14.摆线时钟 我们已经从滚珠荡秋千的游戏中认识到摆线的等时性，又通过利用摆线板画摆线的问题知道了怎样利用绷紧在摆线板上的细线画出新的摆线把这两项知识结合起来，就可以理解著名的摆线时钟问题了钟摆在滴答声中来回摆动一次，每次摆动所用的时间
18、必须严格地相等，才能保证计时的准确性通常时钟的钟摆是把摆锤挂在摆杆上，沿圆弧来回摆动由于各种因素的影响，钟摆每次摆动的幅度不可能保持绝对不变而当摆锤沿圆弧摆动时，来回摆动一次所用的时间与摆动幅度有关：摆幅越小，摆动一次的时间越短能不能设计一种钟摆，使它每摆动一次所用的时间不受摆幅大小的影响，始终保持常数呢? 同滚珠荡秋千的游戏比较，滚珠相当于这里的摆锤，所以只要设法让摆锤不是沿圆弧摆动，而是沿摆线弧摆动，就能使摆动周期严格保持一定，不受摆幅变化的影响. 又根据利用摆线板画摆线问题的答案，只要像图中那样, 把摆锤悬挂在长为4r(摆线半拱的弧长)的能弯曲但不能伸长的细线上，悬挂点的两边各放一块摆线
19、挡板，使挡板的曲线轮廓是拱高为2r的半拱摆线，这样就能保证摆锤沿着图中虚线所示的摆线弧摆动无论摆幅大小如何，摆锤沿这摆线弧来回摆动一次，所用的时间都是. 十七世纪物理学家惠更斯发现了摆线的等时性以后，就用它来设计出这种巧妙的摆线时钟的. 摆线这个名称，正是由于这种曲线被应用于改进钟摆而得来的15.短幅摆线和长幅摆线 当动圆C沿着定直线l滚动时，固定在圆C的平面内但不在圆上的一点M所画出的曲线叫做变幅摆线变幅摆线可以分成两类：当M点固定在圆C内部时，曲线称为短幅摆线；当M点在圆C外部时，曲线称为长幅摆线，又叫做余摆线 短幅摆线与x轴无公共点, 而长幅摆线与x轴相交，并且有一部分弧出现在y轴下方从
20、图可看出，长幅摆线自己绕成许多小圈，叫做绕扣，每个绕扣都被x轴分成上下两截，并且长幅摆线与x轴的任何交点都在绕扣上 在日常生活中很容易找到变幅摆线的实例还是以自行车为例，当一个人推着自行车往前走时，旁观者就可以看到车轮钢圈内侧的气门帽慢慢地描绘出一条短幅摆线16.直线运动和旋转运动的合成 在摆线和变幅摆线的定义中，M点的运动是由两种简单运动合成的：一个是圆心C沿着l的一条平行线作直线运动，另一个是线段CM绕C点旋转设直线运动的速度是u，旋转的角速度是，那么由于动圆C沿定直线l滚动时没有滑动，因而u=r.在日常生活和工农业生产中，还容易看到很多物体，它们一面绕自己的旋转轴作旋转运动，一面又随着汽
21、车、轮船、拖拉机、自行车等作直线运动这些同时作旋转运动和直线运动的物体，促使我们考虑一个更复杂的轨迹问题：动点C沿直线m匀速运动，速度为u, 同时有一固定长线段CM=a绕C点匀速旋转，角速度为, 求M的轨迹注意这个问题与摆线中M点运动的区别在于直线运动的速度u和旋转的角速度是互相独立的，并不一定满足u=a通俗地讲，就是在形成曲线的过程中，圆C与直线可产生滑动.结论: 当圆C的半径a=时，M的轨迹为摆线；当a时, M的轨迹为长幅摆线.17.卡丹的转盘问题 意大利数学家卡丹(1501-1576)曾经提出如下的转盘问题：当一个圆盘沿着一个半径是它的两倍的圆盘内壁无滑动地旋转时，小圆盘的边缘上的一点画
