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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流定积分的性质和基本定理.精品文档.第二节 定积分的性质和基本定理用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效的，简便的计算方法。2.1 定积分的基本性质一、定积分的基本性质性质1 ba1dx=badx=b-a证 f(i）xixi (b-a)=b-a所以 ba1dx=badx=b-a性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在a,b上可积，对任何常数、，则f(x)+g(x)在a,b上可积，且 baf(x)+g(x)d
2、x=baf(x)dx+bag(x)dx证：设F(x)=f(x)+g(x),由 F(i）xif(i)+g(i）xi f(i）xig(i）xi baf(x)dx+bag(x)dx，因此f(x)+g(x)在a,b上可积，且 baf(x)+g(x)dx=baf(x)dx+bag(x)dx特别当=1,=1时，有 baf(x)g(x)dx=baf(x)dxbag(x)dx当=0时 baf(x)dx=baf(x)dx性质2 主要用于定积分的计算性质3 对于任意三个实数a,b,c，若f(x)在任意两点构成的区间上可积，则 baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx证 a,b,c的位置，由排列知有六种
3、顺序(i)当acb，按定义，定积分的值与区间分法无关，在划分区间a,b时，可以让点C是一个固定的分点，则有 baf(x)dx=f(i）xif(i）xif(i)xif(i)xif(i）xicaf(x)dx+bcf(x)dx（ii)当cba由(i)知acf(x)dx=bcf(x)dx+abf(x)dx有-caf(x)dx=bcf(x)dx-baf(x)dx,则baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx对于其它4种位置与(ii)证明类似。性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。性质4 若f(x)在a,b上可积，f(x)0，且a0，有f(i）xi0有f(i）xi0，由函数极限不等式知 ba
4、f(x)dx=f(i）xi0性质4用于不通过计算，判别定积分的符号。性质5 若f(x),g(x)在a,b上可积，f(x)g(x)，且a0证 由f(x)=0，则存在x0a,b，不妨设x(a,b)，有f(x)0，由f(x)在a,b上连续，所以在点x处连续，即f(x)=f(x)0，由连续保号性知，对00，当x(x-,x）时，有f(x) xx，x (x，x）时，f(x) ，则baf(x)dx=xaf(x)dx+f(x)dx+bxf(x)dxf(x)dxdx=dx=0性质6用于判断定积分值的符号推论 若f(x),g(x)在a,b上连续，f(x)g(x)，且f(x)g(x)，abag(x)dx该推论用于不
5、通过计算比较两定积分的大小若将性质5用不等式f(x)f(x)f(x)，有baf(x)dxbaf(x)dxbaf(x)dx，于是有性质7 若f(x)在a,b上连续，则 baf(x)dxbaf(x)dx性质8 若f(x)在a,b上连续，m、M是f(x)区间a,b上的最小值与最大值，则 m(b-a)baf(x)dxM(b-a)该性质用于估计定积分值的范围证：由mf(x)M,xa,b ab由性质5知 m(b-a)=bamdxbaf(x)dxbamdx=M(b-a)性质9 (积分中值定理)若f(x)在闭区间a,b上连续，a0，有 mM由f(x)在a,b上连续，则m,M为函数值域，故至少存在一点a,b，使
