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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流圆锥曲线1-1.精品文档.数学选修（11）圆锥曲线一、课程的框架与内容（一）教育价值圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型，有很多非常好的几何性质。这些重要的几何性质在日常生活、社会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用，所以学习这部分内容对于提高学生自身的素质是非常重要的。高中阶段对圆锥曲线的学习，主要是结合已经学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。同时，在本模块中，在必修阶段学习解析几何初步的基础上，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在
2、刻画现实世界和解决实际问题中的作用。圆锥曲线有一些很深奥的性质（如光学性质、行星运行轨道的性质等），其中有一些是圆锥曲线最基本的性质，由于学时限制，可以只介绍结论和应用。（二）内容设计要求与依据与大纲相比，标准更强调圆锥曲线的来龙去脉，更强调其几何背景。在大纲中，所有学生都要求学习椭圆、抛物线和双曲线的定义和几何性质，层次性体现不够，要求相对单一。而在标准中，这方面就相对有层次，对希望在人文、社会科学等方面发展的学生来说，更强调对椭圆这一特殊的圆锥曲线有一个比较全面的了解，而其他的圆锥曲线只作一般性了解。（三）标准中目标描述的说明在引入圆锥曲线时，强调让学生了解圆锥曲线的背景与应用，目的是让学
3、生更加深刻地理解学习圆锥曲线的必要性。在内容设计上要求通过丰富的实例来展开内容，如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面。标准要求学生能够经历圆锥曲线的形成过程，目的是让学生对圆锥曲线的定义和几何背景有一个比较深刻的了解。标准设计了一个平面截圆锥得到椭圆的过程，有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得到的圆锥曲线。例如，用一个平面去截圆锥，这个平面与圆锥的表面的交线是一个椭圆。在圆锥内做大小两个球分别与圆锥和截面相切，那么，截面与两个球的切点恰是椭圆的两个焦点。对抛物线、双曲线的有关定义和性质只作一般了解，以拓展学生的知识，使学生对圆锥曲线有一个比较全面的了解。
4、选修2-1要求学生能够用坐标法解决一些简单的几何问题和实际问题。在这一点上，比对希望在人文、社会科学等方面发展的学生来的要求加深了一步。标准非常强调与重视知识的应用，这是知识的“去脉”。标准中虽然规定是“了解”，但这是一个非常重要的教学环节，在内容设计上，可以向学生展现一些圆锥曲线在日常生活中的实际应用，如投掷铅球的运行轨迹、卫星的运行轨迹等。在一定的意义上，圆锥曲线是较好体现数形结合思想的一个素材。在学习了圆锥曲线之后，要通过圆锥曲线的背景让学生了解曲线与方程之间的对应关系，进一步体会数形结合的思想。对于感兴趣的学生教师可以引导学生了解圆锥曲线的离心率与统一方程。有条件的学校应充分发挥现代教
5、育技术的作用，通过一些软件向学生演示方程中参数变化对方称所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系。二、课程的定位与变化（选修1-1）1.知识内容的整体定位在必修课程学习平面解析几何的基础，学生已经掌握了直线和圆的几何要素，以及这些几何要素的代数表示；掌握了这些基本图形（点与直线、点与圆、直线与圆、圆与圆等）的几何要素，以及如何用代数的方法去讨论这些图形之间的关系；在这个基础上又通过讨论一些简单的几何问题，初步地了解解析几何的思想和用解析几何思想解决问题的方法。在本模块中，学生将学习圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）与它们的标准方程，了解圆锥曲线的几何要素，以及通过这些几何要素建立代数
6、方程，通过对代数方程的分析，掌握椭圆的基本几何性质，了解抛物线和双曲线的基本几何性质；又通过与圆锥曲线有联系的一些实例，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；进一步体会数形结合的思想，体会解析几何的思想，在此基础上，通过圆锥曲线这个具体的实例了解曲线与二次方程的对应关系。为了更好地理解“圆锥曲线”的定位，我们必须明确以下几点：（1）解析几何的定位解析几何的本质是“几何的”，而不是盲目的代数化。在研究圆锥曲线时，弄清楚曲线方程和参数的几何意义是第一位的，在此基础上，运用解代数方程的方法解决几何问题，在解决几何问题之后，要再回到几何意义的理解上。几何是解决问题的出发点也是问题解决之后的