22、出怎样的图形? 可以证明，小圆盘的边缘上的任一点的轨迹是大圆盘的一条直径我们还可证明，小圆盘内部任一点和外部任一点的轨迹都是椭圆由于卡丹的转盘问题研究两个圆，其中的小圆在大圆内部无滑动地滚动，并且大圆半径恰好是小圆半径的两倍，所以有时也把这样的一对圆叫做卡丹圆偶18.内摆线 已知半径为R的定圆O和半径为r的动圆O1，这里rR当圆O1在圆O内无滑动地滚动时，圆O1上一点M的轨迹叫做内摆线19.曲线之星当时的内摆线有四个尖角，像夜空中一颗光芒四射的星，因此叫做星形线星形线, 的任意切线夹在两坐标轴间的线段等于定长R由此可得到星形线的一种简便画法：任意作若干条长度为R的线段，使它们的两端分别在x轴和
23、y轴上, 然后在每个象限里画一段光滑曲线弧，使它们与这些线段相切，就得到所要画的星形线如果一条曲线弧与一族直线中的每条直线都相切，并且曲线弧上每一点都是一个切点，就说这曲线弧是这族直线的包络前面画出的抛物线、椭圆、双曲线和星形线，都是某一直线族的包络20.外摆线已知半径为R的定圆O和半径为r的动圆O1 当圆O1在圆O外无滑动地滚动时，圆O1上一点M的轨迹叫做外摆线21.曲线之心 当动圆半径与定圆半径相等时，外摆线的形状像一颗心脏，叫做心脏线心脏线的发现者是荷兰数学家考尔斯玛(十七世纪末)，命名者是意大利学者卡斯提龙(十八世纪) 用手指按住一枚分币不动，并使另一枚同样大小的分币绕着它滚动，第二枚
24、分币边缘上的每一点都画出一条心赃线.心脏线的简便画法: 作圆C, 其半径为r. 在圆C上取一个定点A 过A任作直线, 交圆C于点P. 在直线AP上向P点两侧取PM=PN=AB, 这里, AB是圆C的直径, 则M和N是心脏线上的两点. 继续这样作出若干个点, 便可根据它们描出心脏线来.22.利用三角板画心脏线只要先画一个辅助圆，就能利用三角板画出一条心脏线来。设辅助圆为圆C在圆周上任取一点O, 让三角板的一条直角边通过O点，另一条直角边与圆C相切，这时三角板的直角顶点M就是心脏线上的一个点继续这样作出心脏线上的若干个点，最后只要用光滑曲线把这些点连起来就行了(但O点处有一个尖角)因此, 心脏线是
25、一个圆关于圆周上的一点的垂足曲线.23.帕斯卡的蜗牛在用英语写的数学书里，有一种曲线被叫做Pascals limacon, 但是这里的limacon却不是一个英语单词，而是一个法语单词，意思是蜗牛蜗牛是法国人爱吃的一种佳肴，这里是指曲线的形状像蜗牛这里的Pascal不是十七世纪著名的法国数学家和物理学家布来兹帕斯卡，而是他的父亲爱田帕斯卡如果从字面上直译，这种曲线的名称就成为“帕斯卡的蜗牛”，不过作为数学术语，却要把它译成帕斯卡蜗线，简称蜗线. 心脏线是蜗线的特例 蜗线可以用下面的几何方式来定义：已知半径为r的定圆，O是这个圆上的一个定点过O点任意作直线交这圆于第二点N，在直线ON上向N点两侧
26、截取NM=NM1=l, 其中l为定长，则点M和M1的轨迹叫做帕斯卡蜗线 当l2r时，曲线既没有绕扣，也没有尖点24.利用三角板画蜗线先作一个半径为l的辅助圆，设圆心为A再在平面内取一点O，设OA=2r让三角板的一条直角边与圆A相切(切点为D)，另一条直角边通过O点，则三角板的直角顶点M就是蜗线上的一个点. 继续这样求出若干点后，就可根据它们描出蜗线来了因此, 定圆关于它所在的平面内的任一定点的垂足曲线是帕斯卡蜗线当定点在圆外时(2rl)，得到有绕扣的蜗线；当定点在圆周上时(2rl)，得到有尖点的蜗线，即心脏线；当定点在圆内时(2rl)，得到既无绕扣又无尖点的蜗线当定点为圆心这一特殊情形时，r0
