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1、问题问题(wnt)1:(wnt)1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题(wnt)2:(wnt)2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在存在(cnzi)定理定理广义积分广义积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 一、主要内容一、主要内容第1页/共37页第一页，共38页。1 1、问题、问题(wnt)(wnt)的提出的提出实例(shl)1 （求曲边梯形的面积A）iniixfA )(lim10 曲曲边边梯梯形形 由由连连续续曲曲线线)(xfy )0)( xf、x轴与两条直线轴与两条直线ax 、bx
2、 所所围围成成.第2页/共37页第二页，共38页。实例(shl)2 （求变速直线运动的路程）iniitvs )(lim10 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是时间是时间间隔间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求，求物体在这段时间内所经过的路程物体在这段时间内所经过的路程 S.方法(fngf):分割、求和、取极限.第3页/共37页第三页，共38页。2 2、定积分、定积分(jfn)(jfn)的定义的定义设函数设函数)(xf在在,ba上有界，上有界，在在,ba中任意中任意若干若干个分点若干若干个分点bxxxxxann 1210把把
3、区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在各小区间上任取在各小区间上任取一点一点i （iix ），），定义定义(dngy),12110nnxxxxxx 第4页/共37页第四页，共38页。怎怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 .也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上的的取取法法，只只要要当当0 时时，和和S总总趋趋于于确定的极限确定的极限I，在区间在区间,ba上的上的定积分定积分，记为记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba我们称这个极限我们称这个极限I为函
4、数为函数)(xf作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i点点i 怎怎样样并并作作和和iinixfS )(1 ，第5页/共37页第五页，共38页。可积的两个(lin )充分条件： 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理(dngl)1定理(dngl)2 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且只有有限个间断点，则且只有有限个间断点，则)(xf在区间在区间,ba上可积上可积.3 3、存在定理、存在定理第6页/共37页第六页，共38页。4 4、定积分、定积分(jfn)(jfn)的性质的性质 badxxgxf)(
5、)( badxxf)( badxxg)(性质(xngzh)1 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数)性质(xngzh)2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(假假设设bca 性质3第7页/共37页第七页，共38页。 则则0)( dxxfba )(ba 性质(xngzh)5如果在区间如果在区间,ba上上0)( xf，推论(tuln)：则则dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如果在区间如果在区间,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性质(xngzh)4第8页/共37页第八页，
6、共38页。如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性质7 (定积分(jfn)中值定理)设设M及及m分别是函数分别是函数 则则 )()()(abMdxxfabmba . )(xf在在区区间间,ba性质(xngzh)6上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，积分(jfn)中值公式第9页/共37页第九页，共38页。5 5、牛顿、牛顿(ni dn)(ni dn)莱布尼茨公莱布尼茨公式式 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函数上连续，则积分上限的函数dttfx