7、落脚点，要避免让学生陷入代数的恒等变形而不能理解其几何意义。（2）树立数形结合思想，掌握解析几何的方法圆锥曲线这部分内容是让学生体会数形结合思想的很好的载体，学生先通过画图，直观地理解要解决问题的几何意义，再转化为代数的问题求解，通过这个过程学生很容易体会数形结合的思想，体会解析几何的方法。（3）圆锥曲线的学习应和它的应用相结合圆锥曲线是一个非常重要的数学模型，有很多非常好的几何性质，这些重要的几何性质在日常生活、社会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用，在学习这部分内容时应与它的应用相结合，既可以更好地理解圆锥曲线的几何意义，又可以提高学生的应用意识。（4）处理好恒等变形和几何直观的关系在
8、圆锥曲线问题的解决过程中，曲线方程的恒等变形有时比较困难，但是如果我们用几何直观来分析问题，就可以帮助我们确定恒等变形的方向。例如，在解决一些点的轨迹问题时，如果我们通过几何直观探索和猜想出所求轨迹的图形，那么在进行代数恒等变形时就有了变形的大致方向，可以简化我们的运算。2.课程标准的要求（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 （2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质。（3）了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。（5
9、）了解圆锥曲线的简单应用。本部分内容所渗透的几何直观和数形结合的思想，对于后续的数学学习是很有帮助的，教学中要充分地重视这一点。教学中可通过多种方式向学生介绍圆锥曲线的背景和应用，在引发学生学习兴趣的同时，也能有意识地强调数学的科学价值、文化价值和美学价值。圆锥曲线在实践中的应用相当广泛，是体现数学应用价值的好素材，因此，教学中可以通过丰富的实例，使学生了解其背景和应用。在学习了椭圆之后，可引导学生运用类比的方法去研究抛物线，双曲线的几何性质。对于感兴趣的学生，教师也可以引导学生了解圆锥曲线的离心率与统一方程。有条件的学校，要充分发挥现代教育技术的作用，通过一些软件演示方程中参数的变化对曲线的
10、影响，使学生进一步理解曲线和方程的关系，把握好曲线的“几何性质”与方程的“数量关系”之间的对应关系。3.课程标准要求的具体化和深广度分析（1）如何认识“了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用”的含义。 圆锥曲线的实际背景，主要体现在两个方面：圆锥曲线的光学背景和物体的运行轨道的背景。通过对这些背景的了解可以感受到圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。案例1 在太阳系中，各行星的运行轨道是椭圆曲线，由椭圆曲线的几何性质就可以研究各行星的运行周期及其他参数。案例 2 抛掷铅球时，铅球的运行轨道是抛物线，由抛物线的几何性质就可以研究怎样才能在抛掷铅球比赛时取
11、得好成绩。案例 3 初步了解椭圆的光学性质，当把一个点光源放在椭圆的焦点上，发出的光线又聚焦于椭圆的另一个焦点。但是这个性质只要求学生了解，不要求证明。案例 4 初步了解探照灯的光学性质，探照灯实质上是利用了抛物线的光学性质，即点光源从抛物线焦点发出的光，经过抛物面的反射成为平行光。但是这个性质只要求学生了解，不要求证明。案例 5 初步了解汽车近光灯的光学性质，汽车近光灯实质上是利用了双曲线的光学性质，即点光源从双曲线焦点发出的光，经双曲线反射变得更加发散。但是这个性质只要求学生了解，不要求证明。案例 6 教师可以让学生通过切割圆柱形和圆锥形的土豆和萝卜，感受圆锥曲线的特点。案例 7 教师可以
12、鼓励学生通过信息技术绘制圆锥曲线，了解圆锥曲线的几何性质。案例 8 教师可以鼓励学生利用网络和与图书馆等查阅资料，丰富这部分的知识。（2）如何认识“经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质”。让学生从椭圆的光学性质、物体运动轨迹等具体情境，抽象出椭圆的几何性质，再由椭圆的几何性质推导出椭圆方程。这个过程是比较容易实现的。但是，反过来要证明满足曲线方程的解要符合椭圆的几何性质是比较困难的，也是我们不要求的。我们要求学生能根据条件确定椭圆标准方程的参数，掌握椭圆标准方程的求法。或者根据椭圆的几何要素，再进行几何要素的代数化，进而求出椭圆的方程。例 设椭
13、圆中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴是短轴的2倍，又点在椭圆上，求这个椭圆方程。同时还要让学生掌握椭圆的简单几何性质，能根据椭圆标准方程求出焦距和焦点，椭圆的范围、对称轴、对称中心及顶点（截距）。使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及的几何意义，会画椭圆的图像。例如，椭圆焦点为和，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的 倍。点评：这道题就考察了学生对于椭圆几何性质的理解，也是一道比较基本的常规题。标准中不要求学生了解椭圆的第二定义即椭圆的比值定义，也不要求掌握椭圆的离心率及准线定义及其几何意义。（3）如何认识“了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质”。让