27、, 垂足曲线仍为原来的圆A25.蜗线是外摆线 设动圆C和定圆O的半径相等，P是在动圆平面内与动圆固定连接的一点当圆C在圆O外面绕着圆O无滑动地滚动时，P点的轨迹是一条帕斯卡蜗线. 当P点在动圆C外部时，得到带绕扣的蜗线; 当P在动圆C上时，得到带尖点的蜗线，即心脏线; 当P在动圆C内部时，得到既无绕扣又无尖点的蜗线26.变幅外摆线设圆O是一个定圆，圆O1是与圆O相切的动圆，M是固定在圆O1所在的平面内的一点，但不在圆01上当圆O1在圆O外面绕圆O无滑动地滚动时，M的轨迹叫做变幅外摆线变幅外摆线可分成两类：当M在动圆01内部时，曲线叫做短幅外摆线；当M在动圆O1外部时，曲线叫做长幅外摆线例如，当
28、动圆与定圆相等时，长幅外摆线成为带绕扣的帕斯卡蜗线，短幅外摆线是既无绕扣又无尖点的蜗线，而外摆线则是带尖点的蜗线，即心脏线变幅外摆线和外摆线统称为外摆线族曲线1.2. 3. 4. 5. 27.变幅内摆线 设rR. 当半径为r的动圆Ol在半径为R的定圆O内无滑动地滚动时，在圆O1所在的平面内与圆Ol固定连结但不在O1上的一点M的轨迹叫做变幅内摆线 变幅内摆线可分成两类：当M在圆01外部时，曲线称为长幅内摆线；而当M在圆Ol内部时，称为短幅内摆线如果M在圆O1上，那么M的轨迹成为内摆线. 内摆线和变幅内摆线统称为内摆线族曲线 例如，在讨论卡丹的转盘问题时，我们已经指出了，当动圆半径等于定圆半径的一
29、半时，长幅内摆线和短幅内摆线都是椭圆内摆线族曲线和外摆线族曲线都属于一个更大的曲线族.1.2. 3. 4. 5. 28.套藤圈 在节日游艺会上常常做套藤圈的游戏在地上竖几个小圆柱，手里拿一把藤圈，一只一只地对准小圆柱掷过去 如果有一只藤圈套中小圆柱，这只藤圈就会借着运动的惯性在圆柱周围绕上若干圈这种有趣的现象，引起下面一个轨迹问题： 设动圆C的半径大于定圆O的半径当动圆C保持与定圆O内切，并且绕圆O无滑动地滚动时，圆C上的一点B画出什么曲线? 动圆C所在的平面内与圆C固定连结的一点M画出什么曲线? 这个问题解决了，就可以想象出，当藤圈套在小圆柱外面绕圈子的时候，藤圈上的一点画出的是什么曲线前面
30、在讨论内摆线族曲线时，动圆总是在定圆的内部，而现在动圆C却在定圆O的外部，看来所求的轨迹不大像是内摆线族曲线前面在讨论外摆线族曲线时，不但动圆在定圆外部，而且动圆所包围的区域也整个地位于定圆外部，动圆与定圆的接触方式是外切；而现在的情形，虽然动圆C在定圆O的外部，但是动圆C所包围的区域却有一部分出现在定圆O的内部，动圆C与定圆O的相切方式是内切，所以，也很难贸然断定所求的轨迹一定是外摆线族曲线结论: M的轨迹是外摆线族曲线. 特别地, 当M在动圆C上时, M的轨迹是外摆线.上面的轨迹问题虽然是从套藤圈的游戏说起的，但在工业生产中却有很具体的应用价值从这个问题知道，有两种不同的形成外摆线族曲线的方法：一种是让动圆在滚动过程中保持与定圆外切，叫做无包心形成法，因为用这种方法形成曲线时，定圆的圆心始终不会包含在动圆内部；另一种是动圆比定圆大，并且使动圆在滚动过程中保持与定圆内切, 叫做包心形成法，因为用这种方法形成曲线时，定圆的圆心始终包含在动圆内部 工厂里制造具有外摆线轮廓的零件时，常需根据具体情况，适当选用包心形成法或无包心形成法