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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流半导体器件物理1-2章量子力学初步.精品文档.半导体器件物理第一章：半导体材料就其导电性而然，半导体材料的导电性能介于金属和绝缘体之间。半导体基本可以分为两类：位于元素周期表IV族的元素半导体和化合物半导体。大部分化合物半导体材料是族和V族元素化合而成的。表1.1是元素周期表的一部分，包含了最常见的半导体元素。表1.2给出了较为常用的某些半导体材料。表1.1部分半导体元素周期表 （元素半导体材料）硼（B）碳（C）铝（AL）硅（Si）磷（P）镓（Ga）锗（Ge）砷（As）铟（In）锑（Sb）表1.2半导体材料元素半导体化合物半导体Si 硅AlP
2、 磷化铝Ge 锗AlAs 砷化铝GaP 磷化镓GaAs 砷化镓InP 磷化铟由一种元素组成的半导体称为元素半导体，如Si和Ge。硅是制作半导体器件和集成电路最常用的半导体材料。由两种或两种以上半导体元素组成的半导体称为化合物半导体，如GaAs或GaP是由族和族元素化合而成的。其中GaAs是应用最为广泛的一种化合物半导体材料，它具有较高的载流子迁移率，因此一般应用在制作高速器件或高速集成电路的场合。1.1半导体的价键和价电子硅是用于制作半导体器件和集成电路的重要材料之一，它具有金刚石晶格结构，是IV族元素；锗也具有金刚石晶格结构，也是IV族元素。其它化合物半导体材料如砷化镓具有闪锌矿晶格结构。由
3、于硅是主流集成电路工艺普遍使用的半导体材料，所以我们主要研究该材料的物理特性。无限多的硅原子按一定规律在三维空间上的集合就形成硅晶体（通常是形成单晶体结构）是什么因素导致硅原子的集合能够形成特定的硅晶格结构？统计物理学给出了答案：热平衡系统的总能量总是趋于达到某个最小值。原子间价键的作用使它们“粘合”在一起形成晶体。原子间的相互作用倾向于形成满价壳层。元素周期表中的族元素Si和Ge，其原子序数是14，包围着硅原子有3个电子壳层，最外层壳层上有4个价电子，需要另外4个价电子来填满该壳层。当硅原子组成晶体时，最外层壳层上的4个价电子与紧邻的硅原子的最外层4电子组成共价键。大量的硅、锗原子组成晶体靠
4、的是共价键的结合。图1.1a显示了有4个价电子的5个无相互作用的硅原子，图1.1b显示了硅原子共价键的二维视图。中间的那个硅原子就有8个被共享的价电子，因此它是稳定的。其它4个硅原子有3个价键是悬空的，没有形成稳定的共价键。硅半导体材料的价键是共价键，空着的价键有两个作用：一是能够与更多的硅原子结合形成更大的硅晶体；二是由于硅晶体不能无限大，因此其表面必然形成悬挂键，悬挂键的存在对其后讲述的MOSFET的阈值电压大小有着密切的联系。价电子：原子周围的最外层的非饱和电子称为价电子。我们知道原子的最外层电子层上如果有2个或8个电子，通常称为饱和层。惰性元素氦（He）氖（Ne）原子的最外层分别有2个
5、电子和8个电子，因此氦、氖原子的最外层电子不是价电子。元素周期表中的I族元素，外层有1个价电子，在与其它元素结合时，容易失掉该电子而成为带1个正电荷的离子；元素周期表中的VII族元素，外层有7个价电子，在与其它元素结合时，容易得到1个电子而成为带1个负电荷的离子。1.2固体中的缺陷和半导体的掺杂 不同的固体材料有着各自固定的晶格结构，自然界中不存在完整晶格结构的固体材料，也不可能人工制造出完美晶格结构的固体，它们或多或少会存在着一定的缺陷；这些缺陷的存在破坏了完美晶格的几何周期性，同时也改变了材料的电学特性。1.2.1固体中的缺陷类型 所有晶体都有一类缺陷是原子的热振动。理想的单晶固体其原子都
6、位于晶格的特定位置，这些原子以一定的距离与其它原子彼此分开。由于热效应的因素，晶体中的原子具有一定的热能，温度越高热能越大，它是温度的函数。具有热能的原子会在晶格的平衡处产生随机振动，随机热振动又会引起原子间距的随机波动，轻微地破坏了晶体中原子的完美几何排列。 晶体中的另一类缺陷称为点缺陷，点缺陷分为填隙缺陷和空位缺陷。我们已经知道，理想的单晶晶格中，原子是按完美的周期性排列的。但实际的晶体中，某些特定晶格格点上的原子可能会缺失，这种缺陷称为空位缺陷；如图1.2a所示。在其它位置，原子可能位于晶格格点之间，这种缺陷称为填隙缺陷；如图1.2b所示。 图1.2a晶格中的空位缺陷 1.2b晶格中填隙
