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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流向量知识框架.精品文档.向量模块框架高考要求向量要求层次重难点平面向量的相关概念B理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义理解向量的几何表示向量加法与减法C 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含 了解向量线性运算的性质及其几何意义向量的数乘C两个向量共线B平面向量的基本定理A 了解平面向量的基本定理及其意义 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 理解用坐标表示的平面向量共线的条件平面向量的正交分解及其坐标表示B 理解平面向量数量积的含义及其
2、物理意义 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算C用坐标表示的平面向量共线的条件C数量积C数量积的坐标表示C 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题用数量积表示两个向量的夹角B用数量积判断两个平面向量的垂直关系C用向量方法解决简单的问题B知识内容 向量的概念：在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点例如，力就是既有大小和方向，又有作用点的向量有
3、些量只有大小和方向，而无特定的位置例如，位移、速度等，通常把后一类向量叫做自由向量高中阶段学习的主要是自由向量，以后我们说到向量，如无特别说明，指的都是自由向量是可以任意平行移动的向量不同于数量，数量之间可以进行各种代数运算，可以比较大小，两个向量不能比较大小 向量的表示：几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量.的方向，线段的长度表示向量的长度字母表示法：，注意起点在前，终点在后 相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量可根据右图的正六边形，或根据下题平行四边形讲解相等向量已知、分别是平行四边形边、的中点，为对角线与的交点，分别写图中与，相等的向量解： 向量共线或
4、平行：通过有向线段的直线，叫做向量的基线如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行向量平行于向量，记作说明：共线向量的方向相同或相反，注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形 零向量：长度等于零的向量，叫做零向量记作：零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行 用向量表示点的位置：任给一定点和向量，过点作有向线段，则点相对于点位置被向量所唯一确定，这时向量又常叫做点相对于点的位置向量1. 向量的加法： 向量加法的三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，再作向量，则向量叫做和的和（或和向量），记作，即
5、 向量求和的平行四边形法则： 已知两个不共线的向量，作，则，三点不共线，以，为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，这个法则叫做向量求和的平行四边形法则 向量的运算性质：向量加法的交换律：向量加法的结合律：关于： 向量求和的多边形法则：已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量这个法则叫做向量求和的多边形法则2. 向量的减法： 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量，记作零向量的相反向量仍是零向量 差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量推论：一个向量
6、等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量，或简记“终点向量减始点向量” 一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量3. 数乘向量：定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长 判断正误：已知4. 向量共线的条件 平行向量基本定理：如果，则；反之，如果，且，则一定存在唯一的一个实数，使 单位向量：给定一个非零向量，与同方向且长度等于的向量，叫做向量的单位向量如果的单位向量记作，由数乘向量的定义可知或1平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，存在唯一的一对实数，使基底：我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作叫做
7、向量关于基底的分解式说明： 定理中，是两个不共线向量； 是平面内的任一向量，且实数对，是惟一的； 平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底 平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点，作，由于与不平行，可以进行如下作图：过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数和分别有，所以证明表示的唯一性：如果存在另对实数，使，则，即，由于与不平行，如果与中有一个不等于，不妨设，则，由平行向量基本定理，得与平行，这与假设矛盾，因此，即， 证明，三点共线或点在线上的方法：已知、是直线上的任意两点，是外一点，则对直线上任意一点，存在
8、实数，使关于基底的分解式为 ，并且满足式的点一定在上证明：设点在直线上，则由平行向量定理知，存在实数，使，设点满足等式，则，即在上其中式可称为直线的向量参数方程式，当时，点是的中点，则，这是向量的中点的向量表达式可推广到中，若为边中点，则有存在2向量的正交分解与向量的直角坐标运算： 向量的直角坐标：如果基底的两个基向量，互相垂直，则称这个基底为正交基底在正交基底下分解向量，叫做正交分解向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点的位置被点的位置向量所唯一确定设点的坐标为，由平面向量基本定理，有，即点的位置向量的坐标，也就是点的坐标；反之，点的坐标也是点相对于坐标原点的位置向量的坐标 在直角坐标系内，分
9、别取与轴和轴方向相同的两个单位向量，这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底，这个基底也叫做直角坐标系的基底对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得，这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示 向量的直角坐标运算：设，则说明： 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差； 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积 若，则向量；一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标3用平面向量坐标表示向量共线条件：设，则就是两个向量平行的条件若向量不平行于坐标轴，即，则
10、两个向量平行的条件是，相应坐标成比例 根据力与功的计算，引入向量的数量积运算一个力作用于一个物体，使该物体位移，由于图示的力的方向与位移方向有一个夹角，真正使物体前进的力是在物体唯一方向上的分力，这个分力与物体位移距离的乘积才是力做的功即力使物体惟一所做的功可以用计算1. 向量数量积的物理背景与定义 两个向量的夹角：已知两个非零向量，作，则称作向量和向量的夹角，记作，并规定，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有当时，我们说向量和向量互相垂直，记作 向量的数量积（内积）定义叫做向量和的数量积（或内积），记作，即 可通过下题，讲解向量的数量积的概念及应用 已知，求， 已知，求解： ，
11、若两个向量是首尾相接，需要注意向量所成的角：已知正的边长为，设，求如图，与、与、与夹角为，原式 向量内积的性质是单位向量，则；，且；，即； 可通过以下判断题，检验学生关于向量垂直条件的掌握情况 对任意向量，有（） 若，则对任一非零向量，有；（） 若，则；（） 若，则至少有一个为零向量；（） 若，则当且仅当时成立；（）2向量数量积的运算律 交换律：； 分配律： 根据向量数量积的性质及运算律，可得到以下公式： 完全平方公式：； 平方差公式：3向量数量积的坐标运算与度量公式 向量内积的坐标运算：建立正交基：，已知， 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件： 向量的长度、距离和夹角公式 已知，则，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根 如果，则 两个向量夹角余弦的坐标表达式： 向量内积的坐标运算：，得到表达式 在向量垂直条件中，当时，条件，可以写成也就是说，如果，则向量与平行，上式中的是比例系数对任意实数，向量与向量垂直例如，向量与向量，垂直