14、学生在学习了椭圆的基础上，类比地了解抛物线和双曲线的定义、几何性质和标准方程。不要求了解双曲线的准线及第二定义，也不要求会抛物线的四种标准方程的推导。（4）如何认识“通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想”。圆锥曲线与方程这部分是体会数形结合思想的一个很好的载体。圆锥曲线是“几何的”，方程是“代数的”，通过圆锥曲线几何性质推导出它的曲线方程，再根据曲线方程回归其几何性质，并且曲线的交点坐标就是曲线方程的公共实数解，可以通过求曲线方程组得到两曲线的交点。这些曲线与方程的关系很好地体现了数形结合的思想。（5）如何认识“了解圆锥曲线的简单应用”。能解决圆锥曲线在实际中的一些简单应用。例如
15、，我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面，远地点距地面，求这颗卫星的轨道方程。4.教学要求（1）标准与大纲要求的对比与说明教学内容标准目标表述大纲目标表述了解圆锥曲线的实际背景了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用椭圆经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质；理解椭圆的参数方程双曲线与抛物线了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质掌握双曲线与抛物线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质应用了解圆锥曲线的
16、简单应用能够利用工具画圆锥曲线的图形，了解圆锥曲线的简单应用思想与方法通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想结合教学内容，继续进行运动、变化观点的教育在具体内容要求上，标准与大纲有明显的区别。标准中这部分是选修内容，大纲要求是必修内容，大纲对文理科学生要求是相同的，而标准中这部分内容对文理科学生要求是不同的。标准中这部分内容课时约减少6课时，曲线与方程不再单独作为课题学习。降低标准，抛物线与双曲线的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质大纲是掌握内容，而标准中这部分内容变为了解。更多注重应用，是为了让学生感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。（2）教学要求1）实际背景的
17、引入在圆锥曲线的教学过程中，要注意实际背景的引入。例如，对椭圆定义的引入，要注意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。教师可从太阳、地球、人造卫星的运行轨道，谈到圆萝卜的切片、阳光下在地面上的影子等等，让学生对椭圆有一个直观的了解。然后给出椭圆的几何画法，让学生自己得出椭圆的定义。教师因势利导，提出“到两定点的距离的和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗？”，让学生通过椭圆课件演示“改变焦距或定值”，观察轨迹的形状，从而挖掘出定义的内涵，这样就使得学生对椭圆的定义留下了深刻的印象。2）注意方程中参数的几何意义，注重几何要素代数化的过程在圆锥曲线的教学过
18、程中，大致有两种处理方式：一种是先判断圆锥曲线的类型（椭圆还是双曲线），然后根据判断出来的圆锥曲线的类型写出曲线方程的一般表达式（含参数），最后根据已知条件确定参数；另一种是先确定圆锥曲线的几何要素，然后对几何要素进行代数化，最后得出代数结果，即曲线方程。这两种处理方式中，前者偏重于“代数”，后者偏重于“几何”，二者各有利弊。但是在实际的教学中，“几何”通常是被教师忽略的。所以，在圆锥曲线的教学过程中，我们要注重几何要素代数化的过程。要让几何图形帮助我们思考问题、简化计算。体会几何直观给我们带来的好处。5.重、难点分析重点：椭圆及其标准方程。经历从具体情境（光学性质、运动轨迹等）中抽象出椭圆模
19、型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。例1 已知椭圆上一点到椭圆一个焦点距离为3，则到另一焦点的距离为 。例2 椭圆的焦点为，是椭圆过焦点的弦，则的周长是 。例 3 如果椭圆的两条准线间的距离是这个椭圆的焦距的两倍，那么这个椭圆的离心率为例 4已知椭圆，长轴两个端点A，B，如果C上存在一点，使得，求椭圆的离心率的取值范围。例已知椭圆，过左焦点倾斜角为的直线交椭圆于、B两点。求弦的长。例 6 已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是 。难点：圆锥曲线的应用。标准中要求学生了解圆锥曲线的简单应用。因此，在教学中，教师一定要注意把握圆锥曲线应用的难度。尽量使得实际问题抽象成为圆锥