7、缺陷 晶体中存在空位和填隙缺陷时，不仅原子排列的完整性受到破坏，而且理想的原子间的化学键也被打乱，靠的足够近的空位或填隙原子会在两个缺陷间发生相互作用，这都将改变材料的电学特性。 点缺陷的特征包含单个原子或单个原子位置。在单晶的形成过程中，还会出现更为复杂的缺陷。当一整列的原子从正常的晶格位置缺失时，就会出现线缺陷。这种缺陷还可以形象地称为线错位。如图1.3。和点缺陷一样，线错位也破坏了正常晶格的几何周期性和晶体中理想的原子键。线错位也会改变材料的电学特性。图1.3线缺陷的二维表示1.2.2半导体材料中的杂质类型上面讲述的在固体中的缺陷，对制作器件的半导体材料不会带来任何好处，因此，在制作半导
8、体材料的过程中应采取某种方法（比如提纯技术）尽量减少其缺陷密度。以达到符合制作半导体器件的材料质量要求。半导体材料中的杂质不应完全被看成是对材料性能的破坏。严格地讲，人为地控制掺杂元素和掺杂浓度，以提高半导体材料的电性能，对制作半导体器件或电路只会带来更大的好处。由于制备半导体材料的纯度不够，或在制备材料过程中及器件的制造中引起的杂质沾污，是我们不希望的，应该严格加以控制。实际中的半导体材料的缺陷密度应该控制在103cm-2以下。如果缺陷密度过高，则不能生产出质量良好的半导体器件。晶体中空位缺陷所在的位置，一般由替位杂质占据。其原因是替位杂质的原子半径与被替代材料的原子半径比较接近，同时它们的
9、原子壳层结构比较近似。如硅、锗是族元素，、元素的硼、磷、砷符合替代杂质的特征，所以、元素在硅、锗中都是替位杂质；填隙缺陷所在的位置一般由填隙杂质占据。填隙杂质的特征是原子的半径一般比较小，如锂离子和钠离子，所以它们在硅、锗、砷化镓中是填隙杂质。填隙杂质会给半导体材料的性能带来极为有害破坏，由于原子半径小很多，在外加电场时，会在晶格的间隙中按电场漂移，而电离后的替位杂质不会随电场移动。二氧化硅中的填隙杂质的漂移会使半导体器件尤其是MOS器件的阈值电压发生漂移。因此填隙杂质是有害杂质。单位体积中的杂质原子数称为杂质浓度，通常用它表示半导体晶体中杂质的含量。1.2.3半导体材料中的受主杂质和施主杂质
10、向族元素的硅中掺入元素硼，一个硼占据着硅原子的位置。硼原子有三个价电子，当它与周围的4个硅原子形成共价键时，还缺少一个电子，由于库仑力的作用，它趋向于从附近的硅原子夺取一个价电子，于是在硅晶体的共价键中产生一个空位的价键，空位的价键产生一个带正电的空穴。而硼原子接受一个电子后成为带负电的硼离子（B-）,称为负电中心。同样，带负电的硼离子和带正电的空穴也存在着静电引力，所以这个空穴受到硼离子的束缚，在硼离子附近运动，不过，由于硼离子对这个空穴的束缚力很弱，只需很少的能量就可以使空穴挣脱这个束缚，成为在晶体共价键中自由运动的导电空穴。而硼原子成为一个带负电的硼离子，它是一个不能移动的负电中心。因为
11、，元素杂质在硅、锗中趋于接受电子而产生带正电的导电空穴，所以称它们是受主杂质（也叫P型杂质）。空穴挣脱受主杂质束缚的过程称为受主电离，电离的受主杂质带一个负电荷，同时释放一个带正电的空穴，未电离的受主杂质呈电中性。使空穴挣脱受主杂质束缚成为导电空穴所需的能量称为受主杂质的电离能。用表示，实验测量表明，杂质元素在硅、锗晶体中的电离能很小。在硅中约为0.0450.065eV;在锗中约为0.01eV。表1.3为族元素杂质在硅、锗中电离能的测量值。表1.3 元素杂质在硅、锗中电离能的测量值(单位：eV)族元素族杂质元素硼 B铝 Al镓 Ga铟 In硅Si锗Ge0.0450.010.0570.010.0
12、650.0110.160.011向族元素的硅中掺入族元素磷（P），一个磷原子占据了硅原子的位置，磷原子有5个价电子，其中的4个价电子与周围的4硅原子形成共价键，还剩余一个价电子。同时磷原子所在处也多余一个正电荷，成为带一个正电荷磷离子（P+）中心。（硅原子去掉价电子会变成带4个正电荷的硅离子，磷原子去掉价电子会变成带5个正电荷的磷离子）。所以，磷离子替代硅原子后，其效果是形成了一个正电中心（P+）和一个多余的电子，这个多余的价电子就被束缚在正电中心的附近，但这种束缚作用要比共价键的束缚作用弱很多，很小的能量就可以使它挣脱束缚，成为导电电子在晶格中自由运动。这时的磷原子就成了少了一个价电子的磷离