6、 f() (2.2)则 baf(x)dx=f()(b-a)积分中值定理的几何意义：设f(x)0，则baf(x)dx的数值表示曲线y=f(x),y=0,x=a,x=b同成的曲边梯形面积，如图-表明，在区间a,b上至少存在一点，以处的纵坐标f()为高，(b-a)为底的矩形面积，等于该曲边梯形的面积。图- f()即(2.2)式左边所确定的值，称为函数f(x)在区间a,b上的平均值。积分中值定理与微分中值定理同样重要，利用积分中值定理可以证明方程根的存在性，适合某种条件的存在性及不等式，有时与微分中值定理综合运用解决一些问题。例 设函数f(x)在0,1上连续，(0，1)内可导，且3f(x)dx=f(0
7、),证明在(0,1)内存在一点，使f（)=0证：由积分中值定理知，在，上存在一点c,使 f(x)dx=f(c)（）f(c)=f(0)故f(x)在区间0,c上满足罗尔定理条件，因此至少存在一点(0,c) (0,1)使f()=0例 证明dx=0证 由积分中值定理0dx n，有nn（）n，由（）n=0，由夹逼定理知nn，而00)解 令x=asint，则t，时，x=asint0,a，且t=0时，x=0,t=时，x=a,于是 adxacostdasintacostdt (1+cos2t)dtt+图- 利用定积分几何意义知，由0，则adx表示曲线y=与x轴，y轴围成的曲边梯形面积，即以原点为心以a为半径圆
8、面积的倍，为例3 解 设t，即x，则dx=-tdt由变换t=，当x=-1时，t=3，当x=1时，t=1，因此（）t dt dt（t5t）例4 求解 令x=sint，则dx=costdt，当x时，t=；当x时，t=，故cscx dt（-ot t)=(-1)-(-）例5 设f(x)=，求f(x-2)dx解 f(x-2)dx,令x-2=tf(t)dt（t+t）（-e-t)（）（e）二、分部积分相应于不定积分的分部积分公式，定积分也有分部积分公式，若u(x),v(x)在区间a,b上具有连续的导数，有u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)有u(x)v(x)=u(x)v(x)-u(x)v(x
9、)由等式两边的函数在a,b上都连续，因此可积且相等，有bau(x)v(x)dx=ba(u(x)v(x)-u(x)v(x)dx于是bau(x)dv(x)=u(x)v(x)babav(x)du(x)，简记为baudv=uvba-bavdu，因此有定理(定积分的分部积分)，若u(x),v(x)在a,b上具有连续的导函数，则 baudv=uvba-bavdu （）公式(3.2)告诉我们，在利用定积分分部积分公式计算定积分时，不必等到原函数求出以后才将上下限代入，可以算一步就代一步。例6 xcosx dx解xcosx dx=xdsinxxsinx2xsinxdx=+2xdcosx（xcosxcosxdx
10、)=2(2-sinx) 例7 dx解dxdxxdtgxxtanx-tanxdxlncosxln2例8 设f(x)=x dt,计算f(x)dx解 f(x)dx=xf(x) xf(x)dxdt-xdxdx-xdxsinxdxsinxdx=（-cosx) 3.2 几种定积分简化的计算方法一、关于原点对称区间上函数的定积分(i)若f(x)在区间-a,a上连续，则f(x)= （）事实上，由f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx由f(x)dx,令x=-t, f(-t)d(-t)f(-x)dx 故f(x)dx=(ii)若f(x)在-a,a上连续f(x)=，由为偶函数，为奇函数，由(i)知f(x)dx=dx
11、+ dx2dx=f(x)+f(-x)dx （）例9 求 (x+x)e-xdx解 由xe-x为偶函数，xe-x为奇函数，从而（x+x)e-xdxxexdx=2xe-xdx2xd(-e-x)=2-xe-xe-xdxe-e-xee例10 dx解，虽然在，上既不是奇函数，也不是偶函数，但我们可以利用(ii)来简化计算，有dx=dx()dx=sinxdx（cos2x)dx= (x-sin2x)（）注：本题用其它方法很难求出。二、周期函数的定积分设f(x)为同期函数，周期为T，且连续，则f(x)dx=f(x)dx(a是任意常数) (3.5)事实上，由f(x)dxaf(x)dx+Tf(x)dx+f(x)dx