7、xa )()(在在,ba上具有导数，且它的导数上具有导数，且它的导数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理(dngl)1定理(dngl)2（原函数存在定理(dngl)） 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数.第10页/共37页第十页，共38页。定理 3（微积分基本(jbn)公式） 如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则 )()()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdxxf 也可写成牛顿(ni
8、 dn)莱布尼茨公式.,:上的增量上的增量它的任一原函数在区间它的任一原函数在区间上的定积分等于上的定积分等于一个连续函数在区间一个连续函数在区间表明表明baba第11页/共37页第十一页，共38页。6 6、定积分、定积分(jfn)(jfn)的计算法的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式(gngsh)（1）换元法（2）分部(fn b)积分法分部积分公式 bababavduuvudv第12页/共37页第十二页，共38页。、广义、广义(gungy)积分积分(1)无穷(wqing)限的广义积分 adxxf)( babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分当极限存在时，称广义积分收
9、敛收敛；当极限不存在；当极限不存在时，称广义积分时，称广义积分发散发散. bdxxf)( baadxxf)(lim第13页/共37页第十三页，共38页。(2)无界函数的广义(gungy)积分 badxxf)( badxxf )(lim0当极限存在时，称广义积分当极限存在时，称广义积分收敛收敛；当极限不存在；当极限不存在时，称广义积分时，称广义积分发散发散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0第14页/共37页第十四页，共38页。例例1 1解解.2sin120 dxx求求 20co
10、ssindxxx原式原式 2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx. 222 二、典型(dinxng)例题第15页/共37页第十五页，共38页。例例2 2解解.cossinsin20 dxxxx求求,cossinsin20 dxxxxI由由,cossincos20 dxxxxJ设设,220 dxJI则则 20cossincossindxxxxxJI 20cossin)sin(cosxxxxd. 0 ,22 I故得故得.4 I即即第16页/共37页第十六页，共38页。例例3 3解解.12ln02 dxex求求,sintex 令令.sincos,sinlndtttdxtx 则则 6
11、2)sincos(cosdtttt原式原式 262sincosdtttxt02ln2 6 2626sinsintdttdt.23)32ln( 第17页/共37页第十七页，共38页。例例4 4解解.2sinln40 xdx求求,2tx 令令.sinln212sinln2040 tdtxdx 402sinlnxdxI 40)cossin2ln(dxxx 40)coslnsinln2(lndxxx 2440sinlnsinln2ln4xdxxdx 20sinln2ln4xdxI22ln4 . 2ln4 I第18页/共37页第十八页，共38页。例例5 5. )1(ln1sin212128 dxxxx求
12、求解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 第19页/共37页第十九页，共38页。例例6 6.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函数,dxxx,1min2220 原式原式 21102122dxxdxx. 2ln232 第20页/共37页第二十页，共38页。例例7 7.)()1(,)(102022 dxxfxdyexfxyy求求设设解解 10022)1(2dxdyexxyy原式原式 10231002322)1(31)1(31dxexdyexxxxyy 1021)1(2)1()1(612xd
13、exxux 2)1(令令 016duueeu).2(61 e第21页/共37页第二十一页，共38页。例例8 8.cos1)(sin2cos1)(sin:, 0)(0202 dxxxfdxxxxfxf证明证明上连续上连续在在设设证证, tx 令令)(cos1)(sin)(02dtttft 左边左边,dtdx dxxxfx 02cos1)(sin)(第22页/共37页第二十二页，共38页。dxxxxfdxxxf 0202cos1)(sincos1)(sindxxxfdxxxxf 0202cos1)(sincos1)(sin2即即.cos1)(sin2cos1)(sin0202dxxxfdxxxxf
14、 第23页/共37页第二十三页，共38页。例例9 9.)()()(. 0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 证明证明上连续，且上连续，且在区间在区间设设证证作辅助(fzh)函数,)()()()(2axtfdtdttfxFxaxa )(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxFxaxa ,2)()()()( xaxaxadtdtxftfdttfxf第24页/共37页第二十四页，共38页。0)2)()()()()( dtxftftfxfxFxa即即2)()()()( xftftfxf, 0)( xf.)(单调增加单调增加xF, 0)( aF又又, 0)()( aF