13、子（P+）,它是一个不能移动的正电荷中心。元素杂质在硅、锗中趋于释放电子而产生带负电的导电电子，所以称它们是施主杂质（也叫N型杂质）。电子挣脱施主杂质束缚的过程称为施主电离，电离的施主杂质带一个正电荷，同时释放一个带负电的电子，同样，未电离的施主杂质呈电中性。使电子挣脱施主杂质束缚成为导电电子所需的能量称为施主杂质的电离能。用表示，实验测量表明，族杂质元素在硅、锗中的电离能很小，在硅中约为0.040.05eV，在锗中约为0.01eV，比硅、锗的禁带宽度小很多。表1.4为族元素杂质在硅、锗中电离能的测量值。表1.4 元素杂质在硅、锗中电离能的测量值(单位：eV)族元素族杂质元素磷P砷 As锑Sb
14、硅Si锗Ge0.0440.01260.0490.01270.0390.0096第二章：固体量子理论初步通常情况下，我们会立即讲述半导体器件的工作原理及器件特性。但为了更深入地理解半导体器件的电流电压特性，有必要了解晶体中电子在不同势函数的条件下的状态和行为。为此，在这一章中我们有两个任务需要完成，确定晶格中电子的特性；确定晶体中大量电子的统计特性。因此，有必要简要介绍量子力学有关基础知识，以便更准确地预测固体中电子的行为特点。这一章我们主要讨论的内容：1. 主要讨论跟半导体材料和器件物理相关的量子 力学。2. 介绍量子力学的某些结果，包括能量的量子化（或能量的非连续性）以及概率（可能性）的概念
15、。3. 研究半导体的能带理论。4. 讨论和研究电子的能量函数量子态密度。5. 研究Fermi-Dirac分布函数描述一个电子占据一个量子态的可能性（概率）。2.1量子力学的基本原理量子力学中的三个基本原理分别是：能量的量子化原理波粒二象性原理不确定原理2.1.1能量的量子化光电效应实验证实了光的经典理论与实验结果存在矛盾。根据光的经典物理学理论，假如一束单色光照射在某种材料的清洁表面，只要照射光的强度足够大，电子就会克服该材料的功函数从表面发射出去，（被光照射后，材料中的电子获得能量而逃逸材料表面的电子称为光电子）而与照射光的频率无关。换句话说，照射光的光强小于某一值，就不会产生光电子。而实验
16、的结果是：在恒定光强的照射下，光电子最大动能与照射光的频率成正比（线性关系），其照射光的频率低于时，将不会产生光电子；如果将照射光的频率固定而改变光强，则光电子的发射效率就会改变，但光电子的最大动能保持不变。实验结果如图2.1所示。 光电实验的结果表明：产生光电子的数量跟照射光的光强有关。照射光的频率固定，光电子最大动能恒定；光强固定，低于某种频率，则不会产生光电子，高于频率，则会产生光电子，且光电子的最大动能与照射光的频率成正比。1900年，Planck发现了从加热物体表面发出的热辐射能量是不连续的，即所谓的量子。这些量子的能量为,其中为辐射频率，为Planck常数。1905年，Einste
17、in提出了光也是由粒子组成的假说，具有粒子性的光称为光子，光子的能量也是，从而解释了光电效应。具有足够能量的光子，可以从材料的表面激发出电子。电子逸出材料表面吸收的最小能量称为此种材料的功函数。而光子将超出功函数的能量转化为光电子的动能。光电效应的本质体现了光子的不连续性和光子的粒子性。光电子的最大动能可以表示为：式中的为入射光的能量，是电子逸出材料表面需要的最小能量，即功函数。光子的能量与波长成反比，波长越短，能量越高。2.1.2波粒二相性在光电效应中，光波表现出粒子的特性。1924年，DeBroglie提出了存在物质波的假说。他认为既然波具有粒子的特性，那么粒子也应该具有波的特性。这就是德
18、布罗意的波粒二相性原理。光子的动量可以表示为：式中的是光子的波长，于是德布罗意假设将粒子的波长表示为：式（2.3）中，用普朗克常数除以粒子动量定义的波长称为德布罗意波长。2.1.3不确定原理1927年，海森堡提出了不确定原理，最初也是为了描述较小的粒子，它用于描述那些不能精确确定状态的亚原子粒子。不确定原理的观点认为，同一粒子不可能同时确定其坐标（或位置）和动量；如果粒子动量的不确定程度是,而其坐标的不确定量为，则不确定关系为： 式中的称为修正的普朗克常数。该关系式也适合角坐标和角动量。不确定原理的第二个观点认为，同一粒子不可能同时确定其能量和具有此能量的时间点；如果粒子能量的不确定程度是,而
19、其时间的不确定量为，则不确定关系为：不确定原理可以理解为：当同时测量粒子的动量与坐标或同时测量粒子的能量与时间时，就会出现一定的偏差，然而由于修正的普朗克常数是个很小的量，因此，不确定原理只适应于那些尺寸较小的亚原子粒子。根据不确定原理，既然我们无法确定一个电子的准确坐标，那么我们就可以理解为电子出现在某个坐标的概率。要确定某个电子出现在某个坐标或某个量子态的概率，就需要了解概率函数，接下来将要讨论的薛定谔方程可以帮助我们理解概率函数所表达的物理意义。2.2能量的量子化及概率的概念越来越多的有关电磁波和粒子的实验结果无法用经典力学定律解释，因此，需要一种修正的力学理论。1926年，薛定谔提出了