12、由f(x)dxaf(t+T)dt=af(t)dt=af(x)dx,于是f(x)dx=-af(x)dx+Tf(x)dx+af(x)dx=f(x)dx三、sinnx,cosnx在，上的积分对任意的自然数n，有sinnxdxcosnxdx （）证：首先证明sinnxdxcosnxdx由sinnxdxsinn（t)d(t)cosntdtcosnxdx设 Insinnxdx由 Insinnxdxsinn-1xdcosx-sinn-1xcosx+cosx(n-1)sinn-2xcosxdx(n-1) sinn-2x(1-sinx)dx(n-1) sinn-2xdx-(n-1) sinnxdx(n-1)In
13、-2-(n-1)In，有In In-2In-4当n为偶数时 In=当n为奇数时 In=由Isinxdx=，sinxdxcosx因此 sinnxdx例11 求x dx解 xdxxdx2sintcosdt=2sint(1-sint)dtsintdt-sint dt（）例12 证明sin2nxdx=cos2nx=4sin2ndx证 首先证明sin2nxdx=cos2nxdx由sin2nxdxsin2n(2-t)dtcos2ntdtcos2nxdx由sinx周期为，当然2也是它的一个周期，从而sin2nx的周期为，并且2也是它的一个周期，由公式(3.5)有sin2nxdx=sin2nxdxsin2nx
14、dxsin2nxdx=4sin2nxdx从证明的过程，我们还可以得到sin2nx dxcos2nxdx=2sin2nxdx掌握以上的公式，可以化简定积分的计算四、灵活运用变量代换、计算定积分例13 设函数f(x)在，上连续，证明 xf(sinx)dxf(sinx)dx并利用此结果，计算dx证xf(sinx)dx-(-t)f(sint)dt (-x)f(sinx)dx=f(sinx)dx-xf(sinx)dx于是移项并除2，就有 xf(sinx)dx=f(sinx)dx利用此结果dx=dx=dxcosxdcosxdcosxdcosxdcosx（cosx）(aretan(cosx) ）例14 计算
15、 dx解 dxsectdtlndt=dtlndtlncos（t)dt-lncostdt图- 由lncos（t)dtlncosudulncostdt，所以质式ln dtln以上两个例子，被积函数的原函数很难求出来。例18 求dt解 由dtdududt由dtdt=dt=故dt。第四节 定积分的应用4.1 平面图形的面积设连续曲线y=f(x)，ox轴及直线x=a,x=b(ab)图- 所围成的曲边梯形的面积为S(1)当f(x)0时，由定积分几何意义知，S=baf(x)dxbaf(x)dx(2)当f(x)0时，作出曲线y=f(x)关于ox轴的对称曲线y=-f(x)，则曲线y=-f(x)，ox轴及直线x=
16、a,x=b围成曲边梯形的面积S与S相等，如图-，即Sba-f(x)dx=baf(x)dx因此，一般地连续曲线y=f(x),ox轴及直线x=a,x=b(ab)所围的曲边梯形的面积S为S=baf(x)dx （）同理，由曲线x=(y),oy轴及直线y=c,y=d(cd)所围的曲边梯形面积S(如图-)为S=dc(y)dy=ec(y)dy+de-(y)dy一般地，由两条连续曲线y=f(x),y=f(x)及直线x=a,x=b(ab)，所围的平面图形面积的计算公式为S=baf(x)-f(x)dx （） 图- 图-事实上，对图-baf(x)dx-baf(x)dxbaf(x)-f(x)dxbaf(x)-f(x)
17、dx图- 图5-12 对图5-11进行坐标轴平移(设00=k)，在新坐标系下两条曲线分别为y=f(x)+k,y=f(x)+k,由图5-10知Sba(f(x)+k)-(f(x)+k)dxbaf(x)-f(x)dx对如图5-12caf(x)-f(x)dx+bcf(x)-f(x)dxcaf(x)-f(x)dxbcf(x)-f(x)dxbaf(x)-f(x)dx对上面3种情况也可用定义得到，如图-，在a,b内插入n-1个分点a=xxxxi-1xixn-1xn=b相应地分成n个小区间xi-1,xi，记xi=xi-xi-1过分点作oy轴平行线增大的图形分成n个小的图形。设第i个图形的面积为Si i=1,2