15、bF.)()()(2abxfdxdxxfbaba 即即第25页/共37页第二十五页，共38页。例例1010.123)2(;94)1(:2122 xxxdxxxdx求下列广义积分求下列广义积分解解(1) 02029494xxdxxxdx原式原式 bbaaxdxxdx02025)2(lim5)2(limbbaaxx0052arctan51lim52arctan51lim .5 第26页/共37页第二十六页，共38页。(2),1231lim)(lim211 xxxxfxx.)(1的瑕点的瑕点为为xfx 2120123lim xxxdx原式原式)11(2)11(lim21220 xxd210211ar
16、csinlim x.43arcsin2 第27页/共37页第二十七页，共38页。一、一、 选择题：选择题： 1 1、 2222221limnnnnnnnn ( ( ) ) （A A）0； （B B）21； （C C）4 ； （D D）2 . . 2 2、 xdttdxd02)1ln(= =（ ） （A A）)1ln(2 x； （B B）)1ln(2 t； （C C）)1ln(22 xx； （D D）)1ln(22 tt . .测测 验验 题题第28页/共37页第二十八页，共38页。3 3、3020sinlimxdttxx =(=( ) ) （A A）0； （B B）1； （C C）31； （D
17、 D） . .4 4. .、定积分、定积分 10dxex的值是的值是（ ） （A A）e； （B B）21； （C C）21e； （D D）2 . .第29页/共37页第二十九页，共38页。5 5、下列积分中，使用变换正确的是、下列积分中，使用变换正确的是（） （A A）,sin103 xdx令令 txarctan ； （B B） 30321dxxx，令，令 txsin ； （C C） 21221)1ln(dxxxx，令，令 ux 21； （D D） 1121dxx，令，令31tx . .6 6、下列积分中，值为零的是、下列积分中，值为零的是（ ） （A A） 112dxx； ( (B B）
18、213dxx； （C C） 11dx； （D D） 112sin xdxx . .第30页/共37页第三十页，共38页。7 7、 已知已知5)2(,3)2(,1)0( fff, , 则则 20 )(dxxxf（ ） （A A）1212； （B B）8 8； （C C）7 7； （D D）6 6. . 8 8、设、设 0,110,11)(xexxxfx，则定积分，则定积分 20)1(dxxf = =（ ）（A A）)11ln(1e ； （B B）3ln)1ln(22 e；（C C）2ln)11ln(1 e; ; （D D）)11ln(1e . .第31页/共37页第三十一页，共38页。9 9、广
19、义积分、广义积分 222xxdx= =（ ） （A A）4ln； （B B）0； （C C）4ln31； （D D）发散）发散. .1010、广义积分、广义积分 20234xxdx（ ） （A A）3ln1 ； （B B）32ln21； （C C）3ln； （D D）发散）发散. .第32页/共37页第三十二页，共38页。二、证明不等式二、证明不等式: : )2(,6121210 nxdxn . .三、求下列函数的导数：三、求下列函数的导数： 1 1、 3241)(xxtdtxF; ; 2. 2.、由方程、由方程1sin2200 xytdtttdte，的的为为确定确定xy 函数，求函数，求dx
20、dy. .第33页/共37页第三十三页，共38页。四、求下列定积分：四、求下列定积分： 1 1、 41)1(xxdx； 2 2、 axaxdx022； 3 3、 301arcsindxxx； 4 4、 52232dxxx； 5 5、 11121xdx； 6 6、 942xxdx； 7 7、 212123xxxdx； 8 8、 111dxxx. .第34页/共37页第三十四页，共38页。五、五、 设设 1,0)(在在xf上有连续导数，上有连续导数，,0)0( f 且且1)(0 xf, ,试证：试证： 103210)()(dxxfdxxf. .六、六、 设设)(xf在在00，11上有二阶连续导数，
21、证明：上有二阶连续导数，证明： 10 10)()1(21)1()0(21)(dxxfxxffdxxf. .第35页/共37页第三十五页，共38页。一、一、1 1、C C； 2 2、A A； 3 3、C C； 4 4、D D； 5 5、C C； 6 6、D D； 7 7、B B； 8 8、A A； 9 9、C C； 10 10、D.D.三、三、1 1、81221213xxxx ； 2 2、2sin22xey . .四、四、1 1、34ln2； 2 2、4 ； 3 3、334 ； 4 4、371； 5 5、1 1； 6 6、5 ； 7 7、43arcsin2 ； 8 8、 . .测验题答案测验题答案(d n)第36页/共37页第三十六页，共38页。谢谢您的观看(gunkn)！第37页/共37页第三十七页，共38页。NoImage内容(nirng)总结问题1:。实例2 （求变速直线运动的路程）。方法:分割(fng)、求和、取极限.。定理2（原函数存在定理）。第36页/共37页。谢谢您的观看。第37页/共37页第三十八页，共38页。