20、一种称为波动力学的理论，它结合了普朗克的量子化原理和德布罗意的波粒二相性原理。基于波粒二相性原理和波动理论就可以描述晶体中电子的运动。粒子的波动理论由下述的薛定谔方程描述。上式中的为波函数，是粒子所在势场的势函数，并且与时间无关；粒子的质量，。可以证明具有如下形式的解：上式表明：总的波函数是位置有关的函数和时间有关的函数的乘积。满足（2.6）式的一维薛定谔方程。将带入（2.6）式进行分离变量可得与时间无关的静态薛定谔方程上式中的是粒子的总能量，跟位置无关，是一个常量。（2.9）式的解：该式与位置无关的具有角频率为的自由粒子经典的波函数类似。（自由粒子的波函数是）。整个波函数可以表示为：2.2.
21、1波函数的物理意义波函数最终用来描述晶体中电子的状态，有必要弄清波函数的物理意义。之前我们讨论过，总的波函数是位置有关的函数和时间有关的函数的乘积，并且具有复数的形式，见（2.11）式。因此，它并不能代表现实的物理量。1926年，Max Born提出了一种假说，认为函数是表示某一时刻在与之间发现粒子的概率，或称为概率密度函数。定义为：其中，是的共轭函数。因此，是与时间无关的概率密度函数。经典力学与量子力学的显著差别在于：经典力学中，粒子或物体的位置（或坐标）可以被精确确定，而在量子力学中，只能确定粒子在某个坐标的概率。因此，准确理解粒子出现的概率，对理解其后将要讨论的晶体中电子占据量子态的概率
22、很有帮助。2.2.2波函数的边界条件由于是概率密度函数，因此，对单个粒子来说在时刻，整个空间内发现粒子的概率是100。即对上式积分进行归一化，并将积分的上下限作为边界条件，可以确定波函数各项的系数。 量子力学指出，如果粒子的能量和势能函数在定义的区间内均为有限值，则要求波函数及其一阶导数符合以下条件： 1必须有限、单值和连续。 2. 必须有限、单值和连续。 3. 必须有限。上述的三个条件是由定态的一维薛定谔方程（2.8）式得到的。如果粒子的总能量和势能函数在任何位置均为有限值，根据（2.8）式，波函数的二阶导数必须有限，就意味着其一阶导数必须连续、有限和单值；有限的一阶导数意味着其函数本身必须
23、连续、有限和单值。如果在空间的某些特定区域势函数是无穷大，一阶导数可以不连续，但其它边界条件仍需要满足。2.2.3自由粒子和无限深势阱中粒子波函数利用薛定谔波动方程求解粒子的波函数，能够确定粒子的状态。首先使用薛定谔方程求解空间中自由电子的运动状态。自由电子是不受任何外力作用的粒子，它所在势场的势函数为常量，其自身的总能量大于势函数，即。为简单起见，我们不妨假设，那么根据式（2.8），可以将与时间无关的薛定谔方程写成：该微分方程的解是：与时间有关的解是：完整的波函数表达式为：该结果表示，空间中自由粒子的运动表现为行波，第一项表示为沿方向的波，第二项表示为沿方向的波。系数A和B由边界条件确定。一
24、维情况下，行波的表达式也可以写成：其中为波数，比较式（2.18）和式（2.19）两式可得：所以：根据德布罗意的波粒二相性原理，自由粒子的波长还可以写成：可以说，自由粒子的能量、动量和波长都有明确的定义。假设某一时刻有一个沿方向运动的粒子，则描述方向的行波变式（2.19）中的,因此粒子的行波表达式变为：概率密度函数是一个与位置坐标无关的常量，这意味着具有明确动量定义的自由粒子在空间任意位置出现的概率相等，这个结论与海森堡的不确定原理是一致的，即准确的动量对应不准确的位置。用薛定谔方程求出的自由粒子的能量符合爱因斯坦光子能量为的假说，并符合德布罗意的波粒二相性原理。对处在无限深势阱中的粒子求解薛定
25、谔方程，可以确定粒子的运动状态。无限深势阱中的粒子问题是束缚态粒子的典型粒子。无限深势阱的模型如图2.5所示，其势函数是位置的函数。假设E为粒子的总能量，且E为有限值。则I区和III区中波函数必须为零。因为粒子不可能穿越无限深势阱，所以在I区和III区发现粒子的概率为零。在II区，与时间无关的薛定谔方程可以写成：方程的解是：其中：利用边界条件：可得：在处，有：符合式（2.30）的解是：其中为正整数。参数n为量子数。根据归一化条件可以求出系数求解上式积分可得：最终，与时间无关的波函数表达式为：此表达式为驻波表达式，代表电子处在无限深势阱中。可以说，行波代表自由粒子；驻波代表束缚态粒子。由式（2.