18、,n由两条曲线连续，近似看成矩形，底为xiixi-1,xi,高为f（i)-f(i）有Sif(i)-fi(i）xiSf(i）-f(i)xibaf(x)-f(x)dx同样 由连续曲线x=(y)，x=(y)，及直线y=c,y=d所围的曲边梯形面积为S=dc(y)-（y)dy，如图-图- 图5-14求简单曲线所围成的面积时(1)首先求出曲线的交点(2)画出经过交点的曲线(3)由所围的平面图形，选择适当的公式来计算。注意 若曲线很简单时，也可在画曲线的过程中求交点。另外，也可利曲线关于坐标轴对称，来简化计算。例 求由抛物线y=2x及直线y=x-4所围成的平面图形的面积。解 由 解得图5- 所求的面积是由
19、曲线x=y+4,x=y及直线y=2,y=4所围成，如图-，故有S(y+4)- ydy（y）本题如用公式(4.3)来计算，就需要将整个面积分成两部分S及S，然后计算S，相加才得S，读者可以计算一下，这样做就复杂多了。例 求曲线y=，及直线y=x,x=2所围成的平面图形面积解 此题的曲线都很简单，可在画曲线的过程中求出交点，所求的面积由曲线y=x,y=及直线，x=2所围成，如图-，故有图5- S(x-）dx（x-lnx)（ln2)-( ）ln2图5- 例 求椭图所图的面积解 由椭园关于x轴及y轴对称，只需计算位于第一象限部分的面积，然后乘以4就得到求平面图形面积S，如图-由，解得y=，故上半椭园的
20、方程是y=，因此Sadxacostacostdt=4abcostdt4ab=ab特别，当a=b=R时，得园的面积为S=R4.2 立体及旋转体的体积一、立体的体积设为一空间位体，它夹在垂直于x轴的两平面x=a与x=b之间(ab)，我们称为位于a,b上的空间立体，在区间a,b上任意一点x处，作垂直于x轴的平面，它截得立体的截面面积显然是x的函数，记为A(x),设为x的连续函数，xa,b，我们称为空间立体的截面面积函数，如图-所示，如何计算立体的体积。1.分割 在区间a,b内插入n-1个分点a=xxxxi-1xixn-10写出部分量Q的近似值f(x)x，即 Qf(x)x要求f(x)x是Q的线性主部d
21、Q，即在计算的过程中，尽可能的精确，可以略去x的高阶无穷小。这一步是最关键，最本质的一步，所以称为微元分析法或简称微元法2.得微分 dQ=f(x)dx3.得积分 Q=baf(x)dx二、曲边扇形的面积求由连续曲线r=r()与射线=,=所围图形(图-)，(称为曲边扇形)的面积。由曲边扇形分布在区间，上图- 1.考察,+区间上曲边扇形的面积Sr()2.dSr()d3.Sr()d （）下面 我们来证明r()确实是S的线性主部，即dSr()d事实上，由函数r=r()在，上连续，则在区间,+上连续，设M，m为r()在,+的最大值与最小值，则mr()M,有mr()，即mSm有mM当0时有mr() Mr()
22、，由夹逼定理知r()，即 dSr()d但实际中，要检验所求的近似值f(x)x是否为Q的线性主部即dQ或者说要检验Q-f(x)x是否是Q的高阶无穷小往往不是一件容易的事，并不是每个实际问题都可以像求曲边扇形的那样来进行检验，因此，在求Q的近似值时要特别小心谨慎，要尽可能的精确，对于x的高阶无穷小可以略去，还可以用实践来检验结论的正确性。例6 求双纽线(x+y）=x-y所围图形的面积图- 解 由方程中x用-x代替方程不变，y用-y代替方程不变，则曲线关于x轴及y轴对称，因而面积只须计算第一象限面积，再乘以4倍。由从方程中解y很困难，因此难认用直角坐标系下求平面图形面积的方法，双纽线在极坐标系下的方程 r=cos2 r在第一象限0，要使r0，则0由公式(4.11)有Sr()dcos2d=sin2三、平面曲线的弧长在初等几何中，解决园周的长度问题所用的方法是：利用园内接正多边形的周长作园周长的近似值，再令多边形的边数无限增多而取极限，就定出园周的周长，因此，我们也用类似的方法来定义平面曲线弧长的概念。定义 设A，B是平面曲线的两个端点(这里所指的曲线弧，它自身不相交，且非封闭，否则，可分段考虑，并规定曲线的弧长为各个分段的弧长之和。)在上依次任意取点A=MMi-1,MiMn图