20、曲线问题的过程自然。应用的目的是为了更好地理解圆锥曲线的几何性质，而不是处理复杂的几何运算。6.重、难点教学案例案例 1 直线与圆锥曲线的位置关系一、教学设计1.课题：直线与圆锥曲线的位置关系2.设计思想直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的主要内容之一，而其关系又比较复杂，如何才能让学生比较轻松掌握它？学生通过前面的学习，已对直线与圆的位置关系比较清楚，也初步掌握了圆锥曲线定义、方程、性质，掌握了一定的分析问题和解决问题的能力。本节课借助几何画板的强大功能，运用运动变化的观点，让学生在自主探究中，直接观察、运动变化、归纳证明，在轻松的学习环境中激发潜能、体验成功，领会到数形结合解决问题的美妙。
21、3.教学目标在探究性学习中轻松掌握直线与圆锥曲线的位置关系，培养创新精神、探究能力和数形结合解决问题的能力。4.教学重点与难点分析重点：在对直线与圆锥曲线的位置关系的探究过程中，体验观察、实践、归纳、猜想和证明的探究过程，培养运用数形结合解决问题的能力。难点：如何引导学生对直线与双曲线的公共点问题进行合理的探究。二、教学过程（一）提出问题，创设情境1）引例：如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围。在计算机上演示，让学生思考、交流、自主解决。师：怎样求的取值范围？将代入，整理得：。当时，方程无解，直线与双曲线没有公共点，可解得的取值范围。师：解题要注意什么？生：注意二次项系数是否等于0.师：能
22、否借助图形判断出的大致范围？生：可以。2）初探（小试身手）：师：试探求：有哪些直线过定点且与双曲线没有公共点？在计算机上演示，让学生思考、交流、自主解决。生：要注意直线是否有斜率。师：如果把条件中“过定点”改为“平面上任一点”，结果又如何？学生在计算机上探究。师生共同得出答案。3）一步探究：师：试探求：过定点直线与双曲线的公共点有几个？如果把条件中“过定点”改为“平面上任一点”，结果又如何？在计算机上演示，让学生思考、交流、自主解决。学生自主探究，得出结论。（表扬、激励，学生初步体验成功的喜悦）4）深入探究（大显身手）：师：过定点且与双曲线的有且只有一个公共点的直线有几条？如果把条件中“过定点
23、”改为“平面上任一点”，结果又如何？在计算机上演示，让学生思考、交流、自主解决。教师巡查，参与探究，适时给予点拨。（给学生较多时间）学生相互交流、总结。(把几何画板引入中学数学教学，学生主动参与探究讨论，做“数学实验”，参与教学活动，他们已不只是知识的被动接受者，而是知识的主动探索者，问题的研究者)师生共同小结、回顾。（二）探索研究（推广、引申）师：试探求：过点的直线与椭圆的公共点有几个？其中有且只有一个公共点的直线有几条？过点的直线与抛物线的公共点有几个？其中有且只有一个公共点的直线有几条？在计算机上演示，让学生思考、交流、自主解决。直线与圆锥曲线的位置关系及其解法，以及注意点。往往解由直线
24、方程与二次曲线方程组成的方程组并消去或后，得到一个形式上为二次的一元方程。这个方程是否为二次要看最高次项的系数是否为0（又是需讨论），是二次方程时还要判断判别式与0的大小关系及相等关系。（三）反思应用例1 讨论关于的方程的根的情况。例1 已知满足，求的最值。在计算机上演示，让学生思考、交流、自主解决。让学生进一步体验数形结合的美妙，充分体验成功的喜悦。（四）归纳总结师：下面请同学们回忆一下，这节课学习的主要内容？生：（1）直线与双曲线的位置关系及其相互联系；（2）直线与圆锥曲线的位置关系及其相互联系。师：用到了那些数学思想方法？生：坐标法、数形结合。三、回顾反思这节课教学效果不错，主要是因为把
25、学习的主动权交给学生，注意师生双方互动外，还借助了多媒体，利用几何画板创设情境，使得学习内容直观、生动，抓住解析几何的核心数形结合。（一）创设情景是上好课的基础借助多媒体，利用几何画板从学生已有的知识进行迁移，采用类比的方法让学生主动学习、合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力。（二）恰当引导学生提出数学问题在上课前需要事先预想学生可能会提出的问题以及可能提出的解决办法，但是也不能忽视学生的发散思维，在讲授过程中并不是每一个环节都能按照教师预想的步骤进行，对于课堂上突发性的问题，教师要能自如地应对。（三）变式训练，提高学生解题能力与思维深度在例题的设计上，我们围绕引例
26、进行变式训练，师生围绕典型问题展开了充分的讨论，学生在质疑、讨论、总结的过程中，理解直线与圆锥曲线的位置关系，形成了自己的思想方法。此变式训练触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发了学生的智慧与源泉，实现了举一反三、触类旁通的效果。（四）教师的反思虽然本节课基本体现了课改精神，培养学生积极参与的习惯，并运用多媒体进行辅助教学，丰富了课堂内容，使学生对双曲线的形成过程非常直观形象，但是仍存在不足之处。如：（1）今后的课堂教学应该把更多的主动权交给学生，让学生在课堂中体现自我，学会自己寻找突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观察中学会比较,进而推动整个教学程序的展开。（2）自我感觉到教师的“讲“还是偏多了一点，应该更要注意引导。（3）多媒体的利用为本节课更增添了几分色彩，同时，合理和有效地利用多媒体和画图使本节课的教学更有动感，更具直观性。