26、27）和式（2.31）可知：于是，粒子的总能量可以写为：由于K是分离值，相应的能量E也为分离值。这个结论意味着束缚态粒子能量的量子化，也就是说，粒子的能量只能是特定的分离值。计算：处在宽度为12的无限深势阱中电子最低的两个能级；如果电子由第二能级跳到第一能级，发射出光子的波长为多大？解：电子的质量；势阱宽度；修正的普朗克常数2.2.4单电子原子现在我们要考虑单电子或氢原子中的势函数，在经典的Bohr理论中，较重的带正电的质子核被一个较轻的带负电的电子所包围。质子和电子由库仑力形成的势函数可以表示为：其中电子电量，为真空介电常数，是质子与电子的径向距离。由于势函数为球对称，因此在球坐标中的与时间
27、无关的薛定谔方程为：对上述的薛定谔方程，在量子力学中有详细的求解过程，我们只关注感兴趣的结果：1. 电子能量的量子化：其中n是主量子数且为正整数，n=1，2，3.由于无穷远处，势函数趋于零，电子的总能量小于引力势能，电子被束缚在原子核的周围，因此电子的总能量为负值。负值的能量意味着电子是束缚态粒子，束缚态的电子具有分离的能量，即能量的量子化。2.在球坐标中与有关是量子数是。分别称为角动量量子数和磁量子数（注意磁量子数不要跟电子的静止质量混淆）。主量子数、角动量量子数、磁量子数三者不是相互独立的而是相互关联的，三者之间具有如下关系：每一组量子数对应电子可能占据的一个量子态。3.波动方程的解可以用
28、的形式表示。对于最小的能量状态，波函数表示为：作为球对称函数，等于经典原子论中的波尔半径。径向的概率密度函数，是指电子出现在离核某个距离的概率。对应最低能量状态的径向密度函数描绘在图2.10a中。与经典的波尔理论相同，最大概率出现在半径处。研究了球对称概率函数，我们就可以构造核外电子云或能量壳层的概念，以代替分立的粒子轨道。球对称的次低能级的概率密度函数对应着，见图2.10b，该图显示的是第二能量壳层的概念，第二能量壳层的半径大于第一能量壳层的半径。图中表明，电子存在于该壳层的概率很小。例题：氢原子第一至第三轨道对应的电子能级。2.2.5元素周期表元素周期表初始部分是根据单电子原子模型和另外两
29、个概念得出的。第一个概念是电子具有量子化的本征角动量（电子自旋），电子自旋是由量子数s确定，它的值为或。到现在，我们已经有了4个量子数，即和。第二个概念是泡利不相容原理。泡利不相容原理指出：在任意给定的系统（原子、分子或晶体）中，同一个量子态不可能容纳两个电子。对原子来说，同一个量子数组不可能容纳两个电子。根据单电子原子薛定谔方程的解，以及电子自旋和泡利不相容原理，就可以建立元素周期表。随着原子中电子数量的增多，电子间的相互作用增强，因此，元素周期表的结果会逐渐偏离使用这个方法得出的结论。 表2.1列出了周期表中的前十种元素。对于氢，电子有一个对应的最低能级，根据试（2.40），量子数和，电子
30、可以处于或两个自旋状态之一；因此，的能量壳层具有两个量子态。氦的两个电子处于的最低能量态，在状态，所有电子自旋状态和最低能量壳层都被填满。元素的化学特性主要由价电子决定，由于氦的价电子壳层被填满，因此氦一般不容易与其它元素发生化学反应。第三个元素是锂，有三个电子，其中有一个电子必须进入的能量壳层。当时，可能是0或1，而当时，可能是；当时，可能是；加上电子的自旋或。因此就有8中可能的量子态。氖有10个电子，两个在的能量壳层，另外8个在的能量壳层，第二能量壳层也是满的，因此氖也是惰性元素。2.2.6能带的形成图3.1a显示的是独立的、无相互作用氢原子的电子最低能量状态的径向概率密度函数，图3.1b
31、显示的是两个距离较近的原子的电子最低能量状态的径向概率密度函数。双原子的电子波函数相互交叠，表明两个电子有相互作用，相互作用的结果导致一个分立的量子化能级分裂成两个分立能级，如图3.1c所示，一个分立态变成两个态的分裂符合泡利不相容原理。如果以某种方法将最初相距较远的氢原子聚集在一起，那么最初的量子化能级就会分裂为分立的能带。这种效果如图3.1d所示。图中的代表晶体平衡状态时的原子间距。在平衡状态原子间距处，存在能量允带，允带中的能量也是分立的。泡利不相容原理指出，原子聚集所形成的系统无论大小如何变化，都不会改变量子态的总数。由于任何两个电子都不会有相同的量子数，因此一个分立的能级必须分裂为一
32、个能带，以保证每个电子占据独立的量子态。2.2.7允带中能量分布的准连续性和禁带一个能级所能够容纳的量子态数量相对较少，为了安置晶体中所有的电子，就要求允带中存在很多能级。举例来说，假设一个系统具有个单电子原子，同时在平衡状态处的允带宽度为。为简单起见，我们认为系统中的每个电子占据一个独立的能级，如果分立的能量状态是等间距的，那么每个能级的能量间隔是，这种能量的差距是很小的，因此，通常认为允带的能量分布是准连续的。从下面的例子中可以看到，能态间的能量差别的确很小。对有规律的周期性排列的原子组成的晶体，并假设每个原子都包含不止一个原子。设想晶体中的电子处于原子的能级上。如果晶体中的原子相距很远，
33、那么相邻原子壳层上的电子就不会相互影响（准确地说，即便有相互影响，也能保证自己的电子被束缚在自己的周围），因而电子各自占据原先属于自己的分立能级。当原子相互靠近使得相邻原子的最外壳层有交叠时， 最外壳层上的电子就会相互作用，导致该壳层的能级分裂成允许的能带（即允带）。如果将原子进一步靠近，则次内层上的电子也会相互作用并分裂成允带。最终，如果原子间的间距足够小，在最里层的电子也开始相互作用并使分裂成允带。这种分立能级的分裂被定性地表示在图3.3中。平衡时，如果原子间相互作用距离为，那么在附近，电子可能占据的允带就会被禁带隔开。能带分裂以形成允带和禁带是单晶材料能带理论的基础。实际晶体中能带的分裂
34、远比图3.3表示的单晶材料复杂的多。图3.4a表示的是单个硅原子的电子分布。硅原子的14个电子中的10个电子都处于靠近核的深层能级，其余的4个价电子受核的束缚较弱，图3.4b显示了硅的能带分裂，因为两个较深的电子壳层是被电子填满的，而且受核的束缚紧密，所以，我们只考虑能级上的价电子。其中态对应，每个原子含有2个量子态。在时，这两个量子态被两个电子占据。而态对应，每个原子含有6个量子态。余下的两个电子只占据这6个量子态中的两个，有4个量子态是空的未被电子占据。随着原子相互作用间距的减小，和态会相互作用并产生交叠，在平衡的原子间距处，能带再次分裂，使每个原子的4个量子态处于较低能带，其它4个量子态
35、处于较高能带。绝对零度时，电子处于最低能态，因此较低能带（也称价带）的所有态都被电子填满，而较高的能带（也称导带）的所有态都是空的。价带顶和导带底间隙能量称为禁带宽度。到现在为止，我们已经定性地讨论了晶体中允带和禁带形成的原因。在其后的讨论中我们会看到，这些能带形成的原因与晶体的电学特性息息相关。2.2.7能带和键模型再次强调，我们最感兴趣的是半导体器件的电流电压特性，现在我们需要研究固体中电的传导，因为这与我们刚刚讨论过的能带理论有关。下面我们开始讨论电子在不同允带中的运动。半导体中的能带由价带、导带和禁带组成。T=0K时，每个硅原子周围由8个价电子，而这些价电子都处于最低能态，并以共价键结
36、合。图3.4b显示了形成的硅晶体使分立的能态分裂成允带。在T=0K时，处于最低能带的4N态（价带）都被价电子填满。而此时较高能带（导带）则完全空着。随着温度的升高T0K，一些价带上的电子可能获得足够的热能（大于价键的结合能），从而打破共价键并跃入导带。图3.13a用二维示意图表示了这种共价键断裂效应，图3.13b用能带模型示意图表示了同样的效果。注意：无论何种情况禁带中都不会有电子。半导体是处于电中性的，一旦带负电的电子离开原来共价键的位置，就会在价带中的同一位置产生带正电的“空状态”，这个“空状态”就等效带正电的“空穴”。随着温度的升高，越来越多的共价键被打破，更多的电子跃入导带，同时在价带
37、中就会随着产生更多的相同数量空穴。图3.13b中的和分别表示导带底能量和价带顶的能量。为带隙能量。2.2.8电子和空穴由于电流是电荷的流动产生的，因此需要研究半导体中电荷受外力作用下的移动，通常称这些电荷为载流子。一种类型的电荷是电子，它带负电。在半导体中，我们最感兴趣的是导带底中的少量电子。由于电子是带电粒子，导带中电子的净漂移会产生净的漂移电流。如果对粒子施加外力，粒子就会移动，粒子的能量必然增加。这种效果可以表示为这里的是施加的外力，是粒子运动的距离，是运动速度，是增加的能量。如果外力施加在导带底的电子上，电子就会进入导带中空着的能态，表现为电子的移动。因此外力可以使电子增加能量，进而使
38、其产生净动量。电子的运动产生的漂移电流密度可以表示为这里的电子电量，是导带中单位体积的电子数量，这里用求和代替单位体积以使电流密度为，可以看到式（2.44）表示的电流密度直接跟电子的运动速度相关，也就是说，电流与在晶体中运动的电子有关。考虑图3.13a所示的共价键二维示意图，当一个价电子跃迁到导带，就会产生带正电的“空状态”。当时，所有价电子都有可能获得热能，如果价电子获得少量热能，就有可能跳到空着的状态，价电子移动到空态，这可看作是带正电荷的空态其自身的运动。图3.17所示的是晶体中价电子填补一个空状态，同时产生一个新的空状态的交替移动。价电子填补空状态的运动等效于价带中正电荷的移动。现在晶
39、体中就有了第二种重要的可以形成电流的带正电载流子，这种载流子我们称其为“空穴”。它也是一种符合牛顿力学定律的经典粒子。 价带中电子运动产生的漂移电流密度可以写成 上式中的求和范围指的是被电子填满的所有态，由于求和范围几乎涵盖了整个价带，需要考虑的状态数量极其庞大，因而这样的求和极其不方便。于是上式还可以写成如果能带完全是满的，那么全部的有效状态将会被电子占据，此时，即便是有外力的作用，不会有“空着的”状态等着电子来填补。因此，满带中的电子将不会产生净的漂移电流。既有根据式（2.46），近乎全满的价带上，电子产生的漂移电流密度可以写成这里的跟空着的状态有关。上式完全等效于带正电荷的空态形成的电流
40、密度。刚才我们讨论的价带中的“空态”（每个这样的态可以提供一个正电荷）也可以看作是能带近乎被填满后电子的净移动。价带中带正电的粒子密度等于“空着的”能态密度。这种带正电的新粒子我们称之为“空穴”。2.2.8有效质量一般来讲，晶体中电子的运动不同于空间中的自由电子。附加的外力、晶体中带正电的粒子或质子和其它带负电的电子产生的内力会影响电子在晶体中的运动，还有其它如声子的声波也会影响电子的运动。例如在真空管被电场加速的电子，只受到外电场的作用。如果在半导体两端施加电场，由于半导体中的电子运动不仅会受到体内正负电荷的相互作用，同时受到外电场力的作用。因此，真空管中电子的运动肯定不同于电子在晶体中的运
41、动。如果某粒子的静止质量为、它所受到的合力为，则有如下关系上式中的分别表示作用在晶体中粒子上的外力和内力，是粒子的加速度。由于考虑所有内力极其困难，我们将其写成这里的加速度只跟外力有关，是粒子的有效质量，实际上，它既考虑了粒子的质量又考虑了内力的效应得出的等效质量。 分别观察在盛满水和在盛满油中自由下落的同种玻璃弹球的现象，可以帮助我们理解有效质量的概念。通过将晶体中电子的有效质量与关系联系起来的进一步分析，将会得到导带底附近的电子具有正的有效质量；价带中的空穴具有正的有效质量。2.2.9金属、半导体、绝缘体由能带理论可知，如果导带中完全没有电子或价带中完全由电子填满，在外加电场的情况下，导带
42、和价带都不会有载流子的移动，也就不会产生电流。这种能带全满或全空的材料就是绝缘材料。绝缘体的带隙能量通常,甚至更高。实际上在室温下，绝缘体中的导带没有电子而价带中充满了电子。由于绝缘体的带隙能量很大，因此很难用加热的方法产生可导电的电子和空穴。因此电阻率非常大。半导体的带隙能量在上下。较低的带隙能量意味着在时，有少量电子获得能量从价带跃迁到导带，同时在价带中产生同等数量的空穴，在外加电场时少量的电子和空穴在晶体中作定向运动形成电流。但由于参与导电的载流子数量有限，所以表现为具有中等大小的电阻率。从能带的观点看，在室温下，价带中有少量空穴和导带中有少量电子占据的材料称为半导体。金属材料的能隙远小
43、于半导体材料的能隙；电阻率更低的金属材料的导带和价带有可能是交叠的。由于能隙较小，室温下有更多的电子从价带跃迁到导带，使导带被电子部分填满或价带完全填满，在外加电场时有更多的载流子沿电场方向移动而形成电流,所以金属材料表现为更低的电阻率。2.2.9自由电子的状态密度函数我们知道，电流是由电荷的定向流动产生的。所以确定半导体中参与导电的电子和空穴数量是必须解决的问题。根据泡利不相容原理，给定的一个量子态只能被一个电子占据。所以确定参与导电的载流子数量就变成了确定与能量有关的量子态数量。在讨论能级被分裂成允带和禁带时曾经指出，允带实际上是由一系列分立的能级组成，只是这些分立的能级差别极其微小，可以
44、看成是能量的准连续分布。我们需要确定一个与能量有关的能量密度函数，来计算参与导电的电子和空穴浓度。为了用一个能量密度函数确定有效量子态密度，需要一个近似的数学模型。电子可以相对自由的在半导体的导带中运动，但它仍被限定在晶体中。我们首先讨论一个被束缚在三维无限势阱中的电子，而这个势阱就代表晶体。无限势阱的定义：假定晶体的晶包是边长为的正立方体，根据一维无限势阱的结果（见式2.35）外推可以得到：其中和为正整数，我们可以画出空间有效量子态。图3.24a表示的是二维的和的函数图，每一个点代表不同的和对应的有效量子态。或的正负值具有相同的能量，代表相同的能量状态。因为或的负值都不代表独立的量子态，所以
45、仅用空间的正坐标八分之一个球体就可以确定有效量子态密度，如图3.24b所示。在方向，两个量子态的距离是将这个结果推广到三维空间的情形，一个量子态占有的空间是由于空间中体积微分是，如图3.24b所示。所以空间的量子态密度的微分为其中因子“2”代表每个量子态有两个自旋状态。“1/8”代表计算的是和的正值。上式还可以简化为该式给出的量子态密度，实际上是关于动量的函数，其中的动量用代替。我们还可以将量子态密度函数用能量表示。对自由粒子来说，能量和的关系是将和的表达式带入式（2.56）就可以得出能量范围内的量子态数将带入式（2.58）可化成上式给出了体积为的晶体且能量为范围内的量子态总数。所以单位体积单
46、位能量的量子态密度为上式表明，随着自由粒子能量的增大或降低，量子态密度也会相应的增多和减少。E的指数应该是3/22.2.10半导体中电子和空穴的状态密度函数前面讨论了被束缚在三维无限势阱中质量为的电子模型，利用了该模型得到了有效量子态密度的一般表达式。现在我们将要利用这种模型得到的有效量子态密度的一般表达式，将其推广到半导体中，从而分别导出导带和价带中的量子态密度的一般表达式。我已经知道自由电子的能量与动量的关系是对于半导体来说，我们感兴趣的是导带底和价带顶附近的能量分布，假设将导带底能量的最小值定义为，我们可以在极值附近用泰勒级数表示导带底附近电子能量的表达式。由于极值附近，很小，保留级数的
47、前两项由于在导带底附近所以有导带底附近电子的行为类似于自由电子，只是用代替了，用电子的有效质量代替了自由电子的质量。所以我们可以将导带中的电子看成是具有质量为及初始能量为的“自由电子”。如果我们将价带顶附近能量的最大值定义为类似的分析可以导出，将式（2.65）和式（2.66）与式（2.61）相比较，可以看出等式的右边具有相同的形式。我们用类比的方法可以得到导带底附近电子的有效状态密度为上式在满足有效，随着导带中电子能量的降低，其有效量子态数量也会降低。价带顶附近空穴的有效状态密度为上式在满足有效，随着价带中空穴能量的增大，其有效量子态数量也会降低。由于无论何种情况禁带中都不会有电子，因此禁带中即 如果电子和空穴的有效